1、苏教版2019版高中数学必修第一册第1章集合知识点清单目录第一章集合1. 1 集合的概念与表示1. 2 子集、全集、补集1. 3 交集、并集第 8 页 共 8 页第一章集合1. 1 集合的概念与表示一、集合的相关概念1. 集合的概念一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合. 集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元. 集合常用大写拉丁字母表示，如集合A，B，集合的元素常用小写拉丁字母表示，如a，b，. 2. 集合中元素的特性(1)确定性：集合中的元素必须是确定的. (2)无序性：集合中的元素并无先后顺序，即任何两个元素都可以交换顺序. (3)互异性：集合中的元素一定是不同的
2、. 3. 元素与集合的关系：属于(用符号“”表示)或不属于(用符号“”或“”表示). 4. 集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等. 二、集合的表示与分类1. 常用数集及其记法名称非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N+ZQR2. 集合的表示方法(1)列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“”内. 集合中元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关. (2)描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成x|p(x)的形式，其中x为集合的代表元素，p(x)为元素x具
3、有的性质. 为了直观地表示集合，我们常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图. 3. 集合的分类含有有限个元素的集合称为有限集. 含有无限个元素的集合称为无限集. 不含任何元素的集合称为空集，记作. 三、集合中元素特性的应用1. 确定性的应用(1)集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一. (2)元素在集合中，元素就满足集合的限制条件；元素不在集合中，元素就不满足集合的限制条件. 由此可以列出关系式，进而得到参数的值或取值范围. 2. 互异性的应用互异性主要体现在求出参数后要代入检验，看看所求的集合中的元素是否互不相同.
4、 3. 无序性的应用无序性是分类讨论思想的应用标准. 若给出元素属于某集合，则它可能等于集合中的任一元素；若给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等. 四、集合的表示1. 方法的选择当集合中元素个数较少或个数多但有规律时可考虑用列举法；当集合中元素个数多且有公共属性或无限时可考虑用描述法. 2. 用列举法表示集合时的省略元素个数多或元素个数无限但有规律时，在不发生误解的情况下，可按照规律列出几个代表元素，其他元素用省略号表示. 如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为1，2，3，1 000，“自然数集N”可以表示为0，1，2，3，. 3. 用描述法表示集合时的注意点(1)写清楚集合
5、中的代表元素及其范围，如数或点等；(2)除代表元素外的字母，要说明其含义或指出其取值范围；(3)用于描述共同属性内容的语言要力求简洁、准确；(4)所有描述的内容都要写在“”内，且“”内不能出现“所有”“全体”等词语. 五、集合中的参数问题1. 求解含参数的集合问题的思路(1)若参数的取值对解题有影响，则需对参数进行分类讨论，分类时要明确分类标准，如在方程ax+b=0中，要讨论一次项系数a是不是0，在方程ax2+bx+c=0中，要讨论二次项系数a是不是0. (2)利用条件列出含参数的关系式，求解可得到参数的值或取值范围，要注意利用集合中元素的特性对参数进行检验. 1. 2 子集、全集、补集一、子
6、集、真子集子集真子集定义如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若aA，则aB)，那么集合A称为集合B的子集如果AB，并且AB，那么集合A称为集合B的真子集记法AB或BAAB或BA读法“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”“A真包含于B”或“B真包含A”图示或 性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即AA；(2)空集是任何集合的子集，即A；(3)对于集合A，B，C，若AB且BC，则AC(1)空集是任何非空集合的真子集；(2)对于集合A，B，C，若AB且BC，则AC二、补集、全集1. 全集如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. 2. 补集
7、 定义文字语言设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集符号语言SA=x|xS，且xA图形语言性质UU=；U=U；U(UA)=A三、集合间关系的判断1. 判断集合间关系的方法(1)列举法：对于能用列举法表示的集合，先用列举法将两个(或多个)集合表示出来，再通过对比两个(或多个)集合中的元素来判断其关系. (2)元素特征法：确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合中元素的特征，再利用集合中元素的特征判断. (3)数形结合法：利用数轴或Venn图. 一般不等式的解集之间的关系适合用数轴判断. 四、探究集合的子集个数1. 假设集合A中含有n(nN* )个元素，则(1)A的子集个数是2
8、n；(2)A的非空子集个数是2n-1；(3)A的真子集个数是2n-1；(4)A的非空真子集个数是2n-2. 2. 含有限制条件的子集问题，一般可根据条件列出所有适合题意的子集，采用列举法解决. 特别地，设有限集合A，B中分别含有m个，n个元素(m，nN*，mn)，且ACB，则符合条件的有限集C的个数为2n-m. 五、已知集合间的关系求参1. 若集合是有限集，则根据集合间的关系，列出方程(组)求解，解题时还要注意考虑集合中元素的互异性. 2. 若集合是用不等式描述的，则通常借助数轴进行分析，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，注意实心圆点与空心圆圈，还要注意验证端点值是否符合题意. 3. 涉及
9、“AB”或“AB”的问题，若集合A中含有参数，通常要分A=和A两种情况进行讨论，其中A=的情况容易被忽略，应引起足够的重视. 1. 3 交集、并集一、交集与并集交集并集文字语言由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作AB(读作“A交B”)由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作AB(读作“A并B”)符号语言AB=x|xA，且xBAB=x|xA，或xB图形语言运算性质AB=BA；AA=A；A=A；(AB)A；(AB)B；ABAB=AAB=BA；AA=A；A=A=A；A(AB)；B(AB)；ABAB=B2. 德摩根定律(1)U(AB)=(U
10、A)(UB)；(2)U(AB)=(UA)(UB). 二、区间1. 设a，bR，且ab，规定a，b叫作闭区间；(a，b)叫作开区间；a，b)，(a，b叫作半开半闭区间；a，b叫作相应区间的端点. 2. 在数轴上表示时，闭区间用实心圆点表示，开区间用空心圆圈表示. 三、集合的混合运算1. 在进行集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再根据运算顺序依次进行运算. 2. 集合的混合运算的分类(1)有限集(或可以列举的无限集)的运算，运用列举法，按照运算的定义进行运算，注意集合中元素的互异性；(2)与不等式有关的无限集的运算，借助数轴，按照运算的定义进行运算，注意是否去掉端点值；(3)抽象集的运算，
11、利用Venn图，借助直观图形，按照运算的定义进行运算. 四、已知集合间的运算关系求参1. 由集合间的运算关系求参的思路(1)将集合间的运算关系转化为两个(或多个)集合之间的关系. 若集合中的元素能被一一列举，则可用观察法；若集合与不等式有关，则可用数轴求解. (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)，求解即可. 在求解时注意集合中元素的互异性和空集的特殊性. 五、通过集合知识发展数学抽象、数学运算的素养1. 集合是现代数学的基本语言，本质上，集合源于对数量与数量关系的抽象，集合的概念就是舍去事物的一切物理属性，得到抽象的数学结构，是数量与数量关系抽象的更高层次. 2. 抽象的过程实际上是对数学概念与数量关系等理解与应用的过程. 集合中的新定义问题能很好地体现数学抽象与数学运算的素养水平，此类问题不是简单考查集合的概念或性质(集合中元素的特性、集合的运算性质等)，而是以集合为载体，通过定义新概念、新法则、新运算等，理解符号所代表的数量关系和变化规律，并能运用集合的性质进行符号间的转化.
