1、 第 1 页（共 10 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题九专题九 函数的最值与值域函数的最值与值域（学生版）（学生版） 一选择题（共一选择题（共 11 小题）小题） 1 （2019上海）下列函数中，值域为0，)的是( ) A2xy B 1 2 yx Ctanyx Dcosyx 2 （2015湖北）设xR，定义符号函数 1,0 0,0 1,0 x sgnxx x ，则( ) A|xx sgnx B|xxsgn x C| |xx sgnx D|xxsgnx 3 （2014全国）函数4sincos2yxx的值域为( ) A 5，4 B3，7 C 5，3 D 1，3 4 （2013辽宁）
2、已知函数 22 ( )2(2)f xxaxa， 22 ( )2(2)8g xxaxa设 1( ) ( )Hxmax f x，( )g x， 2( ) ( )Hxmin f x，( )g x，( , )max p q表示p，q中的较大 值，min p，q表示p，q中的较小值） ，记 1( ) H x的最小值为A， 2( ) Hx的最大值为B， 则(AB ) A16 B16 C 2 16216aa D 2 16216aa 5 （2010全国大纲版）已知函数( ) |f xlgx若ab且，f（a）f（b） ，则ab的 取值范围是( ) A(1,) B1，) C(2,) D2，) 6 （2008全国）
3、函数 3 ( )123( 33)f xxxx 剟的值域为区间( ) A 13，19 B 13，21 C 6，12 D 6，19 7 （2008重庆）函数 sin ( )(02 ) 54cos x f xx x 剟的值域是( ) A 1 1 , 4 4 B 1 1 , 3 3 C 1 1 , 2 2 D 2 2 , 3 3 8 （2008重庆）已知函数13yxx的最大值为M，最小值为m，则 m M 的值为( ) 第 2 页（共 10 页） A 1 4 B 1 2 C 2 2 D 3 2 9（2006浙江） 对a，bR， 记m a xa， , , a a b b b ab ， 函数( )|1|f
4、xmaxx，|2|()xxR 的最小值是( ) A0 B 1 2 C 3 2 D3 10 （2010全国）函数 2 sin2 ( )(0) 1cos282 x f xx xsin x 的最大值为( ) A 1 4 B 1 3 C 3 4 D 1 2 11 （2010山东）函数 2 ( )log (31) x f x 的值域为( ) A(0,) B0，) C(1,) D1，) 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 12 （2016北京）函数( )(2) 1 x f xx x 的最大值为 13 （2015天津）已知0a ，0b ，8ab ，则当a的值为 时， 22 loglog (2 )ab
5、取得 最大值 14 （2017浙江）已知aR，函数 4 ( ) |f xxaa x 在区间1，4上的最大值是 5，则a 的取值范围是 15 （2015湖北）a为实数， 函数 2 ( ) |f xxax在区间0，1上的最大值记为g（a） 当a 时，g（a）的值最小 16 （2015山东） 定义运算 “” 22 ( xy xyx xy ，yR，0)xy 当0 x ，0y 时， (2 )xyyx的最小值为 17 （2012新课标）设函数 2 2 (1)sin ( ) 1 xx f x x 的最大值为M，最小值为m，则 Mm 18 （2008全国）函数 2 (21) (0) (1)(41) x yx
6、xx 的最小值为 19 （2012山东）若函数( )(0,1) x f xa aa在 1，2上的最大值为 4，最小值为m，且 函数( )(14 )g xmx在0，)上是增函数，则a 第 3 页（共 10 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题九专题九 函数的最值与值域函数的最值与值域（教师版）（教师版） 一选择题（共一选择题（共 11 小题）小题） 1 （2019上海）下列函数中，值域为0，)的是( ) A2xy B 1 2 yx Ctanyx Dcosyx 【答案】B 【解析】A，2xy 的值域为(0,)，故A错 B：yx的定义域为0，)，值域也是0，)，故B正确 C：tanyx的值
7、域为(,) ，故C错，D：cosyx的值域为 1，1，故D错 2 （2015湖北）设xR，定义符号函数 1,0 0,0 1,0 x sgnxx x ，则( ) A|xx sgnx B|xxsgn x C| |xx sgnx D|xxsgnx 【答案】D 【解析】对于选项A，右边 ,0 | 0,0 xx x sgnx x ，而左边 ,0 | ,0 xx x xx ，显然不正确； 对于选项B，右边 ,0 | 0,0 xx xsgn x x ，而左边 ,0 | ,0 xx x xx ，显然不正确； 对于选项C，右边 ,0 | 0,0 xx x sgnx x ，而左边 ,0 | ,0 xx x xx
8、，显然不正确； 对于选项D，右边 ,0 0,0 ,0 xx xsgnxx xx ，而左边 ,0 | ,0 xx x xx ，显然正确； 故选：D 3 （2014全国）函数4sincos2yxx的值域为( ) A 5，4 B3，7 C 5，3 D 1，3 【答案】C 第 4 页（共 10 页） 【解析】 2 4sin(1 2sin)yxx 2 2sin4sin1xx 2 2(sin1)3x， 当sin1x 时，函数y取得最小值5，当sin1x 时，函数y取得最大值 3， 4sincos2yxx的值域是 5，3故选：C 4 （2013辽宁）已知函数 22 ( )2(2)f xxaxa， 22 (
9、)2(2)8g xxaxa设 1( ) ( )Hxmax f x，( )g x， 2( ) ( )Hxmin f x，( )g x，( , )max p q表示p，q中的较大 值，min p，q表示p，q中的较小值） ，记 1( ) H x的最小值为A， 2( ) Hx的最大值为B， 则(AB ) A16 B16 C 2 16216aa D 2 16216aa 【答案】B 【解析】 2222222 ( )( )( )2(2)2(2)824282()8h xf xg xxaxaxaxaxaxaxa 由 2 2()80 xa ，解得2xa，此时( )( )f xg x； 由( )0h x ，解得2
10、xa，或2xa，此时( )( )f xg x； 由( )0h x ，解得22axa，此时( )( )f xg x 综上可知： （1）当2x a时，则 1( ) ( )H xmax f x， 2 ( )( )(2)44g xf xxaa， 2( ) ( )Hxmin f x， 2 ( )( )(2)412g xg xxaa， （2） 当22ax a剟时， 1( ) ( )H xmax f x，( )( )g xg x， 2( ) ( )Hxmin f x，( )( )g xf x； （3）当2x a时，则 1( ) ( )H xmax f x，( )( )g xf x， 2( ) ( )Hxmi
11、n f x，( )( )g xg x， 故 2 (2)(2)(2)41244Ag aaaaa，(2)412Bg aa ， 44( 412)16ABaa 故选：B 第 5 页（共 10 页） 5 （2010全国大纲版）已知函数( ) |f xlgx若ab且，f（a）f（b） ，则ab的 取值范围是( ) A(1,) B1，) C(2,) D2，) 【答案】C 【解析】因为f（a）f（b） ，所以| |lgalgb， 不妨设0ab，则01ab ，lgalgb ，0lgalgb ， ()0lg ab ， 1ab，又0a ，0b ，且ab 2 ()44abab2ab 6 （2008全国）函数 3 (
12、)123( 33)f xxxx 剟的值域为区间( ) A 13，19 B 13，21 C 6，12 D 6，19 【答案】A 【解析】由 3 ( )123f xxx，得 2 ( )3123(2)(2)f xxxx 33x 剟，当( 3x ，2)(2，3)时，( )0fx，当( 2,2)x 时，( )0fx， ( )f x的增区间为( 3, 2) ，(2,3)；减区间为( 2,2)， ( 3)12f ，f（3）6 ，( 2)19f ，f（2）13 ， 函数 3 ( )123( 33)f xxxx 剟的值域为区间 13，19故选：A 7 （2008重庆）函数 sin ( )(02 ) 54cos
13、x f xx x 剟的值域是( ) A 1 1 , 4 4 B 1 1 , 3 3 C 1 1 , 2 2 D 2 2 , 3 3 【答案】C 【解析】令54cos(13)xtt剟，则 22 2 16(5) sin 16 t x ， 当0 x剟时， 2242 16(5)109 sin 164 ttt x ， 第 6 页（共 10 页） 所以 2 2 42 2 2 99 210()10 sin1091 ( ) 444254cos tt xttt t f x tx 当且仅当3t 时取等号同理可得当2x 时， 1 ( ) 2 f x， 综上可知( )f x的值域为 1 1 , 2 2 ，故选：C 8
14、 （2008重庆）已知函数13yxx的最大值为M，最小值为m，则 m M 的值为( ) A 1 4 B 1 2 C 2 2 D 3 2 【答案】C 【解析】根据题意，对于函数13yxx， 有 10 31 3 0 x x x 剟 ， 2 42 1342 (1)(3)yxxx x 所以当1x 时， 2 y取最大值8M ，当3x 或 1 时 2 y取最小值4m ， 12 22 m M 故选：C 9（2006浙江） 对a，bR， 记m a xa， , , a a b b b ab ， 函数( )|1|f xmaxx，|2|()xxR 的最小值是( ) A0 B 1 2 C 3 2 D3 【答案】C 【
15、解析】当1x 时，|1|1xx ，|2| 2xx，因为(1)(2)30 xx ，所以 21xx ； 当 1 1 2 x时，|1|1xx，|2| 2xx， 因为(1)(2)210 xxx ，12xx ； 当 1 2 2 x时，12xx ； 当2x时，|1|1xx，|2|2xx，显然12xx ； 第 7 页（共 10 页） 故 1 2() 2 ( ) 1 1 ,) 2 xx f x xx 据此求得最小值为 3 2 故选：C 10 （2010全国）函数 2 sin2 ( )(0) 1cos282 x f xx xsin x 的最大值为( ) A 1 4 B 1 3 C 3 4 D 1 2 【答案】A
16、 【解析】函数 2 sin2 ( )(0) 1cos282 x f xx xsin x 2222 2sin cossin cos 284 xxxx cos xsin xcos xsin x 2 tan 14 x tan x 由0 2 x ，可得tan0 x ，即有 2 tan111 1 1441 4tan 2 4tan tan tan x tan x x x x x ， 当且仅当 1 tan 2 x 时，取得等号，则( )f x的最大值为 1 4 故选：A 11 （2010山东）函数 2 ( )log (31) x f x 的值域为( ) A(0,) B0，) C(1,) D1，) 【答案】A
17、 【解析】根据对数函数的定义可知，真数310 x 恒成立，解得xR 因此，该函数的定义域为R，原函数 2 ( )log (31) x f x 是由对数函数 2 logyt和31 x t 复 合的复合函数 由复合函数的单调性定义（同増异减）知道，原函数在定义域R上是单调递增的 根据指数函数的性质可知，30 x ，所以，31 1 x ， 所以 22 ( )log (31)log 10 x f x ， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 12 （2016北京）函数( )(2) 1 x f xx x 的最大值为 【答案】2 【解析】 1 11 ( )1 111 xx f x xxx
18、；( )f x在2，)上单调递减； 第 8 页（共 10 页） 2x时，( )f x取最大值 2故答案为：2 13 （2015天津）已知0a ，0b ，8ab ，则当a的值为 时， 22 loglog (2 )ab取得 最大值 【答案】4 【解析】由题意可得当 22 loglog (2 )ab最大时， 2 log a和 2 log (2 )b都是正数，故有1a 再利用基本不等式可得 2222222 22 loglog (2 )log (2)log 16 loglog (2 ) 4 222 abab ab ， 当且仅当24ab时，取等号，即当4a 时， 22 loglog (2 )ab取得最大值
19、，故答案为：4 14 （2017浙江）已知aR，函数 4 ( ) |f xxaa x 在区间1，4上的最大值是 5，则a 的取值范围是 【答案】(， 9 2 【解析】由题可知 4 |5xaa x ，即 4 |5xaa x ，所以5a， 又因为 4 |5xaa x ，所以 4 55axaa x 剟，所以 4 255ax x 剟， 又因为14x剟， 4 45x x 剟，所以25 4a ，解得 9 2 a，故答案为：(， 9 2 15 （2015湖北）a为实数， 函数 2 ( ) |f xxax在区间0，1上的最大值记为g（a） 当a 时，g（a）的值最小 【答案】2 22 【解析】对函数 2 22
20、 ( ) | |()| 24 aa f xxaxx分下面几种情况讨论： 当0a时， 2 ( )f xxax在区间0，1上单调递增，( )maxf xg（1）1a ； 当02 22a时， 2 2 ( ) |( )| 2224 aaaa fa，f（1）1a ， 22 (2) (1)20 44 aa a ，( )maxf xg（1）1a ； 当2 221a 时，( )maxf xg（a） 2 4 a ； 综上所述，g（a） 2 1,02 22 ,2 221 4 aa a a ， 第 9 页（共 10 页） g（a）在(，2 22上单调递减，在2 22，)上单调递增， g（a）(2 22) min g
21、； 当12a时，g（a） 2 ( ) 24 aa f；当2a时，g（a）f（1）1a； 综上，当2 22a 时，g（a）32 2 min ，故答案为：2 22 16 （2015山东） 定义运算 “” 22 ( xy xyx xy ，yR，0)xy 当0 x ，0y 时， (2 )xyyx的最小值为 【答案】2 【解析】 22 xy xy xy ， 222222 42 (2 ) 22 xyyxxy xyyx xyxyxy ， 由0 x ，0y ， 2222 2222 2xyxyxy，当且仅当2xy时等号成立， 22 22 2 2 22 xyxy xyxy ，故答案为：2 17（2012新课标）
22、设函数 2 2 (1)sin ( ) 1 xx f x x 的最大值为M， 最小值为m， 则Mm 【答案】2 【解析】函数可化为 2 22 (1)sin2sin ( )1 11 xxxx f x xx ， 令 2 2sin ( ) 1 xx g x x ，则 2 2sin ( ) 1 xx g x x 为奇函数， 2 2sin ( ) 1 xx g x x 的最大值与最小值的和为 0 函数 2 2 (1)sin ( ) 1 xx f x x 的最大值与最小值的和为1 102 即2Mm 故答案为：2 18 （2008全国）函数 2 (21) (0) (1)(41) x yx xx 的最小值为 【
23、答案】 8 9 【解析】 22 22 (21)441 1 (1)(41)451451 xxxx y xxxxxx ， 当0 x 时，1y ； 当0 x 时， 2 1 451 x y xx 1 1 1 45x x ， 第 10 页（共 10 页） 1 42 44x x ， （当且令当 1 2 x 时，等号成立） ； 故 111 0 1 459 45x x ，故 81 11 1 9 45x x ， 综上所述，函数 2 (21) (0) (1)(41) x yx xx 的最小值为 8 9 ，故答案为： 8 9 19 （2012山东）若函数( )(0,1) x f xa aa在 1，2上的最大值为 4，最小值为m，且 函数( )(14 )g xmx在0，)上是增函数，则a 【答案】 1 4 【解析】当1a 时，有 2 4a ， 1 am ， 此时2a ， 1 2 m ，此时( )g xx 为减函数，不合题意； 若01a，则 1 4a， 2 am，故 1 4 a ， 1 16 m ， 3 ( ) 4 g xx在0，)上是增函数， 符合题意故答案为： 1 4
