1、 第 1 页（共 15 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题二十 平面向量的数量积（学生版） 一选择题（共一选择题（共 15 小题）小题） 1 （2019新课标）已知(2,3)AB ，(3, )ACt，| 1BC ，则(AB BC ) A3 B2 C2 D3 2 （2018新课标）已知向量a，b满足| 1a ，1a b ，则(2)(aab ) A4 B3 C2 D0 3 （2013湖北）已知点( 1,1)A ，(1,2)B，( 2, 1)C ，(3,4)D，则向量AB在CD方向上的 投影为( ) A 3 2 2 B 3 15 2 C 3 2 2 D
2、3 15 2 4 （2007福建）对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是( ) A若0a b ，则0a 或0b B若0a，则0或0a C若 22 ab，则ab或ab D若a ba c，则bc 5 （2018天津） 在如图的平面图形中， 已知1OM ，2ON ，120MON，2BMMA， 2CNNA，则BC OM的值为( ) A15 B9 C6 D0 6 （2018天津）如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，120BAD， 1ABAD若点E为边CD上的动点，则AE BE的最小值为( ) 第 2 页（共 15 页） A 21 16 B 3 2 C 25 16 D3 7 （2017
3、新课标）已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 ()PA PBPC的最小值是( ) A2 B 3 2 C 4 3 D1 8 （2018浙江） 已知a，b，e是平面向量，e是单位向量 若非零向量a与e的夹角为 3 ， 向量b满足 2 430be b，则|ab的最小值是( ) A31 B31 C2 D23 9 （2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，2ABBCAD，3CD ， AC与BD交于点O，记 1 IOA OB， 2 IOB OC， 3 IOC OD，则( ) A 123 III B 132 III C 312 III D 213 III 10 （20
4、16天津）已知ABC是边长为 1 的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中 点，连接DE并延长到点F，使得2DEEF，则AF BC的值为( ) A 5 8 B 1 4 C 1 8 D 11 8 11 （2016山东） 已知非零向量m，n满足4| 3|mn，cosm， 1 3 n 若()ntmn， 第 3 页（共 15 页） 则实数t的值为( ) A4 B4 C 9 4 D 9 4 12 （ 2016 四 川 ） 在 平 面 内 ， 定 点A，B，C，D满 足| | |D AD BD C， 2DA DBDB DCDC DA ，动点P，M满足| 1AP ，PMMC，则 2 |BM的最 大值是(
5、 ) A 43 4 B 49 4 C 376 3 4 D 372 33 4 13 （2015陕西）对任意向量a、b，下列关系式中不恒成立的是( ) A|a ba b B|abab C 22 ()|abab D 22 () ()ababab 14（2015安徽）ABC是边长为 2 的等边三角形， 已知向量a，b满足2ABa，2ACab， 则下列结论正确的是( ) A| 1b Bab C1a b D(4)abBC 15 （2015四川）设四边形ABCD为平行四边形，| 6AB ，| 4AD ，若点M、N满足 3BMMC，2DNNC，则(AM NM ) A20 B15 C9 D6 二填空题（共二填空
6、题（共 11 小题）小题） 16（2020上海） 三角形ABC中，D是BC中点，2AB ，3BC ，4AC ， 则A DA B 17 （2019天津）在四边形ABCD中，/ /ADBC，2 3AB ，5AD ，30A，点E在 线段CB的延长线上，且AEBE，则BD AE 18 （2019江苏）如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，2BEEA，AD与 CE交于点O若6AB ACAO EC，则 AB AC 的值是 第 4 页（共 15 页） 第 5 页（共 15 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题二十 平面向量的数量积（教师版） 一选择题（共
7、一选择题（共 15 小题）小题） 1 （2019新课标）已知(2,3)AB ，(3, )ACt，| 1BC ，则(AB BC ) A3 B2 C2 D3 【答案】C 【解析】(2,3)AB ，(3, )ACt，(1,3)BCACABt， | 1BC ，30t 即(1,0)BC ，则2AB BC 故选：C 2 （2018新课标）已知向量a，b满足| 1a ，1a b ，则(2)(aab ) A4 B3 C2 D0 【答案】B 【解析】向量a，b满足| 1a ，1a b ，则 2 (2)22 13aabaa b ， 故选：B 3 （2013湖北）已知点( 1,1)A ，(1,2)B，( 2, 1)
8、C ，(3,4)D，则向量AB在CD方向上的 投影为( ) A 3 2 2 B 3 15 2 C 3 2 2 D 3 15 2 【答案】A 【解析】(2,1)AB ，(5,5)CD ，则向量ABCD在方向上的投影为： 153 2 | cos,| 2|5 2 AB CDAB CD ABAB CDAB AB CDCD ，故选：A 4 （2007福建）对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是( ) A若0a b ，则0a 或0b B若0a，则0或0a C若 22 ab，则ab或ab D若a ba c，则bc 【答案】B 【解析】ab时也有0a b ，A不正确； B正确； 第 6 页（共 15 页
9、） 设(2,2)a ，(1, 7)b ，此时 22 ab，但ab或ab 不成立，C错误； a ba c得不到bc，如a为零向量或a与b、c垂直时，D错误；故选：B 5 （2018天津） 在如图的平面图形中， 已知1OM ，2ON ，120MON，2BMMA， 2CNNA，则BC OM的值为( ) A15 B9 C6 D0 【答案】C 【解析】由题意，2BMMA，2CNNA， 2 BMCN MANA ，/ /BCMN，且3BCMN， 又 222 1 2cos120142 1 2()7 2 MNOMONOM ON ，7MN； 3 7BC， 222 1742 cos 22 177 OMMNON OM
10、N OM MN ， 2 |cos()3 71 ()6 7 BC OMBCOMOMN 6 （2018天津）如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，120BAD， 1ABAD若点E为边CD上的动点，则AE BE的最小值为( ) 第 7 页（共 15 页） A 21 16 B 3 2 C 25 16 D3 【答案】A 【解析】如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴， 以DC所在的直线为y轴， 过点B做BNx轴，过点B做BMy轴， ABBC，ADCD，120BAD，1ABAD， 1 cos60 2 ANAB ， 3 sin60 2 BNAB， 13 1 22 DN ， 3 2 BM，
11、3 tan30 2 CMMB ， 3DCDMMC， (1,0)A， 3 ( 2 B， 3) 2 ，(0, 3)C， 设(0,)Em， ( 1,)AEm ， 3 ( 2 BE ， 3) 2 m，03m剟， 222 33333321 ()() 224216416 AE BEmmmm， 当 3 4 m 时，取得最小值为 21 16 故选：A 7 （2017新课标）已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 第 8 页（共 15 页） ()PA PBPC的最小值是( ) A2 B 3 2 C 4 3 D1 【答案】B 【解析】建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点， 则(0,
12、3)A，( 1,0)B ，(1,0)C， 设( , )P x y，则(, 3)PAxy ，( 1,)PBxy ，(1,)PCxy， 则 2222 33 ()22 322() 24 PA PBPCxyyxy 当0 x ， 3 2 y 时，取得最小值 33 2() 42 ，故选：B 8 （2018浙江） 已知a，b，e是平面向量，e是单位向量 若非零向量a与e的夹角为 3 ， 向量b满足 2 430be b，则|ab的最小值是( ) A31 B31 C2 D23 【答案】A 【解析】由 2 430be b，得() (3 )0bebe，()(3 )bebe， 如图，不妨设(1,0)e ， 则b的终点
13、在以(2,0)为圆心，以 1 为半径的圆周上， 又非零向量a与e的夹角为 3 ，则a的终点在不含端点O的两条射线3 (0)yx x 上 不妨以3yx为例，则|ab的最小值是(2,0)到直线30 xy的距离减 1 即 |2 3| 131 3 1 第 9 页（共 15 页） 故选：A 9 （2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，2ABBCAD，3CD ， AC与BD交于点O，记 1 IOA OB， 2 IOB OC， 3 IOC OD，则( ) A 123 III B 132 III C 312 III D 213 III 【答案】C 【解析】ABBC，2ABBCAD，3CD ，2
14、 2AC， 90AOBCOD ，由图象知OAOC，OBOD， 0OA OBOC OD ，0OB OC ，即 312 III，故选：C 10 （2016天津）已知ABC是边长为 1 的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中 点，连接DE并延长到点F，使得2DEEF，则AF BC的值为( ) A 5 8 B 1 4 C 1 8 D 11 8 【答案】C 【解析】如图， 第 10 页（共 15 页） D、E分别是边AB、BC的中点，且2DEEF， 13 ()() 22 AF BCADDFBCBADE BC 13133 ()() 24244 BAAC BCBABCBA BC 2 2 535353
15、()| |cos601 444444 BABC BCBA BCBCBABC 5131 1 1 4248 故选：C 11 （2016山东） 已知非零向量m，n满足4| 3|mn，cosm， 1 3 n 若()ntmn， 则实数t的值为( ) A4 B4 C 9 4 D 9 4 【答案】B 【解析】4| 3|mn，cosm， 1 3 n ，()ntmn， 222 1 ()| |(1)|0 34 t n tmntm nnt mnnn， 解得：4t ， 故选：B 12 （ 2016 四 川 ） 在 平 面 内 ， 定 点A，B，C，D满 足| | |D AD BD C， 2DA DBDB DCDC D
16、A ，动点P，M满足| 1AP ，PMMC，则 2 |BM的最 大值是( ) A 43 4 B 49 4 C 376 3 4 D 372 33 4 【答案】B 【解析】由| | |DADBDC，可得D为ABC的外心， 第 11 页（共 15 页） 又DA DBDB DCDC DA，可得 ()0DB DADC，()0DC DBDA， 即0DB ACDC AB， 即有DBAC，DCAB，可得D为ABC的垂心， 则D为ABC的中心，即ABC为正三角形 由2DA DB ，即有| |cos1202DADA ， 解得| 2DA ，ABC的边长为4cos302 3 ， 以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立
17、直角坐标系xOy， 可得(3,3)B，(3, 3)C，(2,0)D， 由| 1AP ，可设(cos ,sin )P，(02 )， 由PMMC，可得M为PC的中点，即有 3cos ( 2 M ， 3sin ) 2 ， 则 222 3cos3sin |(3)(3) 22 BM 22 (3cos )(3 3sin )376cos6 3sin 444 3712sin() 6 4 ， 当sin()1 6 ，即 2 3 时，取得最大值，且为 49 4 故选：B 13 （2015陕西）对任意向量a、b，下列关系式中不恒成立的是( ) 第 12 页（共 15 页） A|a ba b B|abab C 22 (
18、)|abab D 22 () ()ababab 【答案】B 【解析】选项A恒成立，| |cosa ba ba，|b ， 又|cosa，| 1b ，|a ba b恒成立； 选项B不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得|abab； 选项C恒成立，由向量数量积的运算可得 22 ()|abab； 选项D恒成立，由向量数量积的运算可得 22 () ()ababab 故选：B 14（2015安徽）ABC是边长为 2 的等边三角形， 已知向量a，b满足2ABa，2ACab， 则下列结论正确的是( ) A| 1b Bab C1a b D(4)abBC 【答案】D 【解析】因为已知三角形ABC的等边三
19、角形，a，b满足2ABa，2ACab，又 ACABBC，b的方向应该为BC的方向 所以 1 2 aAB，bBC， 所以| 2b ，1 2 cos1201a b ， 44 1 2 cos1204a b ， 2 4b ， 所 以 2 40a bb， 即( 4)0abb， 即 ( 4)0abB C，所以(4)abBC； 故选：D 15 （2015四川）设四边形ABCD为平行四边形，| 6AB ，| 4AD ，若点M、N满足 3BMMC，2DNNC，则(AM NM ) A20 B15 C9 D6 【答案】C 第 13 页（共 15 页） 【解析】四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足3BMMC，2D
20、NNC， 根据图形可得： 33 44 AMABBCABAD， 22 33 ANADDCADAB， NMAMAN， 2 ()AM NMAMAMANAMAM AN， 22239 216 AMABAB ADAD， 22233 342 AM ANABADAB AD， | 6AB ，| 4AD ， 2213 1239 316 AM NMABAD 故选：C 二填空题（共二填空题（共 11 小题）小题） 16（2020上海） 三角形ABC中，D是BC中点，2AB ，3BC ，4AC ， 则A DA B 【答案】19 4 【解析】在ABC中，2AB ，3BC ，4AC ， 由余弦定理得， 222 416911
21、 cos 222416 ABACBC BAC AB AC ， 1111 24 162 AB AC ，且D是BC的中点， 1 () 2 AD ABABACAB 21 () 2 ABAB AC 111 (4) 22 19 4 17 （2019天津）在四边形ABCD中，/ /ADBC，2 3AB ，5AD ，30A，点E在 线段CB的延长线上，且AEBE，则BD AE 【答案】1 【解析】AEBE，/ /ADBC，30A， 第 14 页（共 15 页） 在等腰三角形ABE中，120BEA， 又2 3AB ，2AE， 2 5 BEAD ， AEABBE， 2 5 AEABAD 又BDBAADABAD
22、， 2 () () 5 BD AEABADABAD 2272 55 ABAB ADAD 2272 | |cos 55 ABABADAAD 732 1252 325 525 1 18 （2019江苏）如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，2BEEA，AD与 CE交于点O若6AB ACAO EC，则 AB AC 的值是 【答案】3 【解析】设() 2 AOADABAC ， ()AOAEEOAEECAEACAE 1 (1) 3 AEACABAC 1 23 2 ， 1 2 1 4 ， 11 () 24 AOADABAC， 1 3 ECACAEABAC ， 11 66() () 43 AO ECABACABAC 22312 () 233 ABAB ACAC 2213 22 ABAB ACAC ， 第 15 页（共 15 页） 2213 22 AB ACABAB ACAC ， 2213 22 ABAC， 2 2 3 AB AC ，3 AB AC
