1、 1 江西省五市 八 校 2017届高三第二次联考数学（理科）试卷 本试卷分第 I卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分 .全卷满分 150分，考试时间 120分钟 . 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上 . 2.第 I卷每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第 II卷用黑色墨水签字笔在答 题卡上指定区域书写作答，在试题卷上作答，答案无效 . 3.考试结束，监考员将答题卡收回 . 第卷（选择题 60分） 一、 选择题 :本大题共 12 小 题，每小题 5分，共 60 分在每小题
2、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.复数 421 ii? ? （ ） A.13i? B.13i? C. 13i? D. 13i? 2.已知集合 2 | 1Mxx? ， | 1N y y x? ? ?，则 ()RC M N ? （ ） A.(0,2 B.0,2 C.? D.1,2 3.已知 等比数列 ?na 的各项 都为 正数 , 且3 5 412a , a ,a成等差数列 , 则 3546aaaa? 的值是（ ） A 512? B. 512? C.352? D.352? 4.如图 , 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是 某几何体的正视图 （等腰 直角三角形） 和侧视图
3、 , 且该几何体的体积为 83 , 则该几何体的俯视图可以是 （ ） 2 5.在区间 2,0 内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间 2,0 内的概率为（ ） A. 22 B. 4? C. 21 D. 8? 6.如右图所示的程序框图输出的结果是（ ） A.6 B. 6? C.5 D. 5? 7.中国宋代的数学家秦九韶曾提出 “ 三斜求积术 ” ，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为 cba, ，三 角 形 的 面 积 S 可 由 公 式)()( cpbpappS ? 求得，其中 p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦 -秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 8,12 ? cba ，
4、则此三角形面积 的最大值为（ ） A. 54 B. 58 C. 154 D. 158 8. 设 x 表示不超过 x 的最大整数，如 05.0,11 ? ，已知函数 )0()( ? xkxxxf ，若方程 0)( ?xf 有且仅有 3 个实根，则实数 k 的取值范围是 （ ） A 3221，（ B 4332，（ C 5443，（ D 6554，（ 9.某学校高三年级有 2 个文科班， 3个理科班，现每个班指定 1人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（ ） A.24 B.32 C.48 D. 84 10.倾斜角
5、 为 3? 的直线 l 过抛物线 2 ( 0)y ax a?的焦点 F ，且与抛物线交于点 A 、 B ， l 交抛物线的准线于点 C （ B 在 A 、 C 之间），若 83BC? ，则 a? （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 11.设 P 是正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的对角面 11BDDB （含边界）内的点，若点 P 到平面ABC 、平 面 1ABA 、平面 1ADA 的距离相等，则符合条件的点 P （ ） A.仅有一个 B.有有限多个 C.有无限多 个 D.不存在 开始 结束 0, 1Si? S S i? S S i? 1ii?i 是奇数 10i? 否 否
6、输出 S 是 是 3 12.若关于 x 不等式 xaexxxx ? 23ln 恒成立，则实数 a 的取值范围是 （ ） A. ）?,e B. ）?,0 C. ）?,1e D. ）?,1 第卷 注意事项： 须用黑色墨水 签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效 . 二 .填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 . 13.已知 1, 2?ab ，且 a ()?ab，则向量 a 与向量 b 的夹角是 14. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要 用 A原料 3吨， B原料 2吨，生产每吨乙产品要用 A原料 1吨 ， B原料 3吨。销售每吨甲产品可获得利润 5万元，
7、每吨乙产品可获得利润 3万元，该企业在一个生产周期内消耗 A原料 不超过 13吨， B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 万元 15 已知数列 na 满足 *111 , ( )2 ( 1 ) ( 1 )nn nnaa a n Nn n a? ? ?，若不等式241 0ntann? ? ?恒成立，则实数 t 的取值范围是 16 函数 )2)(2s in (2)( ? ? xxf 的图像向左平移 6? 个单位长度后对应的函数是奇函数 ， 函数 .2co s)32()( xxg ? 若关于 x 的方程 ) ( ) -2f x g x?（ 在 ）?,0 内有两个不同的解 ?， ， 则 )(c
8、 ?os 的值为 三、解答题 :本大题共 6小题 ,共 70分 .解答题写出文字说明、证 明过程或演算步骤 . 17.(本小题满分 12分） 在 ABC? 中， A B C? ? ?、 、 所对边长分别为 a b c、 、 ， 已知 (sin , sin c o s )m C B A? ， ( ,2 )n b c? 且 0mn? . （ 1）求 A? 的大小； （ 2）若 23a? ， sin sin 1BC?，求 ABC? 的面积 S . 18.(本小题满分 12分） 如图，在四面体 ABCD 中，平面 ABC? 平面 BCD ， DC BC? , 3AB? ， 2BC? ， 1AC? .
9、(1) 求证： AB AD? ； (2)设 E 是 BD 的中点，若直线 CE 与平面 ACD 的夹角为 30? ， 求四面体 ABCD 外接球的表面积 . A C B D E 4 19. (本小题满分 12分） 春节来临， 有农民工兄弟 A 、 B 、 C 、 D 四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响 .若 A 、B 、 C 、 D 获得火车票的概率分别是 1311, , ,24pp，其中 13pp? ，又 131, ,22pp成等比数列，且 A 、 C 两人恰好有一人获得火车票的概率是 12 . （ 1）求 13,pp的值； （ 2
10、）若 C 、 D 是一家人且两人都获得火车票才一起回 家，否则两人都不回家 .设 X 表示 A 、B 、 C 、 D 能够回家过年的人数，求 X 的分布列和期望 EX . 20. （本小题满分 12 分） 过点 ? ?,2Pa? 作抛物线 2:4C x y? 的两条切线 , 切点分别为 ? ?11,A x y , ? ?22,B x y . （ 1） 证明 : 1 2 1 2xx y y? 为定值 ; （ 2） 记 PAB 的外接圆的圆心为点 M , 点 F 是抛物线 C 的焦点 , 对 任意实数 a , 试 判断以 PM 为直径的圆是否恒过点 F ? 并说明理由 . 21. （本小题满分 1
11、2 分） 已知函数 为常数）aaxxxxf .(12ln)( 2 ? (1)讨论函数 )(xf 的单凋性； (2)若存在 ,1,0(0?x 使得对任意的 ,0,2(?a 不等式 202 m ( 1 ) ( ) 2 4ae a f x a a? ? ? ? ?（其中 e为自然对数的底数）都成立，求实数 m 的取值范围 请考生在第 22 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22 （本小题满分 10分）选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐 标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 3,(1,? ?xttyt为参数 ) . 在以坐标原点为极点 , x 轴正半轴为极轴的极坐标系
12、中 , 曲线 : 2 2 c o s .4?C(1) 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程 ; (2) 求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 . 23.（本小题满分 10分）选修 4 5：不等式选讲 已知函数 ? ? 12? ? ? ? ?f x x a x a. (1) 若 ?13?f ，求 实数 a 的取值范围 ; (2) 若 1,?axR , 求证： ? ? 2?fx . 5 理科数学参考答案 一、 选择题 1-5 ABADD 6-10 CBCAD 11-12 AB 二、 填空题 13、 4? 14、 27 15、 9, )? ? 16、 255 三、 解答 17、
13、解：（ 1） 0mn? ， ( s i n , s i n c o s ) ( , 2 ) 0C B A b c? ? ? s in 2 s in c o s 0b C c B A? ? ? 2分 由正弦定理得 2 cos 0bc cb A? 4分 0, 0bc? 1cos 2A? ? ? 5分 0 A ? 23A ? ? 6分 （ 2）由（ 1）及余弦定理得 2 2 2a b c bc? ? ? ， 得 2 2 2s i n s i n s i n s i n s i nA B C B C? ? ? 即 22 3s i n s i n s i n s i n 4B C B C? ? ? 8分
14、 又 sin sin 1BC?，解得 1sin sin 2BC? 9分 23a? 2bc? ? ? ? 11 分 ABC? 的面积 1 1 3s in 2 2 32 2 2S b c A? ? ? ? ? ? 12 分 18、 解 :(1)由平面 ABC? 平面 BCD ， DC BC? ，得 DC? 平面 ABC ， AB CD? 2分 又由 3AB? ， 2BC? ， 1AC? ，得 2 2 2BC AB AC?，所以 AB AC? ? 4分 故 AB? 平面 ADC ，所 以 AB AD? ? 6分 （ 2）取 AD 的中点 F ，连接 EF ，则 EFBA? , 因为 AB? 平面 A
15、DC EF?平面 ADC ? 8分 连接 FC ,则 30ECF ?， 23C E E F A B? ? ? ? 9分 又 90B A D B C D ? ? ? ?，所以四面体 ABCD 的外接球的半径 3R CE? 11 分 故四面体 ABCD 的外接球的表面积 = 24 ( 3) 12? ? 12 分（向量解法酌情给分） 19、 解：（ 1） A 、 C 两人恰好有一人获得火车票的概率是 12 1 3 1 3 1(1 ) (1 ) 2p p p p? ? ? ? ? 1分 A C B D E F 6 联立方程131 3 1 31241(1 ) (1 )2ppp p p p? ? ? ?
16、? ? 3分 13pp? ，解得 1311,24pp? 5分 （ 2） 0,1,2,3,4X ? 21 1 1 1 5( 0 ) (1 ) (1 )2 4 4 6 4PX ? ? ? ? ? ? ? 6分 12 1 1 1 1 3 0 1 5( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 2 4 4 6 4 3 2P X C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7分 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 2 4 4 2 2 4 4 6 4 4PX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8分 12 1 1 1 1 2 1( 3 )
17、( 1 )2 2 4 4 6 4 3 2P X C? ? ? ? ? ? ? ? ? 9分 1 1 1 1 1( 4 ) 2 2 4 4 6 4PX ? ? ? ? ? ? 10分 X? 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1564 1532 14 132 164 ? 11分 1 5 1 5 1 1 1 90 1 2 3 46 4 3 2 4 3 2 6 4 8EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12分 20、 (1) 法 1:由 2 4xy? ,得 214yx? ,所以 12yx? . 所以直线 PA 的斜率为112x. 因为点 ? ?11,A x y 和 ? ?22,B x y 在抛物线 C 上 , 所以 21114yx?, 22214yx?. 所以直线 PA 的方程为 ? ?21 1 11142y x x x x? ? ?. ?1 分 因为点 ? ?,2Pa? 在直线 PA 上 , 所以 ? ?21 1 1112 42x x a x? ? ? ?,即 2112 8 0x ax ? ?. ? 2分 同理 , 2222 8 0x ax? ? ?
