1、 第 1 页（共 25 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 50 随机变量及其分布（学生版） 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 （2019浙江）设01a随机变量X的分布列是 X 0 a 1 P 1 3 1 3 1 3 则当a在(0,1)内增大时，( ) A()D X增大 B()D X减小 C()D X先增大后减小 D()D X先减小后增大 2 （2018新课标）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式 相 互 独 立 设X为 该 群 体 的 10 位 成 员 中 使 用 移 动 支 付 的 人 数 ，2.4DX
2、， (4)(6)P XP X，则(p ) A0.7 B0.6 C0.4 D0.3 3 （2017浙江）已知随机变量 i 满足(1) ii Pp，(0)1 ii Pp ，1i ，2若 12 1 0 2 pp，则( ) A 12 ()()EE， 12 ()()DD B 12 ()()EE， 12 ()()DD C 12 ()()EE， 12 ()()DD D 12 ()()EE， 12 ()()DD 4 （2011辽宁）从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件A： “取到的 2 个数之和为偶 数” ，事件B： “取到的 2 个数均为偶数” ，则(|)(P B A ) A 1 8 B 1
3、 4 C 2 5 D 1 2 5 （2010江西）一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑 大臣作弊，他用两种方法来检测方法一：在 10 箱中各任意抽查一枚；方法二：在 5 箱 中各任意抽查两枚 国王用方法一、 二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 1 P和 2 P 则( ) A 12 PP B 12 PP C 12 PP D以上三种情况都有可能 第 2 页（共 25 页） 6 （2015湖北） 设 1 (XN， 2 1) ， 2 (YN， 2 2) ， 这两个正态分布密度曲线如图所示 下 列结论中正确的是( ) A 21 ()()P YP Y厖? B 21 ()(
4、)P XP X剟? C对任意正数t，()()P XtP Y t剠? D对任意正数t，()()P XtP Y t厖? 7 （2015湖南）在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为 正态分布(0,1)N的密度曲线）的点的个数的估计值为( ) 附“若 2 ( ,)XNa，则 ()0.6826PX (22 )0.9544pX A2386 B2718 C3413 D4772 8 （2015山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布(0N， 2 3 )，从中 随机抽取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) （ 附 ： 若 随 机 变 量服 从 正 态
5、 分 布 2 ( ,)N ， 则()6 8 . 2 6 %P， (22 )95.44%)P A4.56% B13.59% C27.18% D31.74% 9 （2011湖北） 已知随机变量服从正态分布 2 (2,)N， 且(4 ) 0 . 8P， 则( 02 )P等 于( ) 第 3 页（共 25 页） A0.6 B0.4 C0.3 D0.2 10 （2008安徽）设两个正态分布 1 (N， 2 11 )(0)和 2 (N， 2 22 )(0)曲线如图所示， 则有( ) A 12 ， 12 B 12 ， 12 C 12 ， 12 D 12 ， 12 二填空题（共二填空题（共 3 小题）小题）
6、11 （2017新课标）一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回 地抽取 100 次X表示抽到的二等品件数，则DX 12 （2011湖南）如图，EFGH 是以O为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形将一颗豆子 随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内” ， B表示事件“豆子落 在扇形OHE（阴影部分）内” ，则 （1）P（A） ； （2）(|)P B A 13 （2012新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作， 且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服 从正态分布(1000N，
7、 2 50 )，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 第 4 页（共 25 页） 三解答题（共三解答题（共 10 小题）小题） 14 （2016新课标）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一 易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用 期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易 损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图 柱状图： 以这 100台机器更换的易损零件数的频率代替 1台机器更换的易损零件数发生的概率， 记
8、X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零 件数 （）求X的分布列； （）若要求() 0.5P Xn剠，确定n的最小值； （）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n 与20n 之中选其一，应选 用哪个？ 15 （2014辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直 方图， 如图所示 将日销售量落入各组的频率视为概率， 并假设每天的销售量相互独立 （） 求在未来连续 3 天里， 有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低 于 50 个的概率； （）用X表示在未来 3 天里日销售量不低于
9、100 个的天数，求随机变量X的分布列，期 望()E X及方差()D X 第 5 页（共 25 页） 16 （2013湖南）某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横直 线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一 株该种作物的年收获Y（单位：)kg与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示： X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米 ( ) I从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率； ()II在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分
10、布列与数学期望 17 （2019天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为 2 3 假定甲、 乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立 （）用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和 数学期望； （）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之 前到校的天数恰好多 2” ，求事件M发生的概率 18 （2019北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成 为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全 校学生中随机抽取了 100 人，发
11、现样本中A，B两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中 仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下： 第 6 页（共 25 页） (0，1000 (1000，2000 大于 2000 仅使用A 18 人 9 人 3 人 仅使用B 10 人 14 人 1 人 （）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率； （）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取 1 人，以X表示这 2 人中上个月支 付金额大于 1000 元的人数，求X的分布列和数学期望； （）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用A的学生中，随 机抽查 3 人，发现他们本月的支付
12、金额都大于 2000 元根据抽查结果，能否认为样本仅使 用A的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由 19 （2018新课标）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之 前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品 的概率都为(01)pp，且各件产品是否为不合格品相互独立 （1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为( )f p，求f( )p的最大值点 0 p （2） 现对一箱产品检验了 20 件， 结果恰有 2 件不合格品， 以
13、 （1） 中确定的 0 p作为p的值 已 知每件产品的检验费用为 2 元， 若有不合格品进入用户手中， 则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 ( ) i若不对该箱余下的产品作检验， 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X， 求EX； （）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检 验？ 20 （2017新课标）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年 销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C) 有关如果最高气温不低于 25，需求量 为 500
14、 瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需 求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得 下面的频数分布表： 最高气温 10，15) 15，20) 20，25) 25，30) 30，35) 35，40) 第 7 页（共 25 页） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元） ，当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大
15、值？ 21 （2016天津） 某小组共 10 人， 利用假期参加义工活动， 已知参加义工活动次数为 1， 2， 3 的人数分别为 3，3，4现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会 ( ) I设A为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4” ，求事件A发生的概率； ()II设X为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期 望 22 （2017新课标）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线 上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：)cm根据长期生产经验，可以认为这条生 产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2
16、( ,)N （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3 ,3 ) 之 外的零件数，求(1)P X及X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3 ,3 ) 之外的零件，就认为这条生产 线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 （）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 16 1 1 9.97
17、 16 i i xx ， 1616 222 11 11 ()(16)0.212 1616 ii ii sxxxx ，其中 i x为抽 取的第i个零件的尺寸，1i ，2，16 用样本平均数x作为的估计值， 用样本标准差s作为的估计值， 利用估计值判断是 否需对当天的生产过程进行检查？剔除 (3 ,3 ) 之外的数据， 用剩下的数据估计和 （精确到0.01) 附 ： 若 随 机 变 量Z服 从 正 态 分 布 2 (,)N ， 则(33)0 . 9 9 7 4PZ， 第 8 页（共 25 页） 16 0.99740.9592，0.0080.09 23 （2014新课标）从某企业生产的某种产品中抽取
18、 500 件，测量这些产品的一项质量指 标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差 2 s（同一组中数据用该组区 间的中点值作代表） ； （）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布 2 ( ,)N ，其中近似 为样本平均数x， 2 近似为样本方差 2 s ( ) i利用该正态分布，求(187.8212.2)PZ； ( )ii某用户从该企业购买了 100 件这种产品， 记X表示这 100 件产品中质量指标值位于区间 (187.8,212.2)的产品件数，利用( ) i的结果，求EX 附：15012.2 若 2 ( ,)ZN 则
19、()0.6826PZ，(22 )0.9544PZ 第 9 页（共 25 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 50 随机变量及其分布（教师版） 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 （2019浙江）设01a随机变量X的分布列是 X 0 a 1 P 1 3 1 3 1 3 则当a在(0,1)内增大时，( ) A()D X增大 B()D X减小 C()D X先增大后减小 D()D X先减小后增大 【答案】D 【解析】 1111 ()01 3333 a E Xa ， 222 111111 ()()()(1) 333333 aaa D Xa 22
20、222 12211 (1)(21)(2) (1)() 279926 aaaaaa 01a，()D X先减小后增大 2 （2018新课标）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式 相 互 独 立 设X为 该 群 体 的 10 位 成 员 中 使 用 移 动 支 付 的 人 数 ，2.4DX ， (4)(6)P XP X，则(p ) A0.7 B0.6 C0.4 D0.3 【答案】B 【解析】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足 (10, )XBp，(4)(6)P xP X，可得 446664 1010 (1)(1)C ppC pp，可得120p
21、即 1 2 p 因为2.4DX ，可得10 (1)2.4pp，解得0.6p 或0.4p （舍去） 3 （2017浙江）已知随机变量 i 满足(1) ii Pp，(0)1 ii Pp ，1i ，2若 12 1 0 2 pp，则( ) A 12 ()()EE， 12 ()()DD B 12 ()()EE， 12 ()()DD 第 10 页（共 25 页） C 12 ()()EE， 12 ()()DD D 12 ()()EE， 12 ()()DD 【答案】A 【解析】随机变量 i 满足(1) ii Pp，(0)1 ii Pp ，1i ，2， 12 1 0 2 pp， 21 1 111 2 pp ，
22、1111 ()10(1)Eppp ， 2222 ()10(1)Eppp ， 222 1111111 ( )(1)(0) (1)Dpppppp， 222 2222222 ()(1)(0) (1)Dpppppp， 22 1211222112 ( )()()()(1)0DDpppppppp， 12 ()()EE， 12 ()()DD 4 （2011辽宁）从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件A： “取到的 2 个数之和为偶 数” ，事件B： “取到的 2 个数均为偶数” ，则(|)(P B A ) A 1 8 B 1 4 C 2 5 D 1 2 【答案】B 【解析】 事件A “取到的
23、2 个数之和为偶数” 所包含的基本事件有：(1,3)、(1,5)、(3,5)、 (2,4)，p（A） 2 5 ， 事件B “取到的 2 个数均为偶数”所包含的基本事件有(2,4)， 1 () 10 P AB ()1 (|) ( )4 p AB P B A P A 5 （2010江西）一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑 大臣作弊，他用两种方法来检测方法一：在 10 箱中各任意抽查一枚；方法二：在 5 箱 中各任意抽查两枚国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 1 P和 2 P则 A 12 PP B 12 PP C 12 PP D以上三种情况都有可能
24、【答案】B 【解析】此方案下，每箱的劣币被选中的概率为 1 50 ，总事件的概率为 5 49 1() 50 ， 作差得 510 12 49 ()0.99 50 PP，由将 5 49 () 50 和 10 0.99，同时开 5 次方，通分后比较得出： 第 11 页（共 25 页） 12 0PP 12 PP 6 （2015湖北） 设 1 (XN， 2 1) ， 2 (YN， 2 2) ， 这两个正态分布密度曲线如图所示 下 列结论中正确的是( ) A 21 ()()P YP Y厖? B 21 ()()P XP X剟? C对任意正数t，()()P XtP Y t剠? D对任意正数t，()()P Xt
25、P Y t厖? 【答案】C 【解析】正态分布密度曲线图象关于x对称，所以 12 ，从图中容易得到 ()()P XtP Y t剠? 7 （2015湖南）在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为 正态分布(0,1)N的密度曲线）的点的个数的估计值为( ) 附“若 2 ( ,)XNa，则 ()0.6826PX (22 )0.9544pX 第 12 页（共 25 页） A2386 B2718 C3413 D4772 【答案】C 【解析】由题意 1 (01)0.68260.3413 2 PX， 落入阴影部分点的个数的估计值为100000.34133413 8 （2015山
26、东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布(0N， 2 3 )，从中 随机抽取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) （ 附 ： 若 随 机 变 量服 从 正 态 分 布 2 ( ,)N ， 则()6 8 . 2 6 %P， (22 )95.44%)P A4.56% B13.59% C27.18% D31.74% 【答案】B 【解析】由题意( 33)68.26%P ，( 66)95.44%P ， 所以 1 (36)(95.44%68.26%)13.59% 2 P 9 （2011湖北） 已知随机变量服从正态分布 2 (2,)N， 且(4 ) 0 . 8P， 则( 02 )P
27、等 于( ) A0.6 B0.4 C0.3 D0.2 【答案】B 【解析】随机变量X服从正态分布 2 (2,)N，2，得对称轴是2x (4)0.8P(4)(0)0.2PP厔，(04)0.6P(02)0.3P 第 13 页（共 25 页） 10 （2008安徽）设两个正态分布 1 (N， 2 11 )(0)和 2 (N， 2 22 )(0)曲线如图所示， 则有( ) A 12 ， 12 B 12 ， 12 C 12 ， 12 D 12 ， 12 【答案】A 【解析】从正态曲线的对称轴的位置看，显然 12 ， 正态曲线越“瘦高” ，表示取值越集中，越小 12 二填空题（共二填空题（共 3 小题）小
28、题） 11 （2017新课标）一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回 地抽取 100 次X表示抽到的二等品件数，则DX 【答案】1.96 【解析】由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，0.02p ， 100n ，则(1)100 0.02 0.981.96DXnpqnpp 12 （2011湖南）如图，EFGH 是以O为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形将一颗豆子 随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内” ， B表示事件“豆子落 在扇形OHE（阴影部分）内” ，则 （1）P（A） 2 ； （2）(|)P B A 【答案】 2 1
29、 , 4 第 14 页（共 25 页） 【解析】用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内” ， P（A） 2 EFGH s s 正方形 圆 ， B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内” ， 1 1 2 2 EOH s P AB s 圆 ， ()1 (|) ( )4 p AB P B A P A 13 （2012新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作， 且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服 从正态分布(1000N， 2 50 )，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 3
30、8 【答案】 3 8 【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布(1000N， 2 50 ) 得：三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 1 2 p 设A超过 1000 小时时，元件 1、元件 2 至少有一个正常，B 超过 1000 小时时，元 件 3 正常 C 该部件的使用寿命超过 1000 小时 则P（A） 2 3 1(1) 4 p ，P（B） 1 2 P（C）()P ABP（A）P（B） 313 428 三解答题（共三解答题（共 10 小题）小题） 14 （2016新课标）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一 易损零件，在购进机器时，可以额外购买这
31、种零件作为备件，每个 200 元在机器使用 期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易 损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图 柱状图： 以这 100台机器更换的易损零件数的频率代替 1台机器更换的易损零件数发生的概率， 记X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零 第 15 页（共 25 页） 件数 （）求X的分布列； （）若要求() 0.5P Xn剠，确定n的最小值； （）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n 与20n 之中选其一，应选 用哪个？ 解
32、： （）由已知得X的可能取值为 16，17，18，19，20，21，22， 2 201 (16)() 10025 P X ， 20404 (17)2 10010025 P X ， 22 40206 (18)()2() 10010025 P X ， 2 4020206 (19)22() 10010010025 P X ， 2 20402051 (20)()2 100100100255 P X ， 2 202 (21)2() 10025 P X ， 2 201 (22)() 10025 P X ， X的分布列为： X 16 17 18 19 20 21 22 P 1 25 4 25 6 25 6
33、25 1 5 2 25 1 25 （）由（）知： (18)(16)(17)(18)P XP XP XP X 14611 25252525 (19)(16)(17)(18)(19)P XP XP XP XP X 146617 2525252525 () 0.5P Xn剠中，n的最小值为 19 （）由（）得(19)(16)(17)(18)(19)P XP XP XP XP X 146617 2525252525 买 19 个所需费用期望： 第 16 页（共 25 页） 1 17521 200 19(200 19500)(200 195002)(200 195003)4040 25252525 EX
34、 ， 买 20 个所需费用期望： 2 2221 20020(20020500)(200202500)4080 252525 EX ， 12 EXEX，买 19 个更合适 15 （2014辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直 方图， 如图所示 将日销售量落入各组的频率视为概率， 并假设每天的销售量相互独立 （） 求在未来连续 3 天里， 有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低 于 50 个的概率； （）用X表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量X的分布列，期 望()E X及方差()D X 解： （）设 1
35、A表示事件“日销售量不低于 100 个” ， 2 A表示事件“日销售量低于 50 个” B表示事件“在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销 售量低于 50 个” ， 因此 1 ()(0.0060.0040.002)500.6P A ， 2 ()0.003 500.15P A， P（B）0.60.60.1520.108， （）X可能取的值为 0，1，2，3，相应的概率为： 03 3 (0)(1 0.6)0.064P XC 12 3 (1)0.6(1 0.6)0.288P XC， 22 3 (2)0 6 (1 0.6)0.432P XC， 第 17 页
36、（共 25 页） 33 3 (3)0 60.216P XC， 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为(3,0.6)XB， 所以期望()3 0.61.8E X ， 方差()3 0.6 (1 0.6)0.72D X 16 （2013湖南）某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横直 线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一 株该种作物的年收获Y（单位：)kg与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示： X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们
37、之间的直线距离不超过 1 米 ( ) I从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率； ()II在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望 解：( ) I所种作物总株数1234515N ，其中三角形地块内部的作物株数为 3，边 界上的作物株数为 12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有 11 312 36C C 种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3328，从三角形地块 的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为 82 369 ； ()II先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列 (51)
38、(1)P YP X，(48)(2)PP X，(45)(3)P YP X，(42)(4)P YP X 只需求出()(1P Xk k，2，3，4)即可 记 k n为其“相近”作物恰有k株的作物株数(1k ，2，3，4)，则 1 2n ， 2 4n ， 3 6n ， 第 18 页（共 25 页） 4 3n 由() k n P Xk N 得 2 (1) 15 P X ， 4 (2) 15 P X ， 62 (3) 155 P X ， 31 (4) 155 P X 所求的分布列为 Y 51 48 45 42 P 2 15 4 15 2 5 1 5 数学期望为 2421 ( )5148454246 151
39、555 E Y 17 （2019天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为 2 3 假定甲、 乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立 （）用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和 数学期望； （）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之 前到校的天数恰好多 2” ，求事件M发生的概率 解：( ) I甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为 2 3 ， 故 2 (3, ) 3 XB，从而 3 3 21 ()( ) ( ) 33 kkk P XkC ，0k
40、 ，1，2，3 所以，随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 随机变量X的期望 2 ()32 3 E X ()II设乙同学上学期间的三天中7:30到校的天数为Y，则 2 (3, ) 3 YB， 且3MX，12YX，0Y ，由题意知3X ，1Y 与2X ，0Y 互斥， 且3X 与1Y ，2X 与0Y 相互独立， 由( ) I知，()(3P MPX，12YX，0(3YPX，12YP X，0Y 824120 (3) (1)(2) (0) 279927243 P XP YP XP Y 18 （2019北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移
41、动支付已成 为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全 第 19 页（共 25 页） 校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中 仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下： (0，1000 (1000，2000 大于 2000 仅使用A 18 人 9 人 3 人 仅使用B 10 人 14 人 1 人 （）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率； （）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取 1 人，以X表示这 2 人中上个月支 付金额大于 1000 元的人数，求X的分布
42、列和数学期望； （）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用A的学生中，随 机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元根据抽查结果，能否认为样本仅使 用A的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由 解： （）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的 100 人中， A，B两种支付方式都不使用的有 5 人， 仅使用A的有 30 人，仅使用B的有 25 人， A，B两种支付方式都使用的人数有：1005302540， 从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率 40 0.4 100 p （）从样本仅使用A和仅使用B的学生
43、中各随机抽取 1 人，以X表示这 2 人中上个月支 付金额大于 1000 元的人数， 则X的可能取值为 0，1，2， 样本仅使用A的学生有 30 人，其中支付金额在(0，1000的有 18 人，超过 1000 元的有 12 人， 样本仅使用B的学生有 25 人，其中支付金额在(0，1000的有 10 人，超过 1000 元的有 15 人， 18101806 (0) 302575025 P X ， 1815121039013 (1) 3025302575025 P X ， 12151806 (2) 302575025 P X ， 第 20 页（共 25 页） X的分布列为： X 0 1 2 P
44、6 25 13 25 6 25 数学期望 6136 ()0121 252525 E X （）不能认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化， 理由如下： 从样本仅使用A的学生有 30 人，其中 27 人月支付金额不大于 2000 元，有 3 人月支付金额 大于 2000 元， 随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元的概率为 3 3 3 30 1 4060 C p C ， 虽然概率较小，但发生的可能性为 1 4060 故不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化 19 （2018新课标）某工厂的某种产品成箱包装，每箱
45、200 件，每一箱产品在交付用户之 前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品 的概率都为(01)pp，且各件产品是否为不合格品相互独立 （1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为( )f p，求f( )p的最大值点 0 p （2） 现对一箱产品检验了 20 件， 结果恰有 2 件不合格品， 以 （1） 中确定的 0 p作为p的值 已 知每件产品的检验费用为 2 元， 若有不合格品进入用户手中， 则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 ( ) i若不对该箱余下的
46、产品作检验， 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X， 求EX； （）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检 验？ 解： （1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为( )f p， 则 2218 20 ( )(1)f pC pp， 218217217 2020 ( )2 (1)18(1) 2(1) (1 10 )fpCppppC ppp， 令( )0fp，得0.1p ， 第 21 页（共 25 页） 当(0,0.1)p时，( )0fp， 当(0.1,1)p时，( )0fp， f( )p的最大值点 0 0.1p （2）( ) i由（1）知0.1p ，
47、令Y表示余下的 180 件产品中的不合格品数，依题意知(180,0.1)YB， 20225XY，即4025XY， ()(4025 )4025 ( )4025 180 0.1490E XEYE Y ( )ii如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为 400 元， ()490400E X ， 应该对余下的产品进行检验 20 （2017新课标）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年 销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C) 有关如果最高气温不低于 25，需求量 为 500
48、瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需 求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得 下面的频数分布表： 最高气温 10，15) 15，20) 20，25) 25，30) 30，35) 35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元） ，当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 解： （1）由题意知X的可能取值为 200，300，500， 216 (200)0.2
