1、 1 山东省枣庄市高新区 2017届高三数学 4 月阶段性自测试题 理 学校 :_姓名： _班级： _考号： _ 一、选择题 1.已知集合 = ,集合 = = ,则集 为 A. B. C. D. 2. ABC中， “ 角 A， B， C 成等差数列 ” 是 “sinC= （ cosA+sinA） cosB” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3.若复数 z=（ cos ） +（ sin ） i是纯虚数（ i为虚数单位），则 tan（ ）的值为（ ） A 7 B C 7 D 7或 4.如果执行如图的程序框图，若输入 n=6， m=4，那么输出的 p
2、等于（ ） A 720 B 360 C 240 D 120 5.等差数列 an的前 n项和为 Sn，若公差 d 0，（ S8 S5）（ S9 S5） 0，则（ ） A |a7| |a8| B |a7| |a8| C |a7|=|a8| D |a7|=0 6.若 ， 是第三象限的角，则 =（ ） 2 A B C 2 D 2 7.已知 x， y满足约束条件 ，则 z=2x 3y的最小值为（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 8.如图，在矩形 ABCD中， ，将 ACD沿折起，使 得 D折起的位置为 D1，且 D1在平面 ABC的射影恰好落在 AB 上，则直线 D1C与平面 ABC 所成角的正弦值
3、为（ ） A B C D 9.已知抛物线 C： y2=4x的焦点为 F，过点 F且倾斜角为 的直线与抛物线 C相交于 P， Q两点，则弦 PQ的长为（ ） A 3 B 4 C 5 D 10.定义在区间（ 0， + ）上的函数 f（ x）使不等式 2f（ x） xf （ x） 3f（ x）恒成立，其中f （ x）为 f（ x）的导数，则（ ） A 8 16 B 4 8 C 3 4 D 2 3 3 二、填空题 11.函数 f（ x） =log2x+1（ x 4）的反函数 f 1（ x）的定义域是 12.若 cos（ + ） = ， 2 ，则 sin= 13.向量 ，若 ，则 = 14.已知抛物线
4、C： y2=2px（ p 0）的焦点为 F，过 F的直线交抛物线 C于 A， B两点，以线段 AB为直径的圆 与抛物线 C的准线切于 ，且 AOB 的面积为 ，则抛物线 C的方程为 15.设 221 (3 2 )? ? ?a x x dx,则二项式 261()?axx展开式中的第 4 项为 _. 三、解答题 16.已知函数 f（ x）是（ ， 0） （ 0， + ）上的奇函数，当 x 0时， f（ x） = +1 （ 1）当 x 0时，求函数 f（ x）的解析式； （ 2）证明函数 f（ x）在区间（ ， 0）上是单调增函数 17.已知 a， b， c分别为 ABC三个内角 A， B， C的对
5、边，且 acosC+ asinC b c=0 （ 1）求 A； （ 2）若 AD为 BC 边上的中线， cosB= ， AD= ，求 ABC的面积 18.如图，四棱锥 中，平面 平面 , ， . 4 (1)证明： ； (2)若 ，求二面角 的余弦值 . 19 , 已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左焦点为 F，离心率为 ，直线与椭圆相交于 A， B两点，当 AB x轴时， ABF 的周长最大值为 8 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若直线过点 M（ 4， 0），求当 ABF面积最大时直线 AB 的方程 20.已知数列 an的前 n项和为 Sn，把满足条件 an 1 Sn(n N*)的所
6、有数列 an构成的集合记为 M （ 1）若数列 an通项为 an12n，求证： an M； （ 2）若数列 an是等差数列，且 an n M，求 2a5 a1的取值范围； （ 3）若数列 an的各项均为正数，且 an M，数列 中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列 an的通项；若不存在，说明理由 21.已 知函数 f（ x） = tln（ x+2） ln（ x 2） ，且 f（ x） f（ 4）恒成立 （ 1）求 t的值； （ 2）求 x为何值时， f（ x）在 3， 7上取得最大值； （ 3）设 F（ x） =aln（ x 1） f（ x），若 F（ x）是单调递增函数，求
7、 a的取值范围 5 试卷答案 1.D 2.A 3.C 4.B 5.B 6.A 7.B 8.B 9.D 10.B 11.3， + ） 12. 13.1 14.y2=4x 15. 31280? x 16.【解答】 解：（ 1）函数 f（ x）是（ ， 0） （ 0， + ）上的奇函数， f （ x） = f（ x）； 又 x 0时， f（ x） = +1， x 0时， x 0， f （ x） = +1= +1； f（ x） = +1， f （ x） = 1； 即 x 0时， f（ x） = 1； （ 2）证明：任取 x1、 x2 （ ， 0），且 x1 x2， 则 f（ x1） f（ x2） =（
8、 1）（ 1） = = ， x 1 x2 0， x 1x2 0， x1 x2 0， f （ x1） f（ x2） 0，即 f（ x1） f（ x2）， 6 f （ x）是（ ， 0）上的单调增函数 17.【解答】解：（ 1）由题意知， acosC+ asinC b c=0， 由正弦定理得： sinAcosC+ sinAsinC sinB sinC=0， 由 sinB=sin （ A+C） =sin（ A+C）得， sinAcosC+ sinAsinC sin（ A+C） sinC=0， 则 sinAsinC cosAsinC sinC=0， 又 sinC 0，则 sinA cosA=1， 化简
9、得， ，即 ， 又 0 A ，所以 A= ； （ 2）在 ABC中， cosB= 得， sinB= = ? 则 sinC=sin（ A+B） =sinAcosB+cosAsinB = = ? 由正弦定理得， = = ? 设 a=7x、 c=5x， 在 ABD中，由余弦定理得： AD2=AB2+BD2 2?AB?BD?cosB， ， 解得 x=1， 则 a=7， c=5? 所以 ABC的面积 S= = ? 18.(1) 如图，连接 交 于点 ， ，即 为等腰三角形，又 平分 ，故，因为平面 底面 ，平面 底面 平面 ，因平面 ，所以 7 (2)作 于点 ，则 底面 ，以 为坐标原点 的方向分别为
10、轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，则 ，而，得 ，又 ，故. 由 ，得 ，故 ，所以，设平面 的法向量为，平 面 的法向量为 ，由 ，得，因此可取 . 由 ，得 ，因此可取 ,从而法向量 的夹角的余弦值为 8 .由图可知二面角 是钝角，故二面角的余弦值为 . 19.【解答】解：（ 1）由题意可知：设椭圆的 右焦点 F2，由椭圆的定义可知：丨 AF 丨 +丨 AF2丨=2a，丨 BF丨 +丨 BF2丨 =2a， ABF的周长丨 AF丨 +丨 BF 丨 +丨 AB丨 丨 AF 丨 +丨 AF2丨 +丨 BF 丨 +丨 BF2丨 =4a， 当且仅当 AB 过 F2，等号成立， 4a=8，
11、 a=2， 离心率 e= = ，则 c=1， b2=a2 c2=3， 椭圆方程为： ； （ 2）设直线 AB的方程为： x=my 4，设 A（ x1， y1） B（ x2， y2）， ，整理得：（ 4+3m2） y2 24my+36=0， 则 =576m2 4 36 （ 4+3m2） =144（ m2 4） 0， 由韦达定理可知： y1+y2= ， y1?y2= ， 丨 AB丨 = ? ， F 到 AB 的距离 d= = ， S ABF= ?d?丨 AB丨 = ? ? ? ， = ， 9 令 t= （ t 0）， S ABF= = = ， 当且仅当 3t= ，即 m= 时，等号成立， 直线 A
12、B的方程为： 3x 2 y+12=0或 3x+2 y+12=0 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理 ，弦长公 式，三角形面积公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题 20. 所以 an1 Sn，即 an M （ 2）设 an的公差为 d， 因为 an n M， 所以 an 1 n 1 (a1 1) (a2 2)? (an n) （ *） 特别的当 n 1时， a2 2 a1 1，即 d 1， 又 d 1，所以 d 1， 于是 (a1 1)n a1 1 0，即 (a1 1)(n 1) 0， 所以 a1 1 0，即 a1 1， 所以 2a5 a1 2(a5
13、a1) a1 8d a1 8 a1 9， 因此 2a5 a1的取值范围是 9， ) 10 从而有：当 n 3时 da1n ba1 n2，即 n2 da1n ba1 0， 于是当 n 3时，关于 n的不等式 n2 da1n ba1 0有无穷多个解，显然不成立， 因此数列 中是不存在无穷多项依次成等差数列 21.【解答】解：（ 1） f（ 4）是 f（ x）的最小值 对 f（ x）求导，有 f（ x） = （ ）， x=4时， f（ x） =0， =0， t=3； （ 2） f（ x） = = 在 x （ 3， 4）时， f（ x） 0，函数 f（ x）单调减，在 x （ 4， 7）时， f（ x） 0，函数 f（ x）单调增 求 f（ x）在 3， 7的最大值只要去比 f（ 3）和 f（ 7）的大小就可以了 f（ 3） = ln5， f（ 7） =
