1、 第 1 页（共 14 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 42 样本的数字特征（学生版） 1 （2019新课标）演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成 绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是( ) A中位数 B平均数 C方差 D极差 2 （2012山东）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88， 88，88若B样本数据恰好是A样本数据都加 2 后所得数据，则A，B两样本的下列数 字特征对
2、应相同的是( ) A众数 B平均数 C中位数 D方差 3 （2012江西）样本 1 (x， 2 x ，) n x的平均数为x，样本 1 (y， 2 y，) m y的平均数为 ()y xy 若样本 1 (x， 2 x ， n x， 1 y， 2 y，) m y的平均数(1)zxy， 其中 1 0 2 ， 则n，m的大小关系为( ) Anm Bnm Cnm D不能确定 4 （2009四川）设矩形的长为a，宽为b，其比满足 51 :0.618 2 b a ，这种矩形给人 以美感称为黄金矩形黄金矩形常应用于工艺品设计中下面是某工艺品厂随机抽取两 个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本： 甲批次：0.5
3、98 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数， 与标准值 0.618 比较， 正确结论是( ) A甲批次的总体平均数与标准值更接近 B乙批次的总体平均数与标准值更接近 C两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 5 （2009上海）有专业机构认为甲型 11 N H流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志 为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 15 人” 根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增 第 2 页（共 14 页） 疑
4、似病例数据，一定符合该标志的是( ) A甲地：总体均值为 3，中位数为 4 B乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0 C丙地：中位数为 2，众数为 3 D丁地：总体均值为 5，总体方差为 12 6 （2017新课标）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田这n块地的亩 产量（单位：)kg分别是 1 x， 2 x， n x，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物 亩产量稳定程度的是( ) A 1 x， 2 x， n x的平均数 B 1 x， 2 x， n x的标准差 C 1 x， 2 x， n x的最大值 D 1 x， 2 x， n x的中位数 7 （2015安徽）若样本数据 1 x， 2
5、 x， 10 x的标准差为 8，则数据 1 21x ， 2 21x ， 10 21x的标准差为( ) A8 B15 C16 D32 8 （2010陕西）如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别 为 A X、 B X，样本标准差分别为 A S， B S，则( ) A AB XX， AB SS B AB XX， AB SS C AB XX， AB SS D AB XX， AB SS 二填空题二填空题 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 9 （2019新课标）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一
6、季度产值增长率y的频数分布表 y的分组 0.20，0) 0，0.20) 0.20，0.40) 0.40，0.60) 0.60，0.80) 第 3 页（共 14 页） 企业数 2 24 53 14 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中 点值为代表） （精确到0.01) 附：748.602 10（2014新课标） 从某企业生产的产品中抽取 100 件， 测量这些产品的一项质量指标值， 由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分 组 75，85) 85，95) 95，10
7、5) 105，115) 115，125) 频数 6 26 38 22 8 （1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图； （2） 估计这种产品质量指标的平均数及方差 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； （3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品80%”的规定？ 11 （2012安徽） 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时， 则视为合格品， 否则视为不合格品在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取 5000 件进行检测，结果发现有 50 件不合格品计算这 50 件不合格品的直径长与标准值
8、的差（单位：)mm，将所得数据分组，得到如下频率分布表： 分组 频数 频率 第 4 页（共 14 页） 3，2) 0.10 2，1) 8 (1，2 0.50 (2，3 10 (3，4 合计 50 1.00 （）将上面表格中缺少的数据填在相应位置； （）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1，3内的 概率； （）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有 20 件不合格品据此估算这批 产品中的合格品的件数 12 （2015北京）A，B两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天） 记录如下： A组：10，11，12，13，14，15，16 B组；1
9、2，13，15，16，17，14，a 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选 1 人，A组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙 （）求甲的康复时间不少于 14 天的概率； （）如果25a ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； （）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 13 （2013新课标）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随 机地选取 20 位患者服用A药，20 位患者服用B药，这 40 位患者服用一段时间后，记录他 们日平均增加的睡眠时间（单位：)h实验的观测结果如下： 服用A药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 0
10、.61.22.71.52.81.82.22.33.23.5 2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4 服用B药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4 1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5 第 5 页（共 14 页） （）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？ 第 6 页（共 14 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 42 样本的数字特征（教师版） 一选择题（共一选
11、择题（共 8 小题）小题） 1 （2019新课标）演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成 绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是( ) A中位数 B平均数 C方差 D极差 【答案】A 【解析】根据题意，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分， 7 个有效评分与 9 个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变 2 （2012山东）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88， 88，88若B样本数据
12、恰好是A样本数据都加 2 后所得数据，则A，B两样本的下列数 字特征对应相同的是( ) A众数 B平均数 C中位数 D方差 【答案】D 【解析】A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88 B样本数据 84，86，86，88，88，88，90，90，90，90 众数分别为 88，90，不相等，A错 平均数 86，88 不相等，B错 中位数分别为 86，88，不相等，C错 A样本方差 22222 1 (8286)2(8486)3 (8686)4(8886) 4 10 S ， B样本方差 22222 1 (8488)2(8688)3 (8888)4(9088) 4 10
13、S ，D正确 3 （2012江西）样本 1 (x， 2 x ，) n x的平均数为x，样本 1 (y， 2 y，) m y的平均数为 ()y xy 若样本 1 (x， 2 x ， n x， 1 y， 2 y，) m y的平均数(1)zxy， 其中 1 0 2 ， 则n，m的大小关系为( ) Anm Bnm Cnm D不能确定 【答案】A 第 7 页（共 14 页） 【解析】不妨令4n ，6m ，设样本 1 (x， 2 x ，) n x的平均数为6x ， 样本 1 (y， 2 y，) m y的平均数为4y ， 所以样本 1 (x， 2 x ， n x， 1 y， 2 y，) m y的平均数 46
14、64 (1)6(1)4 10 zxy ，解得0.4，满足题意 4 （2009四川）设矩形的长为a，宽为b，其比满足 51 :0.618 2 b a ，这种矩形给人 以美感称为黄金矩形黄金矩形常应用于工艺品设计中下面是某工艺品厂随机抽取两 个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本： 甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数， 与标准值 0.618 比较， 正确结论是( ) A甲批次的总体平均数与标准值更接近 B乙批次的总体平均数与标准值更接近 C两个批次总体平均
15、数与标准值接近程度相同 D两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 【答案】A 【解析】甲批次的平均数为 0.617，乙批次的平均数为 0.613 故甲批次的总体平均数与标准值更接近 5 （2009上海）有专业机构认为甲型 11 N H流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志 为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 15 人” 根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增 疑似病例数据，一定符合该标志的是( ) A甲地：总体均值为 3，中位数为 4 B乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0 C丙地：中位数为 2，众数为 3 D丁地：总体均值为 5，总体方差为 12 【答案】D 【解析】假设
16、连续 10 天，每天新增疑似病例的人数分别为 1 x， 2 x， 3 x， 10 x并设有一 天 超 过15人 ， 不 妨 设 第 一 天 为16人 ， 根 据 计 算 方 差 公 式 有 第 8 页（共 14 页） 22222 2310 1 (165)(5)(5)(5) 12 10 sxxx，说明丁地连续 10 天，每天新增疑 似病例的人数都不超过 15 人 6 （2017新课标）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田这n块地的亩 产量（单位：)kg分别是 1 x， 2 x， n x，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物 亩产量稳定程度的是( ) A 1 x， 2 x， n x的平
17、均数 B 1 x， 2 x， n x的标准差 C 1 x， 2 x， n x的最大值 D 1 x， 2 x， n x的中位数 【答案】B 【解析】在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项 指标， 故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定 程度； 在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平” ， 故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度 7 （2015安徽）若样本数据 1
18、 x， 2 x， 10 x的标准差为 8，则数据 1 21x ， 2 21x ， 10 21x的标准差为( ) A8 B15 C16 D32 【答案】C 【解析】样本数据 1 x， 2 x， 10 x的标准差为 8，8DX ，即64DX ， 数据 1 21x ， 2 21x ， 10 21x的方差为(21)44 64DXDX， 则对应的标准差为(21)46416DX 8 （2010陕西）如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别 为 A X、 B X，样本标准差分别为 A S， B S，则( ) 第 9 页（共 14 页） A AB XX， AB SS B AB XX，
19、AB SS C AB XX， AB SS D AB XX， AB SS 【答案】B 【解析】样本A的数据均不大于 10，而样本B的数据均不小于 10， 显然 AB XX，由图可知A中数据波动程度较大，B中数据较稳定， AB ss 9 （2019新课标）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表 y的分组 0.20，0) 0，0.20) 0.20，0.40) 0.40，0.60) 0.60，0.80) 企业数 2 24 53 14 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增
20、长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中 点值为代表） （精确到0.01) 附：748.602 解： （1）根据产值增长率频数表得，所调查的 100 个企业中产值增长率不低于40%的企业 为：14 7 0.2121% 100 ，产值负增长的企业频率为： 2 0.022% 100 ， 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产 值负增长的企业比例为2%； （2）企业产值增长率的平均数 1 ( 0.1 20.1 240.3 530.5 140.77)0.330% 100 y ， 产值增长率的方差 5 2
21、2 1 1 () 100 ii i sn yy 22222 1 ( 0.4)2( 0.2)240530.2140.47 100 0.0296， 第 10 页（共 14 页） 产值增长率的标准差0.02960.02740.17s ， 这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为 0.30，0.17 10（2014新课标） 从某企业生产的产品中抽取 100 件， 测量这些产品的一项质量指标值， 由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分 组 75，85) 85，95) 95，105) 105，115) 115，125) 频数 6 26 38 22 8 （1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图
22、； （2） 估计这种产品质量指标的平均数及方差 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； （3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品80%”的规定？ 解： （1）频率分布直方图如图所示： 第 11 页（共 14 页） 质量指标的样本平均数为 800.06900.261000.381100.221200.08100 x ， 质量指标的样本的方差为 22222 ( 20)0.06( 10)0.260 0.38 100.22200.08104S ， 这种产品质量指标的平均数的估计值为 100，方差的估计值为 104 （3）质量指
23、标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68， 由于该估计值小于 0.8， 故不能认为该企业生产的这种产品符合 “质量指标值不低于 95 的产 品至少要占全部产品80%”的规定 11 （2012安徽） 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时， 则视为合格品， 否则视为不合格品在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取 5000 件进行检测，结果发现有 50 件不合格品计算这 50 件不合格品的直径长与标准值 的差（单位：)mm，将所得数据分组，得到如下频率分布表： 分组 频数 频率 3，2) 0.10 2，1) 8 (1，2 0.50
24、(2，3 10 (3，4 合计 50 1.00 第 12 页（共 14 页） （）将上面表格中缺少的数据填在相应位置； （）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1，3内的 概率； （）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有 20 件不合格品据此估算这批 产品中的合格品的件数 解 ： （ ） 根 据 题 意 ，500.105，8500.16，500.5025，10500.2， 505825102，2500.4，故可填表格： 分组 频数 频率 3，2) 5 0.10 2，1) 8 0.16 (1，2 25 0.50 (2，3 10 0.2 (3，4 2 0.04
25、 合计 50 1.00 （）不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1，3内的概率为0.50.20.7； （）这批产品中的合格品的件数为 5000 20201980 50 12 （2015北京）A，B两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天） 记录如下： A组：10，11，12，13，14，15，16 B组；12，13，15，16，17，14，a 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选 1 人，A组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙 （）求甲的康复时间不少于 14 天的概率； （）如果25a ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； （）当a为何值时，A，B两
26、组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 解：设事件 i A为“甲是A组的第i个人” ，事件 i B为“乙是B组的第i个人” ， 由题意可知 1 ()() 7 ii P AP B，1i ，2，7 （）事件“甲的康复时间不少于 14 天”等价于“甲是A组的第 5 或第 6 或第 7 个人” 第 13 页（共 14 页） 甲的康复时间不少于 14 天的概率 567567 3 ()()()() 7 P AAAP AP AP A； （）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长” ， 则 41516171526272736676 CA BA BA BA BA BA BA BA BA BA B， P（
27、C） 41516171526272736676 ()()()()()()()()()()P A BP A BP A BP A BP A BP A BP A BP A BP A BP A B 4141 10 10 ()10 () () 49 P A BP A P B （）当a为 11 或 18 时，A，B两组病人康复时间的方差相等 13 （2013新课标）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随 机地选取 20 位患者服用A药，20 位患者服用B药，这 40 位患者服用一段时间后，记录他 们日平均增加的睡眠时间（单位：)h实验的观测结果如下： 服用A药的 20 位患者日平均增加
28、的睡眠时间： 0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.5 2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4 服用B药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4 1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5 （）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？ 解： （）设A药观测数据的平均数据的平均数为x，设B药观测数据的平均数据的平均数 为y， 则 1 (0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4)2.3 20 x 1 (3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.1 1.12.51.22.70.5)1.6 20 y 第 14 页（共 14 页） 由以上计算结果可知：xy由此可看出A药的效果更好 （）根据两组数据得到下面茎叶图： 从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有 7 10 的叶集中在 2，3 上而B药疗效的试 验结果有 7 10 的叶集中在 0，1 上由此可看出A药的疗效更好
