1、苏教版2019版高中数学必修第一册第6章幂函数、指数函数和对数函数知识点清单目录第六章幂函数、指数函数和对数函数6. 1 幂函数6. 2 指数函数6. 3 对数函数第 1 页 共 10 页第六章幂函数、指数函数和对数函数6. 1 幂函数一、幂函数的概念一般地，我们把形如y=x的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数. 二、常见幂函数的图象与性质1. 在同一平面直角坐标系内，画出函数(1)y=x；(2)y=x12；(3)y=x2；(4)y=x-1；(5)y=x3的图象如图所示. 2. 常见幂函数的性质函数定义域值域奇偶性单调性y=xRR奇增y=x2R0，+)偶在0，+)上单调递增，在(-，0)上
2、单调递减y=x3RR奇增y=x120，+)0，+)非奇非偶增y=x-1x|x0y|y0奇在(0，+)上单调递减，在(-，0)上单调递减第 10 页 共 10 页三、幂函数的共同特性1. 幂函数y=x(为常数)的性质(1)当0时，函数y=x的图象都过点(0，0)和(1，1)，在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，函数在区间0，+)上单调递增. (2)当0，a1)叫作指数函数，它的定义域是R. 二、指数函数的图象与性质指数函数y=ax(a0，a1)a10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1注意：指数函数y=ax与y=1ax (a0，a1)的图象关于y轴对称. 2. 指数函数y=ax
3、(a0，a1)的底数a对图象相对位置的影响：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底大图高”；在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底大图低”. 三、指数函数图象的变换1. 平移变换(a0，a1)(1)左右平移：把y=ax的图象向右平移b(b0)个单位长度，得到y=ax-b的图象；把y=ax的图象向左平移b(b0)个单位长度，得到y=ax+b的图象. (2)上下平移：把y=ax的图象向上平移b(b0)个单位长度，得到y=ax+b的图象；把y=ax的图象向下平移b(b0)个单位长度，得到y=ax-b的图象. 2. 对称变换(a0，a1)(1)函数y=ax与y=a-x的图象关于
4、y轴对称. (2)函数y=ax与y=-ax的图象关于x轴对称. (3)函数y=ax与y=-a-x的图象关于坐标原点对称. 四、比较指数幂的大小1. 指数幂比较大小的类型及方法(1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性进行判断. (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律进行判断；利用幂函数的单调性进行判断. (3)底数不同，指数不同：通过中间量(常用0或1)来比较. 注意：对于3个(或3个以上)指数幂的大小比较，可先根据与特殊值(常用0或1)的大小比较进行分组，再比较各组数的大小. 五、解指数方程或指数不等式1. 指数方程的解法(1)对于af(x)=b(a0，且a1)
5、型的指数方程，通常将方程两边化为同底数幂的形式，用指数相等进行求解. (2)解复杂的指数方程时，常用换元法转化为解一元二次方程. 用换元法时要特别注意“元”的范围，用一元二次方程求解时，要注意对一元二次方程根的取舍. 2. 简单指数不等式的解法(1)形如af(x)ag(x)的不等式，可借助y=ax(a0，且a1)的单调性求解；(2)形如af(x)b的不等式，可将b化成以a为底数的幂的形式，再借助y=ax(a0，且a1)的单调性求解；(3)形如axbx的不等式，可借助函数y=ax，y=bx(a，b0，且a，b1)的图象求解. 六、与指数函数有关的函数的定义域、值域问题1. 求与指数函数有关的函数
6、的定义域时，要观察函数是y=af(x)(a0，a1)型还是y=f(ax)(a0，a1)型. (1)函数y=af(x)(a0，且a1)的定义域与f(x)的定义域相同. (2)求函数y=f(ax)(a0，且a1)的定义域，先令u=ax(u0)，然后确定y=f(u)的定义域，即u=ax的值域，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值集合，即y=f(ax)的定义域. 2. 求与指数函数有关的函数的值域时，重点要注意指数函数的值域为(0，+). (1)求函数y=af(x)(a0，且a1)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y=ax(a0，a1)的单调性确定函数y=af(x)的值域. (2)求
7、函数y=f(ax)(a0，且a1)的值域，先令u=ax(u0)，然后利用函数u=ax的单调性确定其值域，进而确定函数y=f(u)的值域，即y=f(ax)的值域. 七、与指数函数有关的函数的单调性1. 形如y=af(x)(a0，a1)的函数的单调性的判断方法(1)当a1时，函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间；(2)当0a0，a1)的函数的单调性的判断方法通过内层函数u=ax的值域确定外层函数y=f(u)的定义域，在此定义域内讨论外层函数的单调区间，再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调性. 6. 3 对数函数一、对数函数的概念一般地，函数y
8、=logax(a0，a1)叫作对数函数，它的定义域是(0，+). 二、对数函数的图象与性质对数函数y=logax(a0，a1)a10a1图象性质定义域：(0，+)值域：R图象过点(1，0)增函数；当0x1时，y1时，y0减函数；当0x0；当x1时，y0，a1)的图象关于x轴对称. 三、对数函数图象的变换1. 平移变换：对数函数图象的平移变换同指数函数图象的平移变换，满足“左加右减，上加下减”的原则. 2. 对称变换(a0，a1)(1)函数y=logax的图象与函数y=-logax(即y=log1ax)的图象关于x轴对称；(2)函数y=logax的图象与函数y=loga(-x)的图象关于y轴对称
9、；(3)函数y=logax的图象与函数y=-loga(-x)的图象关于原点对称. 四、反函数1. 当a0，a1时，y=logax称为y=ax的反函数. 反之，y=ax也称为y=logax的反函数. 一般地，如果函数y=f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y=f -1(x). 2. 知识拓展(1)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同. (2)互为反函数的两个函数的定义域和值域正好互换. (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称. 五、对数函数的图象及其应用1. 对数型函数图象过定点问题求函数y=m+loga f(x)(a0，且a1， f(x)0)的图象所过定点时，只
10、需令f(x)=1，求出x，即得定点为(x，m). 2. 根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y=1，与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小. 3. 函数图象的变换规律(1)一般地，函数y=f(x+a)+b(a，b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的. (2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的. 六、比较对数值的大小1. 比较对数值大小的类型及方法(1)底数相同，真数不同：利用对数函数的单调性进行比较. (2)底
11、数不同，真数相同：利用对数函数的图象或用换底公式转化进行比较. (3)底数不同，真数不同：利用中间量进行比较. (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. 七、解对数不等式1. 简单对数不等式的解法(1)形如loga f(x)logab(a0，且a1)的不等式，借助函数y=logax(a0，且a1)的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a1和0ab(a0，且a1)的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(即b=logaab)，借助函数的单调性求解；(3)形如logf(x)alogg(x)a的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解. 八
12、、与对数函数有关的函数的定义域、值域问题1. 对数型函数的定义域求对数型函数的定义域时，除了要遵循前面所学的求函数定义域的方法外，还要保证对数的真数大于0，底数大于0且不等于1. 2. 求对数型函数的值域的常用方法(1)直接法：根据函数解析式的特征，直接得出函数的值域. (2)配方法：当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=mf(logax)2+nf(logax)+c(m0，a0，a1)时，可以用配方法求函数的值域. (3)单调性法：根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域. (4)换元法：求形如y=loga f(x)(a0且a1， f(x)0)的函数的值域时，先换元，令u=f(x)，利用函数的图象和性质求出u的范围，再利用y=logau(a0，且a1)的单调性、图象求出y的取值范围. 九、与对数函数有关的函数的单调性1. “定义域优先”原则：单调区间是定义域的子集. 2. 与对数函数有关的函数的单调性的判断方法形如y=loga f(x)(a0，a1， f(x)0)的复合函数，当a1时，y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同；当0a0且a1)的复合函数，一般用复合函数的单调性“同增异减”的规律判断，即令t=logax(a0，a1)，只需研究t=logax与y=f(t)的单调性即可.
