1、苏教版2019版高中数学必修第一册第5章函数概念与性质知识点清单目录第五章函数概念与性质5. 1 函数的概念和图象 5. 2 函数的表示方法5. 3 函数的单调性5. 4 函数的奇偶性第 1 页 共 12 页第五章函数概念与性质5. 1 函数的概念和图象 5. 2 函数的表示方法一、函数的概念1. 函数的概念一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，xA. 其中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合y|y=f(x)，xA称为函数的值域. 2.
2、函数的三要素（1）一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域. （2）如果两个函数的对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数. 二、函数的表示方法1. 列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法. 2. 解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法. 3. 图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法. 三、分段函数1. 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式的函数叫作分段函数. 四、求函数的定义域1. 已知函数解析式求定义域(1)如果函数解析式是整式，那么在没有指明它的定义域的情况下，函数的定义域是实数集R. (2)如果函数解析式含分式或0次幂，那么函数的定义域是使分母
3、或指数幂的底数不为零的实数的集合. 第 12 页 共 12 页(3)如果函数解析式仅含偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. (4)如果函数解析式是由几部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集). (5)由实际背景确定的函数，其定义域不仅要考虑解析式有意义，还要考虑自变量的实际意义. 2. 求抽象函数的定义域(1)无论什么样的函数，定义域指的永远是自变量的取值范围. (2)相同的对应关系所作用对象的范围是一致的，即函数f(t)， f(x)， f(h(x)中的t，(x)，h(x)在对应关系f下的取值集合相
4、同. (3)抽象函数定义域的求解类型及方法：已知f(x)的定义域为A，求f(x)的定义域，实质是已知(x)的取值集合为A，求x的取值集合. 已知f(x)的定义域为B，求f(x)的定义域，实质是已知(x)中的x的取值集合为B，求出(x)的取值集合，此集合就是f(x)的定义域. 已知f(x)的定义域为C，求f(g(x)的定义域，实质是已知(x)中的x的取值集合为C，求出(x)的取值集合D，再令g(x)的取值集合为D，求出x的取值集合，此集合就是f(g(x)的定义域. 五、求函数的值或值域1. 求函数值的方法(1)已知函数f(x)的解析式时，只需用常数a替换解析式中的x进行计算即可. (2)已知函数
5、f(x)与g(x)，求f(g(a)的值，应遵循由内到外的原则. 注意：用来替换解析式中x的常数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义. 2. 求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，可根据其解析式的结构特征通过直接观察得到值域. (2)图象法：画出函数的图象，利用函数图象的“最高点”和“最低点”直观得到函数的值域. (3)配方法：此方法是求二次函数值域的基本方法，通常把函数式通过配方转化为完全平方式与常量和差的形式. (4)分离常数法：主要针对形如y=ax+bcx+d (ac0，adbc)的函数，常把分子分离成不含自变量的形式，即y=ax+bcx+d=ac+badccx+d
6、，其值域是y|yac. (5)换元法：对于一些无理函数(如y=axbcxd)，通过换元把它们转化为熟悉的函数，间接求出原函数的值域，注意换元后新元的取值范围. (6)判别式法：将函数转化为关于自变量的二次方程，利用判别式求因变量的范围，常用于“分式函数”等，注意自变量的取值范围. (7)反表示法：将函数中的自变量用因变量表示，结合原函数的定义域解不等式，从而求出函数的值域. 六、求函数的解析式1. 当函数类型已知时，可采用“先设后求，待定系数”法来求其解析式. 解题步骤如下：(1)设出含有待定系数的解析式. (2)把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程(组). (3)解方程(组)，得到待定
7、系数的值. (4)将所求待定系数的值代回原式并化简整理. 2. 当函数类型未知时，可根据条件选择以下方法求其解析式. (1)代入法：已知f(x)的解析式，求f(g(x)的解析式，通常把g(x)作为一个整体替换f(x)中的x. (2)换元法：已知f(g(x)是关于x的函数，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此能解出x=e(t)，将x=e(t)代入f(g(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便可得到f(x)的解析式. (3)配凑法：将所给函数的解析式f(g(x)通过配方、凑项等方法，使之变形为关于g(x)的函数解析式，然后以x代替g(x)，即得所求函数解析式，这里的g(x)可以是多
8、项式、分式、根式等. (4)消元法(方程组法)：已知f(x)与f1x或f(-x)的解析式，可根据已知条件用1x或-x替换x，再构造出另外一个等式，组成方程组，通过解方程组求出 f(x). (5)赋值法：依题目的特征，可对变量赋特殊值，由特殊到一般寻找普遍规律，从而根据找出的一般规律求出函数解析式，此法一般适用于求抽象函数的解析式. 七、分段函数1. 对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数，只是根据自变量的不同范围分成了几段而已. (2)画分段函数图象时，应分别画出每一段函数的图象. (3)研究分段函数时，先分段考虑，再整体把握，注意各段的自变量在区间端点处的取值情况. 2.
9、分段函数的求值策略(1)已知自变量的值求函数值的步骤：确定自变量属于哪一个区间；代入该区间所对应的解析式求值，直到求出值为止. 当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值. (2)已知函数值求对应的自变量的值：可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解. 5. 3 函数的单调性一、函数的单调性1. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间IA. (1)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么称y=f(x)在区间I上单调递增(如图1)，I称为y=f(x)的增区间.
10、特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称f(x)是增函数. (2)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f(x2)，那么称y=f(x)在区间I上单调递减(如图2)，I称为y=f(x)的减区间. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称f(x)是减函数. (3)如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性. 增区间和减区间统称为单调区间. 2. 易错(1)某函数有两个或两个以上的单调递增(减)区间时，单调递增(减)区间之间用“，”或者“和”连接，不用“”“或”“且”连接. (2)函数在区间端点处无意义时要写成开区间，有意
11、义时开闭均可. 二、函数的最值设y=f(x)的定义域为A. 如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么称f(x0)为y=f(x)的最大值，记为ymax=f(x0)；如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么称f(x0)为y=f(x)的最小值，记为ymin=f(x0). 三、函数单调性的判断(证明)1. 判断函数单调性的方法(1)图象法：根据函数图象的升降情况进行判断. (2)直接法：运用已知结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接得出. (3)性质法：f(x)，g(x)在公共区间上的单调性如下表：y=f(x)y=g
12、(x)y=f(x)+g(x)y=f(x)-g(x)增增增增减 增减减减 减增减复合函数单调性的判断依据：由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合，得到函数y=f(g(x)，其单调性的判断方法如表所示：u=g(x)y=f(u)y=f(g(x)增增增增减减减增减减减增复合函数的单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单调性相同时单调递增，相异时单调递减. 注意函数的定义域. 2. 利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x1，x2是所给区间内的任意两个值，且x1x2；(2)作差、变形：计算f(x1)-f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；(3)判断符号：
13、确定f(x1)-f(x2)的符号；(4)下结论：根据f(x1)-f(x2)的符号与增函数、减函数的定义确定单调性. 四、函数单调性的应用1. 利用函数的单调性求解最大(小)值若函数f(x)在区间a，b上单调递增(减)，则函数f(x)在x=a时取得最小(大)值f(a)，在x=b时取得最大(小)值f(b). 若函数f(x)有多个单调区间，则先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值. 2. 利用函数的单调性解不等式利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义，将符号“f ”脱掉，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域. 3. 利用函数的单调性求参数的取值范
14、围(1)利用单调性的定义：在单调区间内任取x1，x2，且x1x2，由f(x1)-f(x2)0)恒成立求参数的取值范围. (2)利用具体函数本身所具有的特征：如根据二次函数的图象的对称轴相对于所给单调区间的位置建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求参数的取值范围. 4. 注意：若某个函数在区间a,b上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的. 根据分段函数的单调性求参数的取值范围时，一般从两方面考虑：一方面，每个分段区间上的函数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面，要考虑分界点处函数值之间的大小关系. 若是增函数，则分界点左侧值小于或等于右侧值；若是减函数，则分界点左侧值
15、大于或等于右侧值，由此列出另外的式子，从而解得参数的取值范围. 五、含参数的二次函数在某闭区间上的最大(小)值1. 解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y=a(x-h)2+k(a0)的形式，再由a的符号确定其图象的开口方向，根据对称轴方程x=h得出顶点的位置，再根据函数的定义域结合大致图象确定最大(小)值. 2. 含参数的二次函数的最值问题的类型(1)区间固定，图象的对称轴变动，求最值；(2)图象的对称轴固定，区间变动，求最值；(3)最值固定，区间或图象的对称轴变动，求参数. 求解时通常都是根据区间和图象的对称轴的相对位置进行分类讨论. 5. 4 函数的奇偶性一、函数的奇偶性偶函
16、数奇函数定义设函数y=f(x)的定义域为A如果对于任意的xA，都有-xA，并且f(-x)=f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数如果对于任意的xA，都有-xA，并且f(-x)=-f(x)，那么称函数y=f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称二、函数奇偶性的判断1. 判断函数奇偶性的常见方法(1)定义法：注意：如果直接判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)比较困难时，可以研究其等价形式，即判断f(x)f(-x)是不是0或 f(x)f(x) ( f(x)0)是不是1. (2)图象法：(3)函数奇偶性的运算性质：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，在它们的公共定义域上
17、具有的结论如表所示：f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)g(x)f(g(x)偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数注意：在f(g(x)中，g(x)的值域是f(x)的定义域的子集. 2. 分段函数奇偶性的判断判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是在一个区间上任取自变量，再向对称区间转化，并进行双向验证. 若函数在x=0处有定义，则还要验证f(0)，即判断分段函数的奇偶性时必须判断每一段上函数是否都具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征，也可以作
18、出函数图象，结合对称性判断. 三、函数奇偶性的应用1. 利用函数的奇偶性求参数的值若函数解析式中含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)，利用待定系数法求参数；若定义域中含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数. 2. 利用函数的奇偶性求函数值由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解；若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值. 3. 利用函数的奇偶性求函数的解析式(1)求哪个区间上的解析式，x就设在哪个区间上. (2)把-x对称转化到
19、已知区间上，代入已知区间的解析式得f(-x). (3)利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x)，从而求出f(x). 四、函数奇偶性与单调性的综合应用1. 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 2. 利用函数的奇偶性与单调性比较大小利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小，关键是利用图象的对称性把自变量转化到同一个单调区间上，再根据函数的单调性比较函数值的大小. 3. 利用函数的奇偶性与单调性解不等式利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化成f(x1)f(x2)或f(x1) f(x2)的形式，再根据函数的单调性列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响.
