1、人教版九年级数学上册第二十四章人教版九年级数学上册第二十四章 圆综合压轴题练习圆综合压轴题练习 1如图，ABC 内接于O，B60，CD 是O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点且 AP AC （1）求证：PA 是O 的切线； （2）若 AB2+，BC4，求O 的半径 2如图，ABC 是O 的内接三角形，BC 是O 的直径，过点 O 作 OFBC，交 AC 于点 E，连 接 AF，且 AF 是O 的切线 （1）求证：AFEF （2）若O 的半径为 5，AB，求 AF 的长 3如图，AB 为O 的直径，C，D 为O 上的两点，BACDAC，过点 C 做直线 EFAD， 交 AD 的延长线于点
2、 E，连接 BC （1）求证：EF 是O 的切线； （2）若BACDAC30，BC2，求劣弧的长 l 4如图所示，AB 是O 的直径，AD 和 BC 分别切O 于 A，B 两点，CD 与O 有公共点 E，且 ADDE （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 AB12，BC4，求 AD 的长 5如图，直线 l 与O 相离，OAl 于点 A，与O 相交于点 P，OA10C 是直线 l 上一点，连 结 CP 并延长交O 于另一点 B，且 ABAC （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若O 的半径为 6，求线段 BP 的长 6如图，点 E 是ABC 的内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆相交
3、于点 D，交 BC 于 F （1）若ABC40，C80，求CBD 的度数； （2）求证：DBDE； （3）若 AB6，AC4，BC5，求 DE 的长 7如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，AD 平分CAB，AD 与 BC 交于点 F，过点 D 作 DEAB 于点 E （1）求证：BC2DE； （2）如图，连接 OF，若AFO45，半径为 2 时，求 AC 的长 8如图，在ABC 中，C90，BAC 的平分线交 BC 于点 D，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆 心，OA 为半径的圆恰好经过点 D，分别交 AC、AB 于点 EF （1）试判断直线 BC 与O 的位置关系，并说明理由；
4、（2）若 BD2，BF2，求O 的半径 9如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ADCD，ACAB，O 为ABC 的外接圆 （1）如图 1，求证：AD 是O 的切线； （2）如图 2，CD 交O 于点 E，过点 A 作 AGBE，垂足为 F，交 BC 于点 G若 AD2，CD 3，求 GF 的长 10如图，已知点 A、C、D 在O 上，O 的半径为 2，CD 为O 的直径，直线 ABCD 且ADC 60，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转得到线段 AF，点 D 的对应点为点 F，且点 F 在射线 AB 上，连接 FC； （1）求线段 AF 的长； （2）若点 E 是上的一点，连接 EF，DE
5、，过点 F 作 FHDE 于 H，延长 FH 交O 于 G， 若 EF2，求 FG 的长 11如图，D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，CDACBD （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若CBD30，BC3，求O 半径 12如图，在ABC 中，ABCB，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，且弧 AD弧 BD，直线 l 经过点 C、D，连接 AD，交 BC 于点 E，若CADCBA （1）求证：直线 l 是O 的切线； （2）求的值 13如图，AB 为O 的直径，C、D 为圆上的两点，OCBD，弦 AD 与 BC，OC 分别交于 E、F （1）求证：； （2）若 CE1，E
6、B3，求O 的半径 14如图，已知O 是等边三角形 ABC 的外接圆，点 D 在圆上，在 CD 的延长线上有一点 F，使 DFDA，AEBC 交 CF 于 E （1）求证：EA 是O 的切线； （2）判断 BD 与 CF 的数量关系？说明理由 15如图，CD 为O 的直径，弦 ABCD，垂足为 H，P 是 CD 延长线上一点，DEAP，垂足为 E，EADHAD （1）求证：AE 为O 的切线； （2）已知 PA2，PD1，求O 的半径和 DE 的长 16如图，在ABC 中，ABAC，AE 是 BC 边上的高，BM 平分ABC 交 AE 于点 M，经过 B，M 两点的O 交 BC 于点 G，交
7、AB 于点 F，FB 为O 的直径 （1）求证：AM 是O 的切线； （2）当 BC10，AE12 时，求 AM 的长度 17如图，在ABC 中，ACBC，以 BC 为直径作O，交 AC 于点 M，作 CDAC 交 AB 延长线 于点 D，E 为 CD 上一点，且 BEDE （1）证明：BE 为O 的切线； （2）若 AM8，AB8，求 BE 的长 参考答案 1如图，ABC 内接于O，B60，CD 是O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点且 AP AC （1）求证：PA 是O 的切线； （2）若 AB2+，BC4，求O 的半径 【解答】 （1）证明：连接 OA， B60， AOC2B12
8、0， 又OAOC， OACOCA30， 又APAC， PACP30， OAPAOCP90， OAPA， PA 是O 的切线； （2）解：过点 C 作 CEAB 于点 E 在 RtBCE 中，B60，BC4， BEBC2，CE2， AB2+， AEABBE， 在 RtACE 中，AC3， APAC3 在 RtPAO 中，OAAP， O 的半径为 2如图，ABC 是O 的内接三角形，BC 是O 的直径，过点 O 作 OFBC，交 AC 于点 E，连 接 AF，且 AF 是O 的切线 （1）求证：AFEF （2）若O 的半径为 5，AB，求 AF 的长 【解答】解： （1）如图，连接 OA， AF
9、为O 的切线， OAF90， OAC+FAC90， FEAOEC，OFBC， OEC+OCE90， OCEOAC， FACFEA， AFEF； （2）O 的半径为 5， BC10， 在 RtABC 中，AB，根据勾股定理，得 AC3， ECOBCA，EOCCAB90， EOCBAC， ，即， 解得 OE， 由（1）可知：AFEF，设 AFEFx， OFEF+OEx+， 在 RtAOF 中，根据勾股定理，得 AF2+OA2OF2， 即 x2+52（x+）2， 解得 x 答：AF 的长为 3如图，AB 为O 的直径，C，D 为O 上的两点，BACDAC，过点 C 做直线 EFAD， 交 AD 的延
10、长线于点 E，连接 BC （1）求证：EF 是O 的切线； （2）若BACDAC30，BC2，求劣弧的长 l 【解答】 （1）证明：连接 OC， OAOC， OACDAC， DACOCA， ADOC， AEC90， OCFAEC90， EF 是O 的切线； （2）解：AB 为O 的直径， ACB90， BACDAC30，BC2， BOC60，AB2BC4， OBAB2， 的长 4如图所示，AB 是O 的直径，AD 和 BC 分别切O 于 A，B 两点，CD 与O 有公共点 E，且 ADDE （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 AB12，BC4，求 AD 的长 【解答】 （1）证明：连接
11、 OD，OE， AD 切O 于 A 点，AB 是O 的直径， DAB90， ADDE，OAOE，ODOD， ADOEDO（SSS）， OEDOAD90， CD 是O 的切线； （2）解：过 C 作 CHAD 于 H， AB 是O 的直径，AD 和 BC 分别切O 于 A，B 两点， DABABCCHA90， 四边形 ABCH 是矩形， CHAB12，AHBC4， CD 是O 的切线， ADDE，CEBC， DHADBCAD4，CDAD+4， CH2+DH2CD2， 122+（AD4）2（AD+4）2， AD9 5如图，直线 l 与O 相离，OAl 于点 A，与O 相交于点 P，OA10C 是直
12、线 l 上一点，连 结 CP 并延长交O 于另一点 B，且 ABAC （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若O 的半径为 6，求线段 BP 的长 【解答】 （1）证明：如图，连结 OB，则 OPOB， OBPOPBCPA， ABAC， ACBABC， 而 OAl，即OAC90， ACB+CPA90， 即ABP+OBP90， ABO90， OBAB， 故 AB 是O 的切线； （2）解：由（1）知：ABO90， 而 OA10，OBOP6， 由勾股定理，得：AB8， 过 O 作 ODPB 于 D，则 PDDB， OPDCPA，ODPCAP90， ODPCAP， ， 又ACAB8，APOAOP4
13、， PC4， PD， BP2PD 6如图，点 E 是ABC 的内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆相交于点 D，交 BC 于 F （1）若ABC40，C80，求CBD 的度数； （2）求证：DBDE； （3）若 AB6，AC4，BC5，求 DE 的长 【解答】解：（1）ABC40，C80， BAC180408060， 点 E 是ABC 的内心， CADBADBAC30， CBDCAD30 答：CBD 的度数为 30； （2）证明：如图，连接 BE， 12，34， 26， 16， 51+3， DBE6+41+3， 5DBE， DBDE； （3）12，AB6，AC4，BC5， ， BF3，CF2
14、， 62，DC， BDFACF， 2， DFBD， DFAFBFCF6， 126，BDFADB， DBFDAB， ， BD2DFDADF（AF+DF）DFAF+DF26+（BD）2， 解得 BD2， DEBD2 答：DE 的长为 2 7如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，AD 平分CAB，AD 与 BC 交于点 F，过点 D 作 DEAB 于点 E （1）求证：BC2DE； （2）如图，连接 OF，若AFO45，半径为 2 时，求 AC 的长 【解答】 （1）证明：如图中，延长 DE 交O 于 G，连接 AG ABDG，AB 是直径， ，DEEG， AD 平分CAB， CADDAB，
15、， ， BCDG2DE （2）解：如图中，作 FRAB 于 R，OSAD 于 S AD 平分CAB，FCAC，FRAB， CADBADx，FCFR， FBO902x， AFO45， FOB45+x， OFB180（902x）（45+x）45+x， FOBOFB BFBOOA， FRBACB90，FBRABC， BFRBAC， ， AC2FR2FC， tanFARtanFAC， 设 SOt，AS2t，SFSOt， 则 t2+4t24， t0， t， AF3t，设 CFm，则 AC2m， 则有 5m2， m0， m， AC2m 8如图，在ABC 中，C90，BAC 的平分线交 BC 于点 D，点
16、O 在 AB 上，以点 O 为圆 心，OA 为半径的圆恰好经过点 D，分别交 AC、AB 于点 EF （1）试判断直线 BC 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 BD2，BF2，求O 的半径 【解答】解： （1）线 BC 与O 的位置关系是相切， 理由是：连接 OD， OAOD， OADODA， AD 平分CAB， OADCAD， ODACAD， ODAC， C90， ODB90，即 ODBC， OD 为半径， 线 BC 与O 的位置关系是相切； （2）设O 的半径为 R， 则 ODOFR， 在 RtBDO 中，由勾股定理得：OB2BD2+OD2， 即（R+2）2（2）2+R2， 解得：
17、R4， 即O 的半径是 4 9如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ADCD，ACAB，O 为ABC 的外接圆 （1）如图 1，求证：AD 是O 的切线； （2）如图 2，CD 交O 于点 E，过点 A 作 AGBE，垂足为 F，交 BC 于点 G若 AD2，CD 3，求 GF 的长 【解答】 （1）证明：如图 1，连接 OA，OB，OC 在OAC 和OAB 中， ， OACOAB（SSS）， OACOAB， AO 平分BAC， AOBC 又ADBC， ADAO， AD 是O 的切线 （2）如图 2，连接 AE BCE90， BAE90 又AFBE， AFB90 BAG+EAFAEB+EAF
18、90， BAGAEB ABCACBAEB， BAGABC， AGBG 在ADC 和AFB 中， ， ADCAFB（AAS）， AFAD2，BFCD3 设 FGx，在 RtBFG 中，FGx，BF3，BGAGx+2， FG2+BF2BG2，即 x2+32（x+2）2， x， FG 10如图，已知点 A、C、D 在O 上，O 的半径为 2，CD 为O 的直径，直线 ABCD 且ADC 60，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转得到线段 AF，点 D 的对应点为点 F，且点 F 在射线 AB 上，连接 FC； （1）求线段 AF 的长； （2）若点 E 是上的一点，连接 EF，DE，过点 F 作 FH
19、DE 于 H，延长 FH 交O 于 G， 若 EF2，求 FG 的长 【解答】解： （1）设O 交 AB 于 T，连接 OT，OA OAOD，ADO60， AOD 是等边三角形， AOD60，ADOA， ABCD， OATAOD60， OAOT， AOT 是等边三角形， ATOAAD， ADAF， 点 F 与 T 重合， ATADOA2 （2）连接 OE，EG，过点 O 作 OKEF 于 K OKEF， EKKF， OK， KOKEKF， EOF90， EGFEOF45， DEFG， EGH90， HEHG， DOFAOD+AOF60+60120， DEFDOF60， 在 RtEFH 中，EH
20、EFcos60，FHEFsin60， HGHE， FGFH+HG+ 11如图，D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，CDACBD （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若CBD30，BC3，求O 半径 【解答】解： （1）证明：如图，连接 OD， ODOBOA， OBDODB，ODAOAD， CDACBD， CDAODB AB 为O 的直径， ADBODB+ODA90， CDA+ODAODC90 ODCD， CD 是O 的切线； （2）CBD30，OBDODB， AODOBD+ODB60， C30 ODC90 ODOBOC， OBBC， BC3， OB1， O 半径为 1 12
21、如图，在ABC 中，ABCB，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，且弧 AD弧 BD，直线 l 经过点 C、D，连接 AD，交 BC 于点 E，若CADCBA （1）求证：直线 l 是O 的切线； （2）求的值 【解答】解： （1）如图 1，连接 BD，连接 OD，过点 C 作 CFAB 于点 F， ， DABABD， AB 为O 的直径， ADB90， DABDBA45， 设ABC， BABC， BACBCA， CADCBA， BACBAD+CAD45+， ， 30， CF， ， ODCF， ， ADBD， OAOB， ODAB， DPAB， CFOD 四边形 ODCF 是矩形， ODC9
22、0， 直线 l 是O 的切线； （2）如图 2，过点 E 作 EGAB 于点 G， 由（1）知，CADABE30，CDAB， ADCEAB45， 则ACDBEA， ， AECD， DAB45、ABC30， BE2EG2AEAECD2CD， 13如图，AB 为O 的直径，C、D 为圆上的两点，OCBD，弦 AD 与 BC，OC 分别交于 E、F （1）求证：； （2）若 CE1，EB3，求O 的半径 【解答】 （1）证明：AB 是圆的直径， ADB90， OCBD， AFOADB90， OCAD （2）解：连接 AC，如图， ， CADABC， ECAACB， ACEBCA， ， AC2CECB
23、，即 AC21（1+3）， AC2， AB 是圆的直径， ACB90， AB2， O 的半径为 14如图，已知O 是等边三角形 ABC 的外接圆，点 D 在圆上，在 CD 的延长线上有一点 F，使 DFDA，AEBC 交 CF 于 E （1）求证：EA 是O 的切线； （2）判断 BD 与 CF 的数量关系？说明理由 【解答】解： （1）证明：如图，连接 AO， O 是等边三角形 ABC 的外接圆， AO 平分BAC， ， AEBC， CAEBCA60， OAEOAC+CAE90， OAAE， EA 为O 的切线； （2）BDCF，理由如下： ABC 为正三角形， ABAC，BACABC60；
24、 A、B、C、D 四边共圆， ADFABC60， DFDA， ADF 为正三角形， DAF60BAC， BAC+CADDAF+CAD， 即BADCAF， 在BAD 与CAF 中， ， BADCAF（SAS）， BDCF 所以 BD 与 CF 的数量关系为相等 15如图，CD 为O 的直径，弦 ABCD，垂足为 H，P 是 CD 延长线上一点，DEAP，垂足为 E，EADHAD （1）求证：AE 为O 的切线； （2）已知 PA2，PD1，求O 的半径和 DE 的长 【解答】解： （1）证明：连接 AO 并延长交O 于点 M，连接 MD，如图， ABCD， ， MBAD， EADHAD MEAD
25、， AM 为直径， ADM90， M+MAD90， EAD+MAD90，即MAE90， AMAE， AE 为O 的切线； （2） EADHAD，DHAH，DEAE，ADAD， AHDAED（AAS） DEDH，AHAE， 设 DEx，AHy，则 DHx，AEy， EPDHPA，PEDPHA90， RtPEDRtPHA， ， 即， 解得 x，y， 即 DE 的长为，AH， 设圆的半径为 r，则 OHr， 在 RtOAH 中，（r）2+（）2r2，解得 r， 即O 的半径为 答：O 的半轻和 DE 的长分别为：， 16如图，在ABC 中，ABAC，AE 是 BC 边上的高，BM 平分ABC 交 A
26、E 于点 M，经过 B，M 两点的O 交 BC 于点 G，交 AB 于点 F，FB 为O 的直径 （1）求证：AM 是O 的切线； （2）当 BC10，AE12 时，求 AM 的长度 【解答】 （1）证明：连接 OM OBOM， 13， 又 BM 平分ABC 交 AE 于点 M， 12， 23， OMBE ABAC，AE 是角平分线， AEBC， OMAE， AE 与O 相切； （2）ABAC，AE 是 BC 边上的高， BEBC5， 当 BC10，AE12， AB13， OMBE， AOMABE， ， ， 解得：AM 17如图，在ABC 中，ACBC，以 BC 为直径作O，交 AC 于点 M
27、，作 CDAC 交 AB 延长线 于点 D，E 为 CD 上一点，且 BEDE （1）证明：BE 为O 的切线； （2）若 AM8，AB8，求 BE 的长 【解答】 （1）证明：CDAC， ACD90， A+D90， ACBC，BEDE， AABC，DDBE， ABC+DBE90， CBE1809090， CBBE， BE 为O 的切线； （2）解：连接 BM， BC 为O 的直径， BMAC， AM8，AB8， BM16， ACBC， CMBCAMBC8， BC2BM2+CM2， BC2162+（BC8）2， BC20， ACBC20， BMAC，ACCD， BMCD， MBCBCE， BMCCBM90， BMCCBE， ， ， BE15
