1、 1 江西省重点中学 2017届高三数学下学期第一次联考试题 文 考试用时： 120分 全卷满分： 150分 一、选择题 (在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内 ,每小题 5分，共 60分） 1.已知集合 ? ?6,4,2,0?P ，集合 3| ? xNxQ ，则 ?QP （ ） A ?2 B ?2,0 C ? ?6,4,3,2,1,0 D ? ?6,4,3,2,1 2.i 为虚数单位，复数 11?iiz 的虚部为（ ） A 1 B 0 C i D 以上都不对 3 已知平面直角坐标系内的两个向量 )43,( ? mma ， )2,1(?b ，且
2、平面内的任一向量 c 都可以 唯一的表示成 c a b?（ ,?为实数），则 m 的取值范围是（ ） A )4,(? B ),4( ? C )4,(? ),4( ? D ( , )? 4.已知 52?a ， 212?b ， 213log?c ，则（ ） A b c a? B c b a? C bac? D abc? 5.已知? ? 2,2 2),1()( xxxfxf x，则 ? ?2log 3f ? （ ） A 12 B 6 C 4 D 2 6.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数 ? ?2NN? 和实数 1a ， 2a ，?， Na ，输出 A ， B ，则（ ） A A +B 为 1a
3、 ， 2a ，?， Na 的和 ； B A 和 B 分别是 1a ， 2a ，?， Na 中最小的数和最大的数 ； C 2AB? 为 1a ， 2a ，?， Na 的算术平均数； D A 和 B 分别是 1a ， 2a ，?， Na 中最大的数和最小的数 . 7.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量 x （吨）与相应的生产能耗 y （吨） 2 C1 的几组对应数据如表所示： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 5.4 若根据表中数据得出 y 关于 x 的线性回归方程为 axy ? 7.0 ，若生产 7吨产品，预计 相应的生产能耗为（ ）吨 . A 5.25 B 5.15 C
4、5.5 D 9.5 8.设当 ?x 时， 函数 xxy cossin3 ? 取得最大值，则 ?sin = ( ) A 1010?B 1010C 10103?D 10103 9.设 ,lm表示不同直线， ,?表示不同 平面，则下列结论中正确的是 ( ) A若 / , ,l l m? ? 则 m? B若 / / , ,l l m m?，则 ? C若 / , / ,l l m? 则 /m? D若 / / , / / , / / , ,l l m m? ? ? ?则 /? 10.过函数 2331)( xxxf ? 图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为 ( ) A 43,0 ? B ),43
5、)2,0 ? ? C ),43 ? D 43,2( ? 11.等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若公差 ,0?d 0)( 5958 ? SSSS ，则（ ） A 78| | | |aa? B 78| | | |aa? C 78| | | |aa? D 7 0a? 12.我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道 :“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。”意思是 ：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得 的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。其最著名之处是解决了“牟合方盖”中的体积问题，其核心过程为：如下图正方体1111
6、 DCBAABCD ?，求图中四分之一圆柱体1111 DAACBB ?和四分之一圆柱体11BAA 11CDD?公共部分的体积 V ，若图中正方体的棱长为 2，则 ?V （ ） （在高度 h 处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为1S，截得正方体所得面积为2S，截得锥体所得面积为3S，221 hRS ?22 RS? 312 SSS ?） A 163 B 83 3 ABDCC 8 D 83? 二、填空题 (每小题 5分，共 20 分，请把正确答案填在题中横线上 ) 13. Rx? ,使得 012 ?mxx 成立，则实数 m 的取值范围为 _ . 14.已知等比
7、数列 ?na 满足： 1611?a， 12 573 ? aaa ，则 _3 ?a . 15.已知实数 yx, 满足?308201xyxyx ，若使得yax? 取得最小值的可行解有无数个，则实数 a 的值为 _ 16.已知双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的右焦点为 (2,0),F 设 ,AB为双曲线上关于原点对称的 两点，且满足 0?BFAF ，若直线 AB 的斜率为 3 ,则双曲线的离心率为 . 三、解答题 (本大题共 6小题，共 70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤 ) 17.（本小题满分 12分） 如图， ABC? 是等腰直角三角形， ?90?BAC
8、 ,点 D 在边 BC 的延长线上，且 2BC CD? ， 5?AD . （ 1）求 DCAD?sinsin 的值； （ 2）求 CD 的长 . 18.（本小题满分 12分） 如图一，在边长为 2的等边三角形 ABC 中， D 、 E 、 F 分别是 BC 、 AB 、 AC 的 中点，将 ? ABD 沿 AD 折起，得到如图二所示的三棱锥 BCDA? ，其中 2?BC . （ 1）证明： BCAD? ； （ 2）求四棱锥 EFCBD? 的体积 . 4 19.（本小题满分 12分） 某高校要了解在校学生的身体健康状况，随机抽取了 50 名学生进行心率测试，心率全部介于 50次 /分到 75 次
9、 /分之间，现将数据分成五组，第一组 50,55)，第二组 55,60)?第五组 70,75，按上述分组 方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为a :4:10. （ 1）求 a 的值 . （ 2）若从第一、第五组两组数据中随机 抽取两名学生的心率，求这两个心率之差的绝对值大于 5的概率 . 20.（本小题满分 12分） 已知椭圆 2222: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的离心率为 22 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 20xy? ? ? 相切 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2） ,AB分别为 椭圆 C 的 左、右顶点，动点 M
10、 满足 MB AB? ，直线 AM 与椭圆交于点 P（与 5 A 点不重合），以 MP 为直径的圆交线段 BP 于点 N ，求证：直线 MN 过定点 21.（本小题满分 12分） 设 )(x? 是定义在 , nm 上的函数，若存在 ),( nmr? ，使得 )(x? 在 , rm 上单调递增，在 , nr上单调递减，则称 )(x? 为 , nm 上的 F 函数 . (1)已知xe axx ?)(?为 2,1 上的 F 函数，求 a 的取值范围； （ 2）设 )5432()( 5432 pxxxxpxx ? ，其中 0?p ，判断 )(x? 是否为 ,0 p 上的 F 函数？ （ 3）已知 )(
11、)( 22 txxxxx ? 为 , nm 上的 F 函数，求 t 的取值范围 . 四、请考生在第 22、 23题中任选一题作答，如果多做 ，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 . 22（本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 .已知曲线 6 ? sincos:1 ?C ，曲线?tytxC222221:2 （ t 为参数） . (1)求曲线 1C 的直角坐标方程； （ 2）若曲线 1C 与曲线 2C 相交于 P 、 Q 两点，求 |PQ 的值 . 23.（本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 已
12、知函数 ( ) | 2 1|f x x? （ 1）求不等式 4)( ?xf 的解集； （ 2）若函数 ( ) ( ) ( 1)g x f x f x? ? ?的最小值为 a ，且 ( 0, 0)m n a m n? ? ? ?，求 nm 12? 的 取值范围 . 7 江西省重点中学协作体 2017 届高三第一次联考 数学（文科）答案 BACC BDAD DBBA 13. 2?m 或 2?m 14.41 15. 1或 21? 16. 13? 17.解：（ 1）因为 ABC? 为等腰直角三角形，所以 BCAC 22? ， 又 2BC CD? ，所以 CDAC 2? ， ? 3分 在 ADC? 中，
13、由正弦定理得 DACCADCD ? sinsin ，即 22sinsin ? ACCDDC AD ? 6分 （ 2） 设 xCD? ，则 xAC 2? ，在 ADC? 中： A C DCDACACCDAD ? c o s2222 ，即 222225 222 ? xxx ， 1?x ，即 1?CD ? ? 12分 18.解：（ 1） ? ADDBAD DCAD平面 BDC 且 BC? 平面 BDC? BCAD? ? 6分 （ 2）在 BCD? 中， 2?BC ， CDBDCDBD ? 1 6332131 ? BD CAV， 243312143 ? AFDEV 8324 363 ? AFDEB D
14、 CAEFBCD VVV ? 12分19.解：（ 1）因为第二组数据的频率为 0.032 5=0.16，故第二组的频数为 0.16 50=8， 第一组的频数为 2a ，第三组的频数为 20，第四组的频数为 16， 第五组的频数为 4 所以 2a =50-20-16-8-4=2 1?a . ? 6分 (2) 第一组的数据有 2个，第五组的数据有 4个，故总的基本事件有 15个， 符合题意的基本事件有 8个， 所以这两个心率之差的绝对值大于 5的概率 158?P . ? 12 分 8 20.解：（ 1）由题知，原点到直线 20xy? ? ? 的距离222 211d ?2b? 又 22e? ，则 2
15、2 21 2ba?2a? 椭圆 C 方程为 22142xy? ? 5分 （ 2）设 (2, )Mt， 则直线 AM 的方程为： ( 2)4tyx? 联立22( 2)424tyxxy? ? ?消去 y 得， 2 2 22(1 ) 4 08 2 2t t txx? ? ? ? ? ? 7分 224 328AP txx t ? ? ，则 2221 6 2 8, ( 2 )8 4 8P P Pt t tx y xtt? ? ? ? 故 2228281 6 22 28PPBPty tktxtt? ? ? ? ? ? ? 9分 又 以 MP 为直径的圆上与线段 BP 交于点 N ，则 MN BP? 故直线
16、 MN 方程为 ( 2)2ty t x? ? ? ，即 2tyx? 直线 MN 过定点 (0,0)O ? 12分 21.解：（ 1）xe xax ? 1)(?，令 0)( ?x? )2,1(1 ? ax )0,1(?a ? 3分 又 )(x? 在 1,1 a? 上为单调递增，在 2,1 a? 上单调递减， ? )(x? 为 F 函数 )0,1(?a ? 4分 （ 2） )()( 432 pxxxxpx ? ， ,0 p? )(x? 在 ,0 p 上为单调递减， ? 6分 又 0)0( ? p? ， 0)( 532 ? pppp? ),0(0 px ? ，使得 0)( 0 ? x? ， )(x? 在 ,0 0x 上为单调递增，在 ,0 px 上单调递减， )(x? 是 ,0 p 上的 F 函数 ? 8分 （ 3） )22)(12()( 2 txxxx ? 方程 022 2 ?txx 的判别式为 t84? 9 当 D0 即 21?t 时， 022 2 ? txx 恒成立， 此时 21?x 时， 0)( ?x? ， )(x? 单调递减； 21?x 时， 0)( ?x? ， )(x? 单调递增； 故 )(
