1、 第 1 页（共 23 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 31 垂直关系（学生版） 1 （2019北京）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E 为CD的中点 （）求证：BD 平面PAC； （）若60ABC，求证：平面PAB 平面PAE； （）棱PB上是否存在点F，使得/ /CF平面PAE？说明理由 2 （2015重庆）如图，三棱锥PABC中，平面PAC 平面ABC， 2 ABC ，点D、E 在线段AC上，且2ADDEEC，4PDPC，点F在线段AB上，且/ /EFBC （）证明：AB 平面PFE （）若四棱锥PDFB
2、C的体积为 7，求线段BC的长 3 （2015福建）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O 所在的平面，且1POOB， （）若D为线段AC的中点，求证；AC 平面PDO； （）求三棱锥PABC体积的最大值； （）若2BC ，点E在线段PB上，求CEOE的最小值 第 2 页（共 23 页） 4 （2014四川）在如图所示的多面体中，四边形 11 ABB A和 11 ACC A都为矩形 （）若ACBC，证明：直线BC 平面 11 ACC A； （） 设D、E分别是线段BC、 1 CC的中点， 在线段AB上是否存在一点M， 使直线/ /DE 平面 1 AMC？请证明你的结
3、论 5 （2014福建）如图，三棱锥ABCD中，AB 平面BCD，CDBD （）求证：CD 平面ABD； （）若1ABBDCD，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积 6 （2014广东）如图 1，四边形ABCD为矩形，PD 平面ABCD，1AB ，2BCPC 作如图 2 折叠；折痕/ /EFDC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点 P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF （1）证明：CF 平面MDF； （2）求三棱锥MCDE的体积 第 3 页（共 23 页） 7 （2014新课标） 如图， 三棱柱 111 ABCABC中， 侧面 11 BBC C为菱形， 1 B C的中点为O
4、， 且AO 平面 11 BBC C （1）证明： 1 BCAB； （2）若 1 ACAB， 1 60CBB，1BC ，求三棱柱 111 ABCABC的高 8（2014山东） 如图， 四棱锥PABCD中，AP 平面PCD，/ /ADBC， 1 2 ABBCAD， E，F分别为线段AD，PC的中点 （）求证：/ /AP平面BEF； （）求证：BE 平面PAC 9 （2013安徽） 如图， 四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为 2 的菱形，60BAD 已 知2PBPD，6PA （）证明：BD 面PAC （）若E为PA的中点，求三菱锥PBCE的体积 第 4 页（共 23 页） 10 （2013重庆）
5、 如图， 四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，2 3PA ，2BCCD， 3 ACBACD （）求证：BD 平面PAC； （）若侧棱PC上的点F满足7PFFC，求三棱锥PBDF的体积 11 （2013新课标）如图，三棱柱 111 ABCABC中，CACB， 1 ABAA， 1 60BAA （）证明： 1 ABAC； （）若2ABCB， 1 6AC ，求三棱柱 111 ABCABC的体积 12 （2019新课标）图 1 是由矩形ADEB，Rt ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形， 其中1AB ，2BEBF，60FBC将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结 DG，如图 2 第 5 页（
6、共 23 页） （1）证明：图 2 中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC 平面BCGE； （2）求图 2 中的四边形ACGD的面积 13 （2018江苏）在平行六面体 1111 ABCDABC D中， 1 AAAB， 111 ABBC 求证： （1）/ /AB平面 11 A B C； （2）平面 11 ABB A 平面 1 A BC 14 （2018新课标）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上 异于C，D的点 （1）证明：平面AMD 平面BMC； （2）在线段AM上是否存在点P，使得/ /MC平面PBD？说明理由 15 （2018新课标）如图，在平行四边形ABCM
7、中，3ABAC，90ACM，以AC 为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA （1）证明：平面ACD 平面ABC； 第 6 页（共 23 页） （2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点， 且 2 3 BPDQDA， 求三棱锥QABP的 体积 16 （2017新课标）如图，在四棱锥PABCD中，/ /ABCD，且90BAPCDP （1）证明：平面PAB 平面PAD； （2）若PAPDABDC，90APD，且四棱锥PABCD的体积为 8 3 ，求该四棱锥 的侧面积 第 7 页（共 23 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 31 垂直关系
8、（教师版） 1 （2019北京）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E 为CD的中点 （）求证：BD 平面PAC； （）若60ABC，求证：平面PAB 平面PAE； （）棱PB上是否存在点F，使得/ /CF平面PAE？说明理由 证明： （）四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形， BDPA，BDAC， PAACA，BD平面PAC （）在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形， E为CD的中点，60ABC， ABAE，PAAE， PAABA，AE平面PAB， AE 平面PAE，平面PAB 平面PAE 解： （）棱PB上是存在中点F
9、，使得/ /CF平面PAE 理由如下：取AB中点G，连结GF，CG， 在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点， / /CGAE，/ /FGPA， CGFGG，AEPAA， 平面/ /CFG平面PAE， 第 8 页（共 23 页） CF 平面CFG，/ /CF平面PAE 2 （2015重庆）如图，三棱锥PABC中，平面PAC 平面ABC， 2 ABC ，点D、E 在线段AC上，且2ADDEEC，4PDPC，点F在线段AB上，且/ /EFBC （）证明：AB 平面PFE （）若四棱锥PDFBC的体积为 7，求线段BC的长 解： （） 如图， 由DEEC，PDPC
10、知，E为等腰PDC中DC边的中点， 故PEAC， 又平面PAC 平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PE 平面PAC，PEAC， 所以PE 平面ABC，从而PEAB 因为 2 ABC ，/ /EFBC， 故ABEF， 从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直， 所以AB 平面PEF （）设BCx，则在直角ABC中， 222 36ABACBCx， 从而 2 11 36 22 ABC SAB BCxx ， 由/ /EFBC知 2 3 AFAE ABAC ，得AFEABC， 故 2 24 ( ) 39 AFE ABC S S ，即 4 9 AFEABC SS ， 第 9 页（共 23 页
11、） 由 1 2 ADAE， 2 11 421 36 22 999 AFDAFEABCABC SSSSxx ， 从而四边形DFBC的面积为： 222 117 363636 2918 DFBCABCAFD SSSxxxxxx 由（）知，PE 平面ABC，所以PE为四棱锥PDFBC的高 在直角PEC中， 2222 422 3PEPCEC， 故体积 2 11 7 362 37 33 18 P DFBCDFBC VSPExx ， 故得 42 362430 xx，解得 2 9x 或 2 27x ，由于0 x ，可得3x 或3 3x 所以：3BC 或3 3BC 3 （2015福建）如图，AB是圆O的直径，点
12、C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O 所在的平面，且1POOB， （）若D为线段AC的中点，求证；AC 平面PDO； （）求三棱锥PABC体积的最大值； （）若2BC ，点E在线段PB上，求CEOE的最小值 解： （）在AOC中，因为OAOC，D为AC的中点， 所以ACDO， 又PO垂直于圆O所在的平面， 所以POAC， 因为DOPOO， 所以AC 平面PDO 第 10 页（共 23 页） （）因为点C在圆O上， 所以当COAB时，C到AB的距离最大，且最大值为 1， 又2AB ，所以ABC面积的最大值为 1 2 11 2 ， 又因为三棱锥PABC的高1PO ， 故三棱锥PABC体积的最大
13、值为： 11 1 1 33 （）在POB中，1POOB，90POB， 所以 22 112PB， 同理2PC ，所以PBPCBC， 在三棱锥PABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC P，使之与平面ABP共面，如图所 示， 当O，E，C共线时，CEOE取得最小值， 又因为OPOB，C PC B， 所以OC垂直平分PB，即E为PB中点 从而 2626 222 OCOEEC 亦即CEOE的最小值为： 26 2 4 （2014四川）在如图所示的多面体中，四边形 11 ABB A和 11 ACC A都为矩形 （）若ACBC，证明：直线BC 平面 11 ACC A； （） 设D、E分别是线段BC、 1
14、CC的中点， 在线段AB上是否存在一点M， 使直线/ /DE 第 11 页（共 23 页） 平面 1 AMC？请证明你的结论 （）证明：四边形 11 ABB A和 11 ACC A都为矩形， 1 AAAB， 1 AAAC， ABACA， 1 AA平面ABC， BC 平面ABC， 1 AABC， ACBC， 1 AAACA， 直线BC 平面 11 ACC A； （）解：取AB的中点M，连接 1 A M，MC， 1 AC， 1 AC，设O为 1 AC， 1 AC的交点，则 O为 1 AC的中点 连接MD，OE，则/ /MDAC， 1 2 MDAC，/ /OEAC， 1 2 OEAC， / /MDO
15、E，MDOE， 连接OM，则四边形MDEO为平行四边形， / /DEMO， DE 平面 1 AMC，MO 平面 1 AMC， / /DE平面 1 AMC， 线段AB上存在一点M（线段AB的中点） ，使直线/ /DE平面 1 AMC 第 12 页（共 23 页） 5 （2014福建）如图，三棱锥ABCD中，AB 平面BCD，CDBD （）求证：CD 平面ABD； （）若1ABBDCD，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积 （）证明：AB 平面BCD，CD 平面BCD， ABCD， CDBD，ABBDB， CD平面ABD； （）解：AB 平面BCD，BD平面BCD， ABBD 1ABBD， 1 2
16、 ABD S， M为AD中点， 11 24 ABMABD SS ， CD 平面ABD， 11 312 A MBCCABMABM VVSCD 6 （2014广东）如图 1，四边形ABCD为矩形，PD 平面ABCD，1AB ，2BCPC 作如图 2 折叠；折痕/ /EFDC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点 P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF 第 13 页（共 23 页） （1）证明：CF 平面MDF； （2）求三棱锥MCDE的体积 解： （1）证明：PD 平面ABCD，PD平面PCD， 平面PCD 平面ABCD； 又平面PCD平面ABCDCD，MD 平面ABCD，MDCD
17、， MD平面PCD，CF 平面PCD，CFMD； 又CFMF，MD、MF 平面MDF，MDMFM， CF平面MDF； （2）CF 平面MDF，CFDF， 又Rt PCD中，1DC ，2PC ， 30P，60PCD， 30CDF， 11 22 CFCD； / /EFDC， DECF DPCP ，即 1 2 23 DE ， 3 4 DE， 3 3 4 PE， 13 28 CDE SCD DE ； 2222 3 336 ()() 442 MDMEDE， 11362 338216 M CDECDE VSMD 7 （2014新课标） 如图， 三棱柱 111 ABCABC中， 侧面 11 BBC C为菱形
18、， 1 B C的中点为O， 且AO 平面 11 BBC C 第 14 页（共 23 页） （1）证明： 1 BCAB； （2）若 1 ACAB， 1 60CBB，1BC ，求三棱柱 111 ABCABC的高 （1）证明：连接 1 BC，则O为 1 B C与 1 BC的交点， 侧面 11 BBC C为菱形， 11 BCBC， AO 平面 11 BBC C， 1 AOBC， 1 AOBCO， 1 BC平面ABO， AB 平面ABO， 1 BCAB； （2）解：作ODBC，垂足为D，连接AD，作OHAD，垂足为H， BCAO，BCOD，AOODO， BC平面AOD， OHBC， OHAD，BCADD
19、， OH平面ABC， 1 60CBB， 1 CBB为等边三角形， 1BC ， 3 4 OD， 1 ACAB， 1 11 22 OABC， 第 15 页（共 23 页） 由OH ADOD OA，可得 22 7 4 ADODOA， 21 14 OH， O为 1 B C的中点， 1 B到平面ABC的距离为 21 7 ， 三棱柱 111 ABCABC的高 21 7 8（2014山东） 如图， 四棱锥PABCD中，AP 平面PCD，/ /ADBC， 1 2 ABBCAD， E，F分别为线段AD，PC的中点 （）求证：/ /AP平面BEF； （）求证：BE 平面PAC 证明： （）连接CE，则 / /AD
20、BC， 1 2 BCAD，E为线段AD的中点， 四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形， 设ACBEO，连接OF，则O是AC的中点， F为线段PC的中点， / /PAOF， PA平面BEF，OF 平面BEF， / /AP平面BEF； （）BCDE是平行四边形， / /BECD， AP 平面PCD，CD 平面PCD， 第 16 页（共 23 页） APCD， BEAP， ABBC，四边形ABCE是平行四边形， 四边形ABCE是菱形， BEAC， APACA， BE平面PAC 9 （2013安徽） 如图， 四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为 2 的菱形，60BAD 已 知2PBPD，
21、6PA （）证明：BD 面PAC （）若E为PA的中点，求三菱锥PBCE的体积 （）证明：连接BD，AC交于O点， PBPD， POBD， 又ABCD是菱形， BDAC， PO 平面PAC，AC 平面PAC，ACPOO， BD平面PAC 第 17 页（共 23 页） （）则2 3AC ， ABD和PBD的三边长均为 2， ABDPBD ， 3AOPO， 222 AOPOPA， ACPO， 1 3 2 PAC SAC PO ， 11 1111 3 1 22 3232 P BCEB PECB PACPAC VVVSBO 10 （2013重庆） 如图， 四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，2 3P
22、A ，2BCCD， 3 ACBACD （）求证：BD 平面PAC； （）若侧棱PC上的点F满足7PFFC，求三棱锥PBDF的体积 解： （）2BCCD，BCD为等腰三角形，再由 3 ACBACD ，BDAC 再由PA底面ABCD，可得PABD 而PAACA，故BD 平面PAC 第 18 页（共 23 页） （）侧棱PC上的点F满足7PFFC， 三棱锥FBCD的高是三棱锥PBCD的高的 1 8 BCD的面积 112 sin22sin3 223 BCD SBC CDBCD 三棱锥PBDF的体积 11171 33883 P BCDFBCDBCDBCDBCD VVVSPASPASPA 77 32 3
23、244 11 （2013新课标）如图，三棱柱 111 ABCABC中，CACB， 1 ABAA， 1 60BAA （）证明： 1 ABAC； （）若2ABCB， 1 6AC ，求三棱柱 111 ABCABC的体积 （）证明：如图， 取AB的中点O，连结OC， 1 OA， 1 A B 因为CACB，所以OCAB 由于 1 ABAA， 1 60BAA，故 1 AA B为等边三角形， 所以 1 OAAB 因为 1 OCOAO，所以AB 平面 1 OAC 又 1 AC 平面 1 OAC，故 1 ABAC； （）解：由题设知ABC与 1 AA B都是边长为 2 的等边三角形， 所以 1 3OCOA 又
24、1 6AC ，则 222 11 ACOCOA，故 1 OAOC 因为OCABO，所以 1 OA 平面ABC， 1 OA为三棱柱 111 ABCABC的高 第 19 页（共 23 页） 又ABC的面积3 ABC S，故三棱柱 111 ABCABC的体积 1 333 ABC VSOA 12 （2019新课标）图 1 是由矩形ADEB，Rt ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形， 其中1AB ，2BEBF，60FBC将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结 DG，如图 2 （1）证明：图 2 中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC 平面BCGE； （2）求图 2 中的四边形ACGD的面积 解
25、： （1）证明：由已知可得/ /ADBE，/ /CGBE，即有/ /ADCG， 则AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面； 由四边形ABED为矩形，可得ABBE， 由ABC为直角三角形，可得ABBC， 又BCBEB，可得AB 平面BCGE， AB平面ABC，可得平面ABC 平面BCGE； （2）连接BG，AG， 由AB 平面BCGE，可得ABBG， 在BCG中，2BCCG，120BCG，可得2sin602 3BGBC ， 可得 22 13AGABBG， 在ACG中，5AC ，2CG ，13AG ， 第 20 页（共 23 页） 可得 45 131 cos 2255 ACG ，即有
26、2 sin 5 ACG， 则平行四边形ACGD的面积为 2 254 5 13 （2018江苏）在平行六面体 1111 ABCDABC D中， 1 AAAB， 111 ABBC 求证： （1）/ /AB平面 11 A B C； （2）平面 11 ABB A 平面 1 A BC 证明： （1）平行六面体 1111 ABCDABC D中， 11 / /ABAB， 11 / /ABAB，AB平面 11 A B C， 11 / /A B 平面 11 / /ABCAB平面 11 A B C； （2） 在平行六面体 1111 ABCDABC D中， 1 AAAB，四边形 11 ABB A是菱形， 11 AB
27、AB 在平行六面体 1111 ABCDABC D中， 1 AAAB， 1111 ABBCABBC 111 1 111 , , ABAB ABBC ABBCB ABABC BCABC 面面 1 AB面 1 A BC，且 1 AB 平面 11 ABB A平面 11 ABB A 平面 1 A BC 14 （2018新课标）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上 异于C，D的点 （1）证明：平面AMD 平面BMC； （2）在线段AM上是否存在点P，使得/ /MC平面PBD？说明理由 第 21 页（共 23 页） （1）证明：矩形ABCD所在平面与半圆弦CD所在平面垂直，所以AD
28、 半圆弦CD所在平 面，CM 半圆弦CD所在平面， CMAD， M是CD上异于C，D的点CMDM，DMADD，CM平面AMD，CM 平面CMB， 平面AMD 平面BMC； （2）解：存在P是AM的中点， 理由： 连接BD交AC于O， 取AM的中点P， 连接OP， 可得/ /MCOP，MC 平面BDP，OP 平面BDP， 所以/ /MC平面PBD 15 （2018新课标）如图，在平行四边形ABCM中，3ABAC，90ACM，以AC 为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA （1）证明：平面ACD 平面ABC； （2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点， 且 2 3 BPDQDA，
29、 求三棱锥QABP的 体积 第 22 页（共 23 页） 解： （1）证明：在平行四边形ABCM中，90ACM，ABAC， 又ABDA且ADACA， AB面ADC，AB 面ABC， 平面ACD 平面ABC； （2）3ABAC，90ACM，3 2ADAM， 2 2 2 3 BPDQDA， 由（1）得DCAB，又DCCA，DC面ABC， 三棱锥QABP的体积 11 33 ABP VSDC 1211211 3 331 3333323 ABC SDC 16 （2017新课标）如图，在四棱锥PABCD中，/ /ABCD，且90BAPCDP （1）证明：平面PAB 平面PAD； （2）若PAPDABDC，
30、90APD，且四棱锥PABCD的体积为 8 3 ，求该四棱锥 的侧面积 证明： （1）在四棱锥PABCD中，90BAPCDP ， ABPA，CDPD， 又/ /ABCD，ABPD， PAPDP，AB平面PAD， 第 23 页（共 23 页） AB 平面PAB，平面PAB 平面PAD 解： （2）设PAPDABDCa，取AD中点O，连结PO， PAPDABDC，90APD，平面PAB 平面PAD， PO底面ABCD，且 22 2ADaaa， 2 2 POa， 四棱锥PABCD的体积为 8 3 ， 由AB 平面PAD，得ABAD， 1 3 P ABCDABCD VSPO 四边形 3 11218 2 33233 ABADPOaaaa， 解得2a ，2PAPDABDC，2 2ADBC，2PO ， 442 2PBPC， 该四棱锥的侧面积： PADPABPDCPBC SSSSS 侧 22 1111 () 22222 BC PAPDPAABPDDCBCPB 1111 2222222 282 2222 62 3
