1、 第 1 页（共 10 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 44 几何概型（学生版） 一选择题（共一选择题（共 13 小题）小题） 1 （2019全国）在Rt ABC中，ABBC，在BC边上随机取点P，则30BAP的概率 为( ) A 1 2 B 3 3 C 2 3 D 3 2 2 （2018新课标）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半 圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，ACABC的 三边所围成的区域记为I，黑色部分记为，其余部分记为在整个图形中随机取一点， 此点取自，的概率分别记为 1 p，
2、 2 p， 3 p，则( ) A 12 pp B 13 pp C 23 pp D 123 ppp 3 （2017新课标）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 在正方形内随机取一点， 则此点取 自黑色部分的概率是( ) A 1 4 B 8 C 1 2 D 4 4 （2016新课标）从区间0，1随机抽取2n个数 1 x， 2 x， n x， 1 y， 2 y， n y构 成n个数对 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) ( n yx，) n y，其中两数的平方和小于 1 的数对共有m个， 第 2 页（共 10 页） 则用
3、随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为( ) A 4n m B 2n m C 4m n D 2m n 5 （2016新课标）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间 到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概 率是( ) A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 6 （2016新课标）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( ) A 7 10 B 5 8 C 3 8 D 3 10 7 （2015福建）如图，矩形AB
4、CD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D 在函数 1,0 ( ) 1 1,0 2 xx f x xx 的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴 影部分的概率等于( ) A 1 6 B 1 4 C 3 8 D 1 2 8 （2015陕西）设复数(1)(zxyi x，)yR，若| 1z ，则y x的概率为( ) A 31 42 B 11 2 C 11 2 D 11 42 9 （2015山东）在区间0，2上随机地取一个数x，则事件“ 1 2 1 1 log () 1 2 x剟”发生的 概率为( ) A 3 4 B 2 3 C 1 3 D 1 4 10 （2014陕西）从
5、正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点，则这 2 个点的距离小 于该正方形边长的概率为( ) A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 第 3 页（共 10 页） 11 （2014湖北）由不等式组 0 0 2 0 x y yx 确定的平面区域记为 1 ，不等式组 1 2 xy xy 确 定的平面区域记为 2 ，在 1 中随机取一点，则该点恰好在 2 内的概率为( ) A 1 8 B 1 4 C 3 4 D 7 8 12 （2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半 圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( ) A 11 2
6、 B 1 C 2 1 D 2 13 （2009辽宁）ABCD为长方形，2AB ，1BC ，O为AB的中点，在长方形ABCD内 随机取一点，取到的点到O的距离大于 1 的概率为( ) A 4 B1 4 C 8 D1 8 二填空题（共二填空题（共 3 小题）小题） 14（2017江苏） 记函数 2 ( )6f xxx定义域为D 在区间 4，5上随机取一个数x， 则xD的概率是 15 （2016山东）在 1，1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆 22 (5)9xy 相交”发生的概率为 16 （2015重庆）在区间0，5上随机地选择一个数p，则方程 2 2320 xpxp有两 个负根的概率为
7、第 4 页（共 10 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 44 几何概型（教师版） 一选择题（共一选择题（共 13 小题）小题） 1 （2019全国）在Rt ABC中，ABBC，在BC边上随机取点P，则30BAP的概率 为( ) A 1 2 B 3 3 C 2 3 D 3 2 【答案】B 【解析】 在Rt ABC中，ABBC，Rt ABC为等腰直角三角形， 令1ABBC， 则：2AC ； 在BC边上随机取点P，当30BAP时， 3 tan30 3 BP ， 在BC边上随机取点P，则30BAP的概率为： 3 3 BP p BC 2 （2018新课标）
8、如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半 圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，ACABC的 三边所围成的区域记为I，黑色部分记为，其余部分记为在整个图形中随机取一点， 此点取自，的概率分别记为 1 p， 2 p， 3 p，则( ) A 12 pp B 13 pp C 23 pp D 123 ppp 【答案】A 【解析】如图：设 1 2BCr， 2 2ABr， 3 2ACr， 222 123 rrr， 2 32 3 1 42 2 Sr rr r ， 2 12 3 1 2 2 Srr r ， 22222 323212 32 3 11111 22 2
9、2222 SrrSrrrr rr r ， SS ，12 PP 第 5 页（共 10 页） 3 （2017新课标）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 在正方形内随机取一点， 则此点取 自黑色部分的概率是( ) A 1 4 B 8 C 1 2 D 4 【答案】B 【解析】根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为 1，则正方形的边 长为 2，则黑色部分的面积 2 S ，则对应概率 2 48 P 4 （2016新课标）从区间0，1随机抽取2n个数 1 x， 2 x， n x， 1 y， 2 y， n y构 成n
10、个数对 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) ( n yx，) n y，其中两数的平方和小于 1 的数对共有m个， 则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为( ) A 4n m B 2n m C 4m n D 2m n 【答案】C 【解析】由题意，两数的平方和小于 1，对应的区域的面积为 2 1 1 4 ，从区间0，1随机抽 取2n个数 1 x， 2 x， n x， 1 y， 2 y， n y，构成n个数对 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y， ( n x，) n y，对应的区域的面积为 2 1 2 2 1 1 4 1 m n 4m n 5 （2016新课标）某公司的班车在7:0
11、0，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间 到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概 率是( ) A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 【答案】B 第 6 页（共 10 页） 【解析】设小明到达时间为y，当y在7:50至8:00，或8:20至8:30时， 小明等车时间不超过 10 分钟，故 201 402 P 6 （2016新课标）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( ) A 7 10 B 5 8 C 3 8 D 3 10
12、【答案】B 【解析】红灯持续时间为 40 秒，至少需要等待 15 秒才出现绿灯， 一名行人前 25 秒来到该路口遇到红灯， 至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 255 408 7 （2015福建）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D 在函数 1,0 ( ) 1 1,0 2 xx f x xx 的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴 影部分的概率等于( ) A 1 6 B 1 4 C 3 8 D 1 2 【答案】B 【解析】由题意可得(1,0)B，把1x 代入1yx可得2y ，即(1,2)C， 把0 x 代入1yx可得1y ，即图中阴影三角
13、形的第 3 个定点为(0,1)， 令 1 12 2 x 可解得2x ，即( 2,2)D ， 矩形的面积326S ，阴影三角形的面积 13 3 1 22 S ，所求概率 1 4 S P S 8 （2015陕西）设复数(1)(zxyi x，)yR，若| 1z ，则y x的概率为( ) A 31 42 B 11 2 C 11 2 D 11 42 【答案】D 【解析】复数(1)(zxyi x，)yR且| 1z ， 第 7 页（共 10 页） 22 | |(1)1zxy， 即 22 (1)1xy，点( , )x y在(1,0)为圆心 1 为半径的圆及其内部， 而y x表示直线yx左上方的部分，所求概率为
14、弓形的面积与圆的面积之比， 所求概率 2 2 11 11 1 11 42 142 P 9 （2015山东）在区间0，2上随机地取一个数x，则事件“ 1 2 1 1 log () 1 2 x剟”发生的 概率为( ) A 3 4 B 2 3 C 1 3 D 1 4 【答案】A 【解析】 1 2 1 1 log () 1 2 x剟 11 2 22 x 剟解得 3 0 2 x剟，02x剟 3 0 2 x 剟 所求的概率为： 3 3 2 24 P 10 （2014陕西）从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点，则这 2 个点的距离小 于该正方形边长的概率为( ) A 1 5 B 2 5 C
15、3 5 D 4 5 【答案】B 【解析】设正方形边长为 1，则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点，共有 10 条线段，4 条长度为 1，4 条长度为 2 2 ，两条长度为2，所求概率为 42 105 11 （2014湖北）由不等式组 0 0 2 0 x y yx 确定的平面区域记为 1 ，不等式组 1 2 xy xy 确 定的平面区域记为 2 ，在 1 中随机取一点，则该点恰好在 2 内的概率为( ) A 1 8 B 1 4 C 3 4 D 7 8 【答案】D 【解析】平面区域 1 ，为三角形AOB，面积为 1 222 2 ， 平面区域 2 ，为AOB内的四边形BDCO，其中
16、(0,1)C， 第 8 页（共 10 页） 由 20 1 yx xy ，解得 1 2 3 2 x y ，即 1 ( 2 D ， 3) 2 ， 则三角形ACD的面积 111 1 224 S ， 则四边形BDCO的面积 17 2 44 OABACD SSS ， 则在 1 中随机取一点，则该点恰好在 2 内的概率为 7 7 4 28 12 （2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半 圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( ) A 11 2 B 1 C 2 1 D 2 【答案】C 【解析】设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为 2 1 4 r，
17、 连接OC，把下面的阴影部分平均分成了 2 部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图 中划线部分，则阴影部分的面积为： 22 11 42 rr， 此点取自阴影部分的概率是 22 2 11 2 42 1 1 4 rr r 13 （2009辽宁）ABCD为长方形，2AB ，1BC ，O为AB的中点，在长方形ABCD内 随机取一点，取到的点到O的距离大于 1 的概率为( ) 第 9 页（共 10 页） A 4 B1 4 C 8 D1 8 【答案】B 【解析】已知如图所示：长方形面积为 2，以O为圆心，1 为半径作圆， 在矩形内部的部分 （半圆） 面积为 2 因此取到的点到O的距离大于1的概率 2
18、2 1 24 P 二填空题（共二填空题（共 3 小题）小题） 14（2017江苏） 记函数 2 ( )6f xxx定义域为D 在区间 4，5上随机取一个数x， 则xD的概率是 【答案】 5 9 【解析】由 2 60 xx得 2 6 0 xx ，得23x 剟，则 2D ，3， 则在区间 4，5上随机取一个数x，则xD的概率 3( 2)5 5( 4)9 P 15 （2016山东）在 1，1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆 22 (5)9xy 相交”发生的概率为 【答案】 3 4 【解析】圆 22 (5)9xy的圆心为(5,0)，半径为 3 圆心到直线ykx的距离为 2 | 5| 1 k k ，要使直线ykx与圆 22 (5)9xy相交，则 2 |5 | 3 1 k k ，解得 33 44 k在区间 1，1上随机取一个数k，使直线ykx与圆 22 (5)9xy相交相交的概率为 33 3 44 1 14 16 （2015重庆）在区间0，5上随机地选择一个数p，则方程 2 2320 xpxp有两 个负根的概率为 第 10 页（共 10 页） 【答案】 2 3 【解析】方程 2 2320 xpxp有两个负根等价于 2 12 12 44(32) 0 20 320 pp xxp x xp ， 解关于p的不等式组可得 2 1 3 p或2p，所求概率 2 152 2 3 503 P
