1、 第 1 页（共 8 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 47 二项式定理（学生版） 一选择题（共一选择题（共 14 小题）小题） 1 （2019全国） 6 (21)x 的展开式中x的系数是( ) A120 B60 C30 D15 2 （2019新课标） 24 (12)(1)xx的展开式中 3 x的系数为( ) A12 B16 C20 D24 3 （2018新课标） 25 2 ()x x 的展开式中 4 x的系数为( ) A10 B20 C40 D80 4 （2017新课标） 6 2 1 (1)(1)x x 展开式中 2 x的系数为( ) A15
2、B20 C30 D35 5 （2017新课标） 5 ()(2)xyxy的展开式中的 33 x y系数为( ) A80 B40 C40 D80 6 （2016四川）设i为虚数单位，则 6 ()xi的展开式中含 4 x的项为( ) A 4 15x B 4 15x C 4 20ix D 4 20ix 7 （2015新课标） 25 ()xxy的展开式中， 52 x y的系数为( ) A10 B20 C30 D60 8 （2015陕西）二项式(1) () n xnN的展开式中 2 x的系数为 15，则(n ) A7 B6 C5 D4 9 （2015湖南）已知 5 () a x x 的展开式中含 3 2
3、x的项的系数为 30，则(a ) A3 B3 C6 D6 10 （2014全国） 93 (2)x的展开式中 3 x的系数是( ) A336 B168 C168 D336 11（2014浙江） 在 64 (1) (1)xy的展开式中， 记 mn x y项的系数为( , )f m n， 则(3f，0)(2f， 第 2 页（共 8 页） 1)(1f，2)(0f，3)( ) A45 B60 C120 D210 12 （2014四川）在 6 (1)xx的展开式中，含 3 x项的系数为( ) A30 B20 C15 D10 13 （2013大纲版） 34 (1) (1)xy的展开式中 22 x y的系数是
4、( ) A5 B8 C12 D18 14（2013新课标） 设m为正整数， 2 () m xy展开式的二项式系数的最大值为a， 21 () m xy 展开式的二项式系数的最大值为b，若137ab，则(m ) A5 B6 C7 D8 二填空题（共二填空题（共 9 小题）小题） 15 （2020上海）已知二项式 5 (2)xx，则展开式中 3 x的系数为 16 （2019天津） 8 3 1 (2) 8 x x 的展开式中的常数项为 17 （2019浙江）在二项式 9 ( 2) x展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数 是 18 （2018全国）多项式 34 (1)(1)xx中 2 x的系数为
5、 （用数字填写答案） 19 （2018上海）设aR，若 299 2 2 ()() a xx xx 与的二项展开式中的常数项相等，则a 20 （2016新课标） 5 (2)xx的展开式中， 3 x的系数是 （用数字填写答案） 21（2015新课标） 4 ()(1)axx的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32， 则a 22 （2014新课标） 8 ()()xy xy的展开式中 27 x y的系数为 （用数字填写答案） 23 （2014山东）若 26 () b ax x 的展开式中 3 x项的系数为 20，则 22 ab的最小值为 第 3 页（共 8 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高
6、考数学真题精选（按考点分类） 专题 47 二项式定理（教师版） 一选择题（共一选择题（共 14 小题）小题） 1 （2019全国） 6 (21)x 的展开式中x的系数是( ) A120 B60 C30 D15 【答案】B 【解析】由二项式 6 (21)x 的展开式的通项为 6 66 2 166 (2)2 r rrrr r TCxC x ， 令 6 1 2 r ，解得4r ，则 6 (21)x 的展开式中x的系数是 24 6 260C 2 （2019新课标） 24 (12)(1)xx的展开式中 3 x的系数为( ) A12 B16 C20 D24 【答案】A 【解析】 24 (12)(1)xx的
7、展开式中 3 x的系数为： 3311133 4143 111 21112CCCC 3 （2018新课标） 25 2 ()x x 的展开式中 4 x的系数为( ) A10 B20 C40 D80 【答案】C 【解析】由二项式定理得 25 2 ()x x 的展开式的通项为 2510 3 155 2 ()( )2 rrrrrr r TCxC x x ， 由1034r，解得2r ， 25 2 ()x x 的展开式中 4 x的系数为 22 5 240C 4 （2017新课标） 6 2 1 (1)(1)x x 展开式中 2 x的系数为( ) A15 B20 C30 D35 【答案】C 【解析】 6 2 1
8、 (1)(1)x x 展开式中： 若 2 2 1 (1)(1)x x 提供常数项 1，则 6 (1) x提供含有 2 x的项，可得展开式中 2 x的系数： 若 2 1 (1) x 提供 2 x项，则 6 (1) x提供含有 4 x的项，可得展开式中 2 x的系数： 第 4 页（共 8 页） 由 6 (1) x通项公式可得 6 rr C x 可知2r 时，可得展开式中 2 x的系数为 2 6 15C 可知4r 时，可得展开式中 2 x的系数为 4 6 15C 6 2 1 (1)(1)x x 展开式中 2 x的系数为：151530 5 （2017新课标） 5 ()(2)xyxy的展开式中的 33
9、x y系数为( ) A80 B40 C40 D80 【答案】C 【解析】 5 (2)xy的展开式的通项公式： 555 155 (2 )()2( 1) rrrrrrrr r Txyxy 痧 令52r，3r ，解得3r 令53r，2r ，解得2r 5 ()(2)xyxy的展开式中的 33 x y系数 23332 55 2( 1)2140 痧 6 （2016四川）设i为虚数单位，则 6 ()xi的展开式中含 4 x的项为( ) A 4 15x B 4 15x C 4 20ix D 4 20ix 【答案】A 【解析】 6 ()xi的展开式中含 4 x的项为 4424 6 15C x ix 7 （201
10、5新课标） 25 ()xxy的展开式中， 52 x y的系数为( ) A10 B20 C30 D60 【答案】C 【解析】 25 ()xxy的展开式的通项为 25 15( ) rrr r TC xxy ， 令2r ，则 23 ()xx的通项为 2 36 33 () kkkkk CxxC x ，令65k，则1k ， 25 ()xxy的展开式中， 52 x y的系数为 21 53 30C C 8 （2015陕西）二项式(1) () n xnN的展开式中 2 x的系数为 15，则(n ) A7 B6 C5 D4 【答案】B 【解析】二项式(1) () n xnN的展开式中 2 x的系数为 15， 第
11、 5 页（共 8 页） 2 15 n C ，即 (1) 15 2 n n ，解得6n 9 （2015湖南）已知 5 () a x x 的展开式中含 3 2 x的项的系数为 30，则(a ) A3 B3 C6 D6 【答案】D 【解析】根据所给的二项式写出展开式的通项， 5 5 22 155 ()()() rr rrrrr r a TCxa C x x ； 展开式中含 3 2 x的项的系数为 30， 523 22 r ，1r ，并且 11 5 ()30a C，解得6a 10 （2014全国） 93 (2)x的展开式中 3 x的系数是( ) A336 B168 C168 D336 【答案】A 【解
12、析】 93 (2)x的展开式的通项公式为 9 3 19 ( 1) 2 r rrr r TCx ， 令93r，求得6r ，故展开式中 3 x的系数是 62 9 1 2336C 11（2014浙江） 在 64 (1) (1)xy的展开式中， 记 mn x y项的系数为( , )f m n， 则(3f，0)(2f， 1)(1f，2)(0f，3)( ) A45 B60 C120 D210 【答案】C 【解析】 64 (1) (1)xy的展开式中，含 30 x y的系数是： 30 64 20C C (3,0)20f； 含 21 x y的系数是 21 64 60C C ，(2,1)60f； 含 12 x
13、y的系数是 12 64 36C C ，(1,2)36f； 含 03 x y的系数是 03 64 4C C ，(0,3)4f； (3f，0)(2f，1)(1f，2)(0f，3)120 12 （2014四川）在 6 (1)xx的展开式中，含 3 x项的系数为( ) A30 B20 C15 D10 【答案】C 第 6 页（共 8 页） 【解析】 6 (1) x展开式中通项 16 rr r TC x ，令2r 可得， 222 36 15TC xx， 6 (1) x展开式中 2 x项的系数为 15，在 6 (1)xx的展开式中，含 3 x项的系数为：15 13 （2013大纲版） 34 (1) (1)x
14、y的展开式中 22 x y的系数是( ) A5 B8 C12 D18 【答案】D 【解析】 3 (1)x的展开式的通项为 13 rr r TC x 令2r 得到展开式中 2 x的系数是 2 3 3C ， 4 (1) y的展开式的通项为 14 rr r TC y 令2r 得到展开式中 2 y的系数是 2 4 6C ， 34 (1) (1)xy的展开式中 22 x y的系数是：3618 14（2013新课标） 设m为正整数， 2 () m xy展开式的二项式系数的最大值为a， 21 () m xy 展开式的二项式系数的最大值为b，若137ab，则(m ) A5 B6 C7 D8 【答案】B 【解析
15、】m为正整数，由 2 () m xy展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的 性质可得 2 m m aC， 同理，由 21 () m xy 展开式的二项式系数的最大值为b，可得 1 2121 mm mm bCC 再由137ab，可得 221 137 mm mm CC ，即 (2 )!(21)! 137 ! (1)! mm m mmm ， 即 21 137 1 m m ，即13(1)7(21)mm，解得6m 二填空题（共二填空题（共 9 小题）小题） 15 （2020上海）已知二项式 5 (2)xx，则展开式中 3 x的系数为 【答案】10 【解析】 4143 5(2 ) ( )10Cx
16、xx，所以展开式中 3 x的系数为 10 16 （2019天津） 8 3 1 (2) 8 x x 的展开式中的常数项为 28 【答案】28 第 7 页（共 8 页） 【解析】由题意，可知：此二项式的展开式的通项为： 888 1888 33 111 (2 )()2()()( 1) 2 88 rrrrrrrrrr r TCxCxC xx 8 48 4rr x 当840r，即2r 时， 1r T 为常数项此时 22 2 18 ( 1) 2TC 8 4 2 28 17 （2019浙江）在二项式 9 ( 2) x展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数 是 【答案】16 2，5 【解析】二项式 9
17、( 2) x的展开式的通项为 9 9 2 199 ( 2)2 r rrrrr r TCxC x 由0r ，得常数项是 1 16 2T ； 当1r ，3，5，7，9 时，系数为有理数， 系数为有理数的项的个数是 5 个 18 （2018全国）多项式 34 (1)(1)xx中 2 x的系数为 （用数字填写答案） 【答案】9 【解析】多项式 34 (1)(1)xx中 2 x的系数，即为 3 (1) x和 4 (1) x中 2 x的系数之和， 为 22 34 9CC 19 （2018上海） 设aR， 若 299 2 2 ()() a xx xx 与的二项展开式中的常数项相等， 则a 4 【答案】4 【
18、解析】 29 2 ()x x 的展开式的通项为 2918 3 199 2 ()( )2 rrrrrr r TCxCx x ， 由1830r，得6r 29 2 ()x x 的展开式中的常数项为 6 9 64C 9 2 () a x x 的展开式的通项为 99 3 199 2 () rrrrrr r a TCxa Cx x ， 由930r，得3r 9 2 () a x x 的展开式的常数项为 33 9 a C由 633 99 64Ca C，得4a 20 （2016新课标） 5 (2)xx的展开式中， 3 x的系数是 10 （用数字填写答案） 【答案】10 【解析】 5 (2)xx的展开式中，通项公
19、式为： 5 55 2 155 (2 )()2 r rrrrr r TxxCx ， 令53 2 r ，解得4r 第 8 页（共 8 页） 3 x的系数 4 5 210C 故答案为：10 21（2015新课标） 4 ()(1)axx的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32， 则a 【答案】3 【解析】设 425 0125 ( )()(1)f xaxxaa xa xa x， 令1x ，则 0125 aaaaf（1）16(1)a， 令1x ，则 0125 ( 1)0aaaaf 得， 135 2()16(1)aaaa，所以2 3216(1)a，所以3a 22 （2014新课标） 8 ()()xy xy的
20、展开式中 27 x y的系数为 （用数字填写答案） 【答案】20 【解析】 8 ()xy的展开式中，含 7 xy的系数是：8 含 26 x y的系数是 28， 8 ()()xy xy的展开式中 27 x y的系数为：82820 23 （2014山东）若 26 () b ax x 的展开式中 3 x项的系数为 20，则 22 ab的最小值为 2 【答案】2 【解析】 26 () b ax x 的展开式中 3 x项的系数为 20， 所以 26612 3 166 ()( ) rrrrrrr r b TCaxC ab x x ，令1233r，3r， 333 6 20C a b ， 1ab， 22 22abab，当且仅当1ab时取等号 22 ab的最小值为：2
