1、 1 高三寒假开学考试试题 理 科 数 学 本试卷，分第 卷和第 卷两部分共 4 页，满分 150 分考试用时 120 分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 注意事项： 1答题前 ，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上 2第 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号 3第 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答 案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答
2、案无效 4填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第卷 （共 50 分） 一、 选择题：本大题共 10 小题， 每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知不等式 23x?的解集为 A ，函数 ? ?ln 1yx?的定义域为 B ， 则图中阴影部分表示的集合为 A ? ?| 1 1x R x? ? ? ? B ? ?|1 5x R x? ? ? C ? ?|1 5x R x? ? ? D ? ?|1x R x? 2 已知 aR? ， i 是虚数单位，命题 p ：在复平面内， 复数1 21zai?对应的点位 于第二象限；命题 q
3、：复数 2z a i?的模等于 2 .若 pq? 是真命题，则实数 a 等于 A 3? B 5? C 3? 或 3 D 1? 或 1 3 已知函数? ? 2xfx?，记? ? ? ?0. 5 2( l og 3 ) , l og 5 , 0f b f c f? ? ?， 则,abc的大小关系为 A?Ba c bCc a bDc b a?2 4 已知 ? 为锐角，且 3cos12 3?，则 5cos12? ?A 624? B 12 C 63 D 63? 5 如图，已知三棱锥 P ABC? 的底面是等腰直 角三角形，且 2ACB ?，侧面 PAB? 底面 ABC ， 2AB PA PB? ? ?.
4、则这个三棱锥的三视 图中标注的尺寸 ,xyz 分别 是 A 3,1, 2 B 3,1,1 C 2,1, 2 D 2,1,1 6 已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量 X （单位： mm）对工期延误天数 Y 的影响及相应的概率 P 如下 表所示： 降水量 X 100X? 100 200X? 200 300X? 300X? 工期延误天数 Y 0 5 15 30 概率 P 0.4 0.2 0.1 0.3 在降水量 X 至少是 100 的条件下，工期延误不超过 15 天的概率为 A 0.1 B 0.3 C 0.42 D 0.5 7 设 实数 ,xy满足约束条件 1140xyx
5、y? ? ?， 若对于 任意 ? ?0,1b? ，不等式 ax by b? 恒成立，则实数 a 的取值范围是 A 2( ,4)3 B 2( , )3 ? C (2, )? D (4, )? 8 如图，正方形 ABCD 中， M 是 BC 的中点，若 AC AM BD?，则 ? A 43 B 53 C 158 D 2 9 已知点 1F 是抛物线 2:4C x y? 的焦点，点 2F 为抛物线 C 的对称轴与其准线的交点，过 2F 作抛物线 C 的切线，切点为 A ，若点 A 恰好在以 12FF, 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 A 622?B 21? C 21? D 622?BMCDA3
6、10 函数 ()fx的定义域为 R ，其导 函数为 ()fx? 对任意的 xR? ，总有 2( ) ( ) 2xf x f x? ? ?； 当? ?0,x? ? 时， ()2xfx? ? 若 ( 4 ) ( ) 4 2f m f m m? ? ? ?， 则实数 m 的取值范围是 A 1, )? B ( ,1? C ( ,2? D 2, )? 第卷 (共 100 分 ) 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11 右图是一个算法流程图，则输出的 k 的值 12 将函数( ) si n ( 0)f x x?的图象向右平移4?个单位长度，所得图象关于点3 ,04?对称，则?的
7、最小值是 13 二项式 6 1()2 nx x?展开式中，前三项 系数依 次组成等差数列，则展开式 中的常数项等于 _ 14 已知球的直径 4PC? ， ,AB在球面上， 2AB? ， 45CPA CPB? ? ? ? ?，则棱锥 P ABC?的体积为 15已知圆 C 的 方程 ? ?2 211xy? ? ? ， P 是椭圆 22143xy?上一点，过 P 作圆的 两条切线，切点为 ,AB，则 PAPB? 的取值范围为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 16 （本题满分 12 分） 已知 ( 2 s i n s i n c o s ) ( 3 c o s ( s i n c o s
8、 ) ) ( 0 )a x x x b x x x? ? ? ? ? ? ?， ， ，, 函数 baxf ?)( 的最大值为 2 （） 求函数 )(xf 的单调递减区间； （） 在 ABC? 中，内角 CBA , 的对边分别为 cba, ， cabA 22cos ? ， 若 0)( ?mAf 恒成立，求实数 m 的取值范围 4 17 （本题满分 12 分） 如图，四边形 PCBM 是直角梯形， 90PCB? ? ? ， PM /BC ， 1PM AC?， 2BC? ， 120ACB? ? ?,AB PC? ，直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60? . （）求证：平面 PAC? 平面 AB
9、C ； （）求锐二面角 M AC B?的余弦值 18 （本题满分 12 分） 某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从 1T 、 2T 两组试题中选择一组参加测试 ，成绩合格者可签约 甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题 1T ，且 表示只要成绩合格就签约； 丙、丁两人选择使用试题 2T ，并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约已知甲、乙考试合格的概率都是 12 ，丙、丁考试合格的概率都是 23 ， 且考试是否合格互不影响 （）求 丙、丁 未签约的概率 ； （）记签约人数为 X ，求 X 的 分布列和 数学期望 EX 19（ 本题满分 12 分 ） 已知椭圆 C
10、 : 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的长轴长为 22,离心率为 22 . （）求椭圆 C 的标准方程； （） 已知 A,B 为椭圆的左右两个顶点， T 为椭圆上在第一象限内的一点，l为过点 B 且垂直x轴的直线，点 S 为直线 AT 与直线l的交点，点 M 为以 SB 为直径的圆与直线TB 的另一个交点，求证： O ， M ， S 三点共线 . 5 20 （本题满分 13 分） 已知二次函数 212() 33f x x x?数列 na 的前 n 项和为 nS ，点(, )nnS *()nN? 在二次函数 ()y f x? 的图象上 （）求数列 na 的通项公式； （）设 1 c
11、 o s ( 1) n n nb a a n ?*()nN? ，数列 nb 的前 n 项和为 nT ， 若 2nT tn? 对 *nN? 恒成立，求实数 t 的取值范围； （）在数列 na 中是否存在这样一些项：231 , , , , ,kn n nna a a a， 这些项都能够构成以 1a 为首项， q *()qN? 为公比的等比数列 kna *( )kN?？若存在，求出 q 值并写出 kn 关于 k 的表达式；若不存在，说明理由 21（ 本题满分 14 分 ） 已知函数 ()xexfxe? （ ）求函数 ()fx的极值； （ ）若直线 y ax b?是函数 ()fx的切线，求 ab? 的
12、最大值； （ ）若方程 ()f x m? 存在两个实数根 12,xx，且 1 2 02x x x? 求证： 01m?； 问：函数 ()fx图象上在点 00( , ( )x f x 处的切线是否能平行 x 轴？若存在，求出该切线；若不存在说明理由 6 高三 寒假开学 考试（理科） 数学试题参考答案及评分说明 一、 选择题： BACCB DDBCD 二、填空题： 11 17 ； 12 2 ； 13 7； 14 433； 15 562 2 3, 9? 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 16 解： （）函数 )c o s) ( s i nc o s( s i nc o ss i n32)(
13、 xxxxxxbaxf ? ? 222 3 s i n c o s ( s i n c o s ) ( 3 s i n 2 c o s 2 )x x x x x x? ? ? ? ? ? ? 312 ( s i n 2 c o s 2 ) 2 s i n ( 2 )2 2 6x x x ? ? ? ? ? 2 分 因为 )(xf 的最大值为 2 ，所以解得 1? ? 3 分 则 )62s in (2)( ? xxf ? 4 分 由 23k2622k2 ? ? x ， 可得： 35k2232k2 ? ? x， 65k3k ? ? x ， 所以函数 )(xf 的单调减区间为 ? ? 65,3 ?
14、kk? 6 分 （） （法一）由 bc acbc abA 222co s 222 ? 可得 ，22222 acbabb ? 即 abcab ? 222 解得 ,21cos ?C 即 3?C ? 9 分 因为 ,320 ?A 所以 67626 ? ? A ， 1)62(s in21 ? ?A ? 10 分 因为 0)62(s in2)( ? mAmAf ?恒成立，则 mA ? )62(sin2 ? 恒成立 即 1?m ? 12 分 （法二）由 cabA 22cos ? ，可得 ACAABcA s i n)s i n (2s i ns i n2s i nc o s2 ? 7 即 0si nco s
15、si n2 ? ACA ，解得 ,21cos ?C 即 3?C ? 9 分 因为 ,320 ?A 所以 67626 ? ? A ， 1)62(s in21 ? ?A ? 10 分 因为 0)62(s in2)( ? mAmAf ?恒成立，则 mA ? )62(sin2 ? 恒成立 即 1?m ? 12 分 17 解：（）因为 ,P C A B P C B C A B B C B? ? ?I； 所以 PC ABC?平 面 ? 2 分 又因为 PC? 平面 PAC ,所以 PAC ABC?平 面 平 面? 4 分 （）在平面 ABC 内，过 C 作 Cx CB? ， 建立空间直角坐标系 C xyz
16、? （如图） ? 5 分 由题意有 (0,0,0)C , 31( , ,0)22A ? ， 设 0(0,0, )Pz0( 0)z ? ，则 0(0,1, )Mz， 033( , , )22AM z?uuur ， 0(0,0, )CP z?uur ? ? 7 分 由直线 AM 与直线 PC 所成的解为 60? 得 c o s 6 0 ,A M C P A M C P? ? ? ? ?u u ur u ur u u ur u ur220 0 0 13 2z z z? ? ? ? 解得 0 1z? ? 9 分 所以 (0,1,1)CM?uuur , 31( , , 0)22CA ?uur 设平面 MAC 的一个法向量为 1 1 1( , , )n x y z?r ， 则 00n CMn CA? ?r uuurr uur ，即 1111031 022yzxy? ? 取 1 1x? ，得 (1, 3, 3)n ?r ? 10 分 8 平面 ABC 的法向量取为 (0,0,1)m?ur ? 11 分 设 mur
