1、8.18.1二分法与求方程近似解二分法与求方程近似解第第8 8章章内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习课标阐释思维脉络1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.(直观想象)2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.(数学运算)课前篇课前篇 自主预习自主预习情境导入在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这是一条10 km长的路线,如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆
2、子,10 km长的线路大约有200多根电线杆子.可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除了,你知道他是如何做到的吗?如图所示,他首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时,若发现AC段正常,则可断定故障在BC段,再到BC段中点D,这次若发现BD段正常,则故障在CD段,再到CD段中点E来查.每查一次,可以把待查的线段缩减一半,要把故障可能发生的范围缩小到50100 m左右,即一两根电线杆附近,只要7次就够了.上述情境中,工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的?工人师傅选择下次在哪个范围内爬电线杆子的关键是什么?如果把故障可能发生的范围缩小在 200 m左右,至多需要爬几次电线杆子
3、?知识点拨一、函数的零点一般地,我们把使函数y=f(x)的值为0的 实数x 称为函数y=f(x)的零点.要点笔记方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.微思考 函数的零点是函数与x轴的交点吗?提示 不是.函数的零点不是一个点,而是一个数,该数是函数图象与x轴交点的横坐标.微练习 下列函数有2个零点的是()A.y=lg x+2B.y=2|x|-1C.y=x2 D.y=|x|-1答案 D解析 对于A,令y=lg x+2=0,x=10-2,只有一个零点,故A错误;对于B,令y=2|x|-1=0,x=0,只有一个零点,故B错误;对
4、于C,令y=x2=0,x=0,只有一个零点,故C错误;对于D,令y=|x|-1=0,x=1,有两个零点,故D正确.故选D.二、函数零点存在定理一般地,若函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)f(b)0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.名师点析 f(a)f(b)0与函数f(x)存在零点的关系(1)若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,则函数y=f(x)一定有零点.(2)由函数y=f(x)在闭区间a,b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0,如图.事实上,只有当函数图象通过零点(不是偶次零点)时,函数值才变号
5、,即相邻两个零点之间的函数值同号.(3)若函数f(x)在区间a,b上具有单调性,且f(x)的图象是连续不断的一条曲线,则f(a)f(b)0函数f(x)在(a,b)上只有一个零点.微练习 1函数f(x)=3x-4的零点所在区间为()A.(0,1)B.(-1,0)C.(2,3)D.(1,2)答案 D解析 由f(1)=3-4=-10,得f(x)的零点所在区间为(1,2).故选D.微练习 2二次函数f(x)=x2-2ax+a-1有一个零点大于1,有一个零点小于1,则实数a的取值范围为.答案(0,+)解析 由已知,抛物线开口向上,因而f(1)=1-2a+a-10.三、二分法求函数零点近似值的步骤 要点笔
6、记二分法的实质:用二分法求方程的近似解,实质上就是通过“取中点”的方法,运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间,进而得到一个近似解.微思考 若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解?提示 二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反),因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解,如f(x)=(x-1)2的零点就不能用二分法求解.微练习(多选)下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求图中函数零点的是()答案 ACD解析 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧的函数值异号.在选项B中,不满足f(a)f(b)0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.(2)由已
7、知得f(3)=0,即3a-b=0,即b=3a,故g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1),令g(x)=0,即ax(3x+1)=0,反思感悟函数零点的求法(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.(2)几何法:对于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以将它与函数f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.变式训练1判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出;否则,请说明理由.(1)f(x)=x2+7x+6;(2)f(x)=1-log2(x+3);(3)f(x)=2x-1-3;解(1)解方程f(x)=x2+7x+6=0,得x=-1或x=-6,所以函数的零点是-1,-6.(2)
8、解方程f(x)=1-log2(x+3)=0,得x=-1,所以函数的零点是-1.(3)解方程f(x)=2x-1-3=0,得x=log26,所以函数的零点是log26.探究二探究二判断函数零点所在的区间判断函数零点所在的区间例2(1)函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的大致区间是()A.(3,4)B.(2,e)C.(1,2)D.(0,1)(2)根据表格内的数据,可以断定方程ex-x-3=0的一个根所在区间是()x-10123ex0.3712.727.3920.09x+323456A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)答案 (1)C(2)C 解析(1)因为f(1)=ln 2
9、-0,且函数f(x)在(0,+)上是增函数,所以函数的零点所在区间为(1,2).故选C.(2)构造函数f(x)=ex-x-3,由题表可得f(-1)=0.37-2=-1.630,f(0)=1-3=-20,f(1)=2.72-4=-1.280,f(3)=20.09-6=14.090,f(1)f(2)0,所以方程的一个根所在区间为(1,2),故选C.反思感悟判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值;(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断;(3)结论:若符号为正且函数在该区间内具有单调性,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.变
10、式训练2若函数f(x)=x+(aR)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是()A.-2B.0C.1D.3答案 A 解析 f(x)=x+(aR)的图象在(1,2)上是连续不断的,逐个选项代入验证,当a=-2时,f(1)=1-2=-10,故f(x)在区间(1,2)上有零点.同理,其他选项不符合.故选A.探究三探究三二分法的概念二分法的概念例3已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A.4,4B.3,4 C.5,4 D.4,3答案 D解析 图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4.左、右函数值异号的零点有3个,所以可以用二分法求解的个数为3.故选D.要点笔记
11、判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点,因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适合.变式训练3若二次函数f(x)=2x2+3x+m存在零点,且能够利用二分法求得此零点,则实数m的取值范围是.探究四探究四用二分法求函数零点的近似值或方程的近似解用二分法求函数零点的近似值或方程的近似解例4求函数f(x)=x2-5的负零点的近似值(精确到0.1).解 由于f(-2)=-10,故函数f(x)的零点在区间(-3,-2)内.用二分法逐次计算,列表如下:区间中点的值中点函数值(近似值)(-3,-2)-2.51.2
12、5(-2.5,-2)-2.250.062 5(-2.25,-2)-2.125-0.484 4(-2.25,-2.125)-2.187 5-0.214 8(-2.25,-2.187 5)-2.218 75-0.077 1(-2.25,-2.218 75)-2.234 375-0.007 6(-2.25,-2.234 375)-2.242 187 50.027 4由于-2.242 187 5与-2.234 375精确到0.1的近似值为-2.2,所以函数的一个近似负零点可取-2.2.变式训练4求方程lg x=2-x的近似解(精确到0.1).解 在同一平面直角坐标系中,作出y=lg x,y=2-x的图
13、象如图所示,可以发现方程lg x=2-x有唯一解,记为x0,并且解在区间(1,2)内.若f(x)=lg x+x-2,则f(x)的零点为x0.用计算器计算,得f(1)0 x0(1,2);f(1.5)0 x0(1.5,2);f(1.75)0 x0(1.75,2);f(1.75)0 x0(1.75,1.875);f(1.75)0 x0(1.75,1.812 5).1.75和1.812 5精确到0.1的近似值为1.8,方程的近似解可取为1.8.素养形成素养形成二次函数零点分布问题二次函数零点分布问题典例已知二次函数f(x)=x2+2mx+2m+1的两个零点分别在区间(-1,0)与(1,2)内,求实数m
14、的取值范围.点评二次函数零点问题,一般需要考虑以下四个方面:对应一元二次方程根的判别式;考查区间端点函数值的正负;图象对称轴与区间的位置关系;对应一元二次方程根与系数的关系.当堂检测当堂检测1.通过下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是()答案 C解析 在A中,函数无零点;在B和D中,函数有零点,但它们在零点左右的函数值符号相同,因此它们都不能用二分法来求零点;而在C中,函数图象是连续不断的,且图象与x轴有交点,并且在交点两侧的函数值符号相反,所以C中的函数能用二分法求其零点.2.函数f(x)=2x2-3x+1的零点个数是()A.0B.1C.2D.3答案 C 解析 由f(x)=0得2x2-
15、3x+1=0,解得x=或x=1,所以函数f(x)有2个零点.3.(2020四川乐山高一期末)函数f(x)=ex-1+2x-4的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案 B解析 因为f(x)=ex-1+2x-4在R上是增函数,f(1)=1+2-4=-10,所以函数f(x)=ex-1+2x-4的零点所在的区间是(1,2).故选B.4.若函数f(x)=x+b的零点在区间(0,1)内,则b的取值范围为.答案 (-1,0)解析 f(x)=x+b是增函数,又f(x)=x+b的零点在区间(0,1)内,5.用二分法求函数y=f(x)在区间2,4上零点的近似值,经验证有f
16、(2)f(4)0.取区间的中点x1=3,计算得f(2)f(x1)1)y=logax(a1)y=x(0)在(0,+)上的单调性 增函数增函数 增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行随值而不同增长速度y=ax(a1):随着x的增大,y增长速度越来越快,会远远大于y=x(0)的增长速度,y=logax(a1)的增长速度越来越慢.当x足够大时,总有axxlogax微练习 1当x足够大时,下列函数的值最大的是()A.y=ex B.y=ln x C.y=x2 D.y=e-x答案 A解析 结合指数函数、对数函数及二次函数的图象变化趋势,可知A正确.微练习 2“红豆生南国,春
17、来发几枝”,如图所示,给出了红豆生长时间t(单位:月)与枝数y(单位:枝)的散点图,那么下列对红豆的枝数与生长时间的关系拟合最好的函数是()A.y=2tB.y=log2tC.y=t3D.y=2t2答案 A解析 根据本题所给的散点图,观察得到图象在第一象限,且从左到右图象是上升的,并且增长速度越来越快,根据四个选项中函数图象特征可得,用指数函数模型拟合最好.故选A.二、常用函数模型 常用函数模型(1)一次函数模型y=kx+b(k,b为常数,k0)(2)二次函数模型y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)(3)指数函数模型y=bax+c(a,b,c为常数,b0,a0且a1)(4)对数函数模型
18、y=mlogax+n(m,a,n为常数,m0,a0且a1)(5)幂函数模型y=axn+b(a,b为常数,a0)(6)分段函数y=要点笔记建立函数模型解决问题的基本过程实际问题建立数学模型求解数学模型解决实际问题微练习 某城市现有人口数为100万,如果20年后该城市人口总数不超过120万,那么该市年人口自然增长率大约应控制在多少?解设该市年人口自然增长率为x,依题意得100(1+x)20120,所以(1+x)201.2,两边取常用对数,得20lg(1+x)lg 1.2,即lg(1+x)lg 1.2,解得x近似小于或等于0.9%.所以该市年人口自然增长率大约应控制在0.9%.课堂篇课堂篇 探究学习
19、探究学习探究一探究一指数函数、对数函数与幂函数模型的比较指数函数、对数函数与幂函数模型的比较例1函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),1x12,9x210,x16x22 021.从图象上可以看出,当x1xx2时,f(x)g(x),f(6)x2时,f(x)g(x),f(2 021)g(2 021).又g(2 021)g(6),f(2 021)g(2 021)g(6)f(6).反思感悟由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通
20、常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数;图象趋于平缓的函数是对数函数.变式训练1函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.(1)请指出曲线C1,C2分别对应的函数;(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).解(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lg x.(2)当0 xf(x);当x1xg(x);当xx2时,g(x)f(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).探究二探究二利用已知函数模型解决实际问题利用已知函数模型解决实际问题例2科学研究表明:人类
21、对声音有不一样的感觉,这与声音的强度I(单位:瓦/平方米)有关.在实际测量时,常用L(单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式:L=alg (a是常数),其中I0=110-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=110-11瓦/平方米,它的强弱等级L=10分贝.(1)已知生活中几种声音的强度如下表:声音来源风吹落叶沙沙声轻声耳语很嘈杂的马路强度I/(瓦/平方米)110-11110-10110-3强弱等级L/分贝10m90求a和m的值;(2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I的最大值.要点笔记已知函数模型解决实际问题,往往给出的
22、函数解析式含有参数,需要将题中的数据代入函数模型,求得函数模型中的参数,再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.变式训练2某种商品在近30天内每件的销售价格P(单位:元)和时间t(单位:天)的函数关系为P=(tN*).设该商品的日销售量Q(单位:件)与时间t(单位:天)的函数关系为Q=40-t(0t30,tN*),求这种商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大是第几天.解 设日销售金额为y元,则y=PQ,当0t0).(1)写出y关于x的函数解析式,并指出这个函数的定义域;(2)求羊群年增长量的最大值.延伸探究若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”,又如何表
23、示y关于x的函数解析式?反思感悟自建模型时主要抓住四个关键:求什么,设什么,列什么,限制什么.求什么就是弄清楚要解决什么问题,完成什么任务.设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素,谁是核心因素,通常设核心因素为自变量.列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来,可以是方程、函数、不等式等.限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件,在实际问题中,除了要使函数式有意义外,还要考虑变量的实际含义,如人不能是半个等.变式训练3有一长为l的钢材,要做成如图所示的窗框:上半部分为半圆,下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形,问小矩形的长与宽之比为多少时,窗户所通过的光线最多?并求出窗户面积的最大值(钢材的宽度忽
24、略不计).解 设小矩形的长为x,宽为y,窗户的面积为S,则由题图可得9x+x+6y=l,所以6y=l-(9+)x,素养形成素养形成需选择函数模型的实际问题需选择函数模型的实际问题典例(1)某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数(2)某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双、1.2万双、1.3万双、1.37万双.由于产品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过
25、少,需要估计以后几个月的产量.厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长,就月份为x,产量为y给出三种函数模型:y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=abx+c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量?(1)解析 结合各类型函数图象的变化趋势可知,对数型函数符合题设条件,故选D.答案 D(2)解 由题意知,将产量随时间的变化抽象为A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)这4个数据.所以有关系式y=-0.05x2+0.35x+0.7.由此法计算4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由二次函数性
26、质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下,对称轴为直线x=3.5),不合实际.设模拟函数为y=abx+c时,将A,B,C三点的坐标代入函数式,所以有关系式y=-0.80.5x+1.4.当把x=4代入得y=-0.80.54+1.4=1.35.比较上述三个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,如:增产的趋势和可能性.经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而指数型函数模型恰好反映了这种趋势.因此选用指数型函数y=-0.80.5x+1.4,模
27、拟比较接近客观实际.点评1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型,也就是借助数据信息,得到相关方程,进而求出待定参数.2.函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容,解题的关键在于通过对已知数据的分析,得出重要信息,根据解题积累的经验,从已有的各类型函数中选择模拟,进行数据的拟合.当堂检测当堂检测1.(2020上海高一专题练习)某城区按以下规定收取水费:若每月用水不超过20立方米,则每立方米水费按2元收取;若超过20立方米,则超过的部分按每立方米3元收取,如果某户居民在某月所交水费的平均价为每立方米2.20元,则这户居民这月共用水()A.46立方米B.44立方米C.2
28、6立方米D.25立方米答案 D解析 设他这个月共用了x立方米的水,则202+(x-20)3=2.2x,解得x=25.这户居民这月共用水25立方米.故选D.2.一块镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则x,y的函数关系是()答案 A 3.若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则燃烧剩下的高度h(单位:cm)与燃烧时间t(单位:h)的函数关系用图象表示为()答案 B解析 由题意h=20-5t(0t4),其图象为B.4.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.已知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)
29、=40Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是万元.答案 2 500 解析 每生产一单位产品,成本增加10万元,总成本为(2 000+10Q)万元.当Q=300时,利润L(Q)的最大值是2 500万元.5.(2021浙江金华高一期末)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000 m,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)可以表示为 ,其中O表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是8 100个单位时,它的游速是m/s.答案 2 6.(2021浙江高一期末)某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图甲,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,
30、其关系如图乙(利润与投资的单位:万元).(1)分别求A,B两种产品的利润与投资的函数关系式;(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使该企业获得最大利润?章末整合章末整合第第8 8章章内容索引知识网络系统构建知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升知识网络系统构建知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题一函数的零点与方程的根函数的零点与方程的根 例1(1)函数f(x)=lg x-的零点所在的大致区间是()A.(6,7)B.(7,8)C.(8,9)D.(9,10)(2)关于x的方程 -m=0有两个不同的实数根,则
31、实数m的取值范围是.答案 (1)D(2)(0,1)(2)在同一直角坐标系内,画出函数y1=和y2=m的图象,如图所示,由于方程有两个实根,故0m1.方法技巧 函数零点问题的求解策略(1)方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点,在解决函数与方程问题时,要注意三者之间的关系,在解题中要充分利用这个关系实现问题的转化,同时还要注意使用函数的性质,如函数的单调性、奇偶性等.(2)确定函数零点的个数或所在区间的两个基本方法:利用零点存在定理,数形结合转化为函数图象的交点问题.变式训练1已知函数f(x)=ln x-的零点为x0,则x0所在的区间是()A.(0,1)
32、B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案 C 专题二专题二二分法求方程的近似解或函数的零点的近似值二分法求方程的近似解或函数的零点的近似值 例2求函数f(x)=x2-5的负零点的近似值(精确到0.1).解 由于f(-2)=-10,故取区间-3,-2作为计算的初始区间.用二分法逐次计算,列表如下:区间中点的值中点函数值(近似值)(-3,-2)-2.51.25(-2.5,-2)-2.250.062 5(-2.25,-2)-2.125-0.484 4(-2.25,-2.125)-2.187 5-0.214 8(-2.25,-2.187 5)-2.218 75-0.077 1由于|-2.25-(
33、-2.187 5)|=0.062 50.1,所以函数的一个近似负零点可取-2.25.方法技巧 用二分法求函数零点的近似值关键有两点:一是初始区间的选取,符合条件(包括零点),又要使其长度尽量小;二是进行近似值判断,以决定是停止计算还是继续计算.变式训练2证明函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一一个零点,并求出这个零点(精确到0.1).解 设函数f(x)=2x+3x-6.f(1)=-10,f(x)在区间(1,2)内有零点.又f(x)是增函数,函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一的零点.设该零点为x0,则x0(1,2),取x1=1.5,f(1.5)1.330,f(1
34、)f(1.5)0,f(1)f(1.25)0,x0(1,1.25).取x3=1.125,f(1.125)-0.440,f(1.125)f(1.25)0,x0(1.125,1.25).取x4=1.187 5,f(1.187 5)-0.160,f(1.187 5)f(1.25)0,x0(1.187 5,1.25).取x5=1.218 75,f(1.218 75)-0.0160,f(1.218 75)f(1.25)0,f(1.218 75)f(1.234 375)0,x0(1.218 75,1.234 375).1.218 75与1.234 375精确到0.1的近似值都为1.2,可取x0=1.2.则该
35、函数的零点近似解可取1.2.专题三专题三函数模型的应用函数模型的应用 例3(2021湖北直辖县级行政单位高一期末)某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元,每生产x万件,需另投入流动成本为W(x)(单位:万元),在年产量不足19万件时,W(x)=x2+x,在年产量大于或等于19万件时,W(x)=26x+-320,每件产品售价为25元,通过市场分析,生产的医用防护用品当年能全部售完.(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本).(2)年产量为多少万件时,该厂家在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?解
36、(1)因为每件商品售价为25元,则x万件商品销售收入为25x万元,依题意得,因为116180,所以当生产的医用防护用品年产量为20万件时,厂家所获利润最大,最大利润为180万元.方法技巧 建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行抽象概括,确定变量之间的关系,并用x,y分别表示.(2)建立函数模型,将变量y表示为x的函数,此时要注意函数的定义域.(3)求解函数模型,并还原为实际问题的解.变式训练3某上市股票在30天内每股的交易价格P(单位:元)与时间t(单位:天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上,该股票在30天内的日交易量Q(单位:万股)与时间t(单位:天)的部分数据如表所示:第t天4101622Q/万股36302418(1)根据图象,写出该股票每股交易价格P与时间t所满足的函数关系式;(2)根据表中数据确定日交易量Q与时间t的一次函数关系式;(3)写出该股票日交易额y(单位:万元)关于t的函数关系式,并求在这30天中第几天日交易额最大,最大值是多少?所以,在30天中的第15天,日交易额取得最大值125万元.
