1、函数及其表示提优讲义知识讲解一、函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数记作：，其中叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域注意（1）“”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“”；（2）函数符号“”中的表示与对应的函数值，一个数，而不是乘二、函数的三要素1.定义域三种形式自然型：指函数的解析式有意义的自变量的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数等等）；限制型：指命题的条件或人为对自变量的限
2、制，这是函数学习中的重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量的实际意义2.求值域方法配方法（将函数转化为二次函数）；判别式法（将函数转化为二次方程）；不等式法（运用不等式的各种性质）；函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）三、两个函数的相等函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数四、区间1.区间的分类：开
3、区间、闭区间、半开半闭区间；2.无穷区间；3.区间的数轴表示五、映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射记作“”函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就
4、是说有且只有一个的意思六、函数的表示方法解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系七、分段函数定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数1.分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式2.分段函数的图像可以是光滑的曲线段，也可以是一些孤立的点或几段线段3.分段函数的值域，也就是各部分上的函数值集合的并集4.分段函数虽然有几部分组成，但它仍是一个函数八、复合函数若，,，那么称为复合函数，称为中间
5、变量，它的取值范围是的值域九、函数图像的作法1.描点法：列表、描点、用光滑的曲线连线2.变化作图法平移：；对称：；其他： 经典例题一填空题（共11小题）1函数f（x）=x-x2的定义域为0，1【解答】解：要使函数有意义，则xx20，即x2x0，解得0x1，即函数的定义域为0，1故答案：0，12若函数f（x+1）的定义域6，2，则函数f（1x）定义域是2，6【解答】解：函数f（x+1）的定义域为6，2，即6x2，得5x+13，函数f（x）的定义域为5，3由51x3，解得2x6，函数f（1x）的定义域是2，6故答案为：2，63已知f（x2+1）定义域为0，3，则 f（2x1）的定义域为1，112【
6、解答】解：f（x2+1）定义域为0，3，即0x3，1x2+110，即函数f（x）的定义域为1，10，由12x110，得1x112f（2x1）的定义域为1，112故答案为：1，1124已知函数f（2x1）的定义域为（1，2，则f（23x）的定义域为13，53）【解答】解：由函数f（2x1）的定义域为（1，2，即1x2，得32x13，f（x）的定义域为（3，3由323x3，得-13x53f（23x）的定义域为13，53）故答案为：13，53）5设f（x）=3+x3-x，则f（12x-1）+f（2x1）的定义域为1，13（23，2）【解答】解法一：f（x）=3+x3-x，f（12x-1）+f（2x1
7、）=3+12x-13-12x-1+3+2x-13-2x+1=6x-26x-4+2x+24-2x=3x-13x-2+x+12-x，&3x-20&3x-13x-20&2-x0&x+12-x0，解得&x23&x23，或x13&x2&-1x2，f（12x-1）+f（2x1）的定义域为1，13（23，2）解法二：f（x）=3+x3-x的定义域是x|&3+x3-x0&3-x0，解得x|3x3f（12x-1）+f（2x1）的定义域是x|&-312x-13&2x-10&-32x-13，解得1x13，或23x2f（12x-1）+f（2x1）的定义域为1，13（23，2）6若函数f（x）=x-4mx2+4mx+3
8、的定义域为R，则实数m的取值范围是0，34)【解答】解：由题意知mx2+4mx+30对任意xR恒成立，（1）若m=0，则mx2+4mx+3=30，符合题意（2）若m0，则mx2+4mx+30对任意xR恒成立，等价于&m0&=16m2-12m0，解得：0m34，综上所述，实数m的取值范围是 0，34)故答案为0，34)7已知函数f（x）=mx+7mx2+4mx-3的定义域为R，实数m的取值范围是(-34，0【解答】解：函数f（x）=mx+7mx2+4mx-3的定义域为R，mx2+4mx30对任意实数x都成立，当m=0时，符合题意；当m0时，需=16m2+12m0，解得-34m0综上，实数m的取值
9、范围是（34，0故答案为：（34，08函数y=kx2-4kx+k+6的定义域为R，则k的取值范围0，2【解答】解：要使函数y=kx2-4kx+k+6的定义域为R，则kx24kx+60对任意xR恒成立当k=0时，不等式化为60恒成立；当k0时，则&k0&16k2-4k2-24k0，解得0k2综上，k的取值范围是0，2故答案为：0，29函数f(x)=2x+1-x的值域为(-，178【解答】解：令1-x=t（t0），得x=t2+1，原函数化为y=-2t2+t+2=-2(t-14)2+178178数f(x)=2x+1-x的值域为：(-，178故答案为：(-，17810函数y=21-x1+x的值域是(0
10、，12)(12，+)【解答】解：令t=1-x1+x=1+21+x1，y=21-x1+x的值域是(0，12)(12，+)，故答案为(0，12)(12，+)11若函数f（x）=x22x+3c的最小值为2017，则f（x+2017）的最小值是2017【解答】解：函数f（x+2017）的图象由函数f（x）的向左平移2017个单位得到，函数的最值不变，由函数f（x）=x22x+3c的最小值为2017得：函数f（x+2017）的最小值为2017，故答案为：2017二解答题（共8小题）12判断下列各组函数是否为相等函数：（1）f（x）=f（x）=(x+3)(x-5)x+3，g（x）=x5；（2）f（x）=2
11、x+1（xZ），g（x）=2x+1（xR）；（3）f（x）=|x+1|，g（x）=&x+1，x-1&-x-1，x-1【解答】解：（1）（2）不是，（3）是对于（1），f （x）的定义域为x|x3，g（x）的定义域为R；对于（2），f（x）的定义域为Z，g（x）的定义域为R，所以（1）（2）中两组函数均不是相等函数；对于（3），两函数的定义域、对应关系均相同，故为相等函数13求解析式：（1）已知f（2x+1）=4x2+8x+3，求f（x）；（2）已知f（x+1x）=x2+1x23，求f（x）；（3）已知f（x）2f（1x）=3x+2，求f（x）；（4）已知f（x+1）=x+2x，求f（x）【解答
12、】解：（1）f（2x+1）=4x2+8x+3=4x2+4x+1+4x+2=（2x+1）2+2（2x+1）f（x）=x2+2x；（2）f（x+1x）=x2+1x23=（x+1x）25f（x）=x25；（3）f（x）2f（1x）=3x+2，f（1x）2f（x）=3x+2，两式联立消去f（1x）可得f（x）=2xx2；（4）f（x+1）=x+2x=（x+1）21f（x）=x21，x114根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式观察法：（1）f(x+1x)=x2+1x2求f（x）；换元法：（2）f（x2）=x2+3x+1求f（x）；待定系数法：（3）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）2f（x
13、1）=2x+17，求f（x）；复合函数的解析式：（4）已知f（x）=x21，g(x)=x+1，求fg（x）和gf（x）的解析式，交代定义域【解答】解：（1）f(x+1x)=x2+1x2=(x+1x)22，f（x）=x22（x2或x2）；（2）设t=x2，则x=t+2，代入得：f（t）=（t+2）2+3（t+2）+1=t2+7t+11，f（x）=x2+7x+11；（3）由题意设f（x）=ax+b，3f（x+1）2f（x1）=2x+17，3a（x+1）+3b2a（x1）2b=2x+17，即ax+5a+b=2x+17，则a=2且5a+b=17，解得a=2，b=7；f（x）=2x+7（4）f（x）=x
14、21，g(x)=x+1（x1），fg（x）=x+11=x（x1），x211，gf（x）=x2-1+1=|x|，且定义域是1，+）15已知函数y=f（x）的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数f（x）的解析式【解答】解：如图（1）当x1时，设f（x）=k1x+b1，图象过点（0，2），（1，1），&b1=2&k1+b1=1，&k1=-1&b1=2f（x）=x+2；（2）当1x3时，设f（x）=a（x2）2+2，（a0），图象过点（1，1），a=1f（x）=x2+4x2；（3）当x3时，设f（x）=k2x+b2，图象过点（3，1），（4，2），&3k2+b2=1&4k2+b2=2，&k
15、2=1&b2=-2f（x）=x2综上，f(x)=&-x+2，(x1)&-x2+4x-2，(1x3)&x-2，(x3)16根据函数f（x）的图象（如图）写出它的解析式【解答】解：当0x1时，f（x）=2x；当1x2时，f（x）=2；当x2时，f（x）=3所以f（x）=&2x，0x1&2，1x2&3，x217画出下列函数的图象（1）y=2x+1x-1（2）y=x22|x|（3）y=|2x1|【解答】解：（1）y=2x+1x-1=2+3x-1，其图象由y=3x的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位得到，如下图所示：（2）y=x22|x|的图象由y=x22x的图象经过水平对折变换得到，如下图所示：
16、（3）y=|2x1|的图象由y=2x1的图象经过垂直对折变换得到，如下图所示：18作出下列函数图象（1）y=x+1（x0，1）；（2）y=|x|2；（3）f（x）=|x22x|【解答】解：（1）x0，1，x=0或x=1，函数图象只是两个点：f（0）=0+1=1，（0，1）是图象的一部分；f（1）=1+1=2，（1，2）是图象的一部分；函数的图象为：（2）函数为偶函数，只画出x0的图象，再关于y轴对称即可得x0的图象：（3）先画f（x）=x22x的图象，再把x轴一下的部分翻转到x轴的上面：19作出函数y=|2|1x|2|的图【解答】解：y=|2|1x|2|=&21-x-2，x0&-21-x+2，0x1&-2x-1+2，1x2&2x-1-2，x2，图象如图所示
