1、 1 陕西省黄陵中学 2018届高三数学下学期第一次大检测试题 理（普通班） 第卷（选择题 共 60分） 一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.复数 1iz i? ? 的实部为 （ ） A 12 B 2i C 12 D 2i 2.集合 ,则 PQ?I （ ） A. (12， B. 12， C. ),1()3,( ? D. 12)， 3.设等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， 1 4a? ， 546S S S?，则公差 d 的取值范围是 （ ） A. 81,9?B. 41,5?C. 84,95?D.
2、? ?1,0? 4.已知“ x a x b? ? ? ”，且“ x a x c? ? ? ”，则“ xc? ”是“ xb? ”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若 2 101( )( )x a x x?的展开式中 6x 的系数为 30 ，则 a? （ ） A 12? B 2? C 12 D 2 6.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为 “东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的 .如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部
3、分的概率是（ ） 2 A 316 B 38 C 14 D 18 7.已知 2tan( )44? ?，则 sin2? （ ） A 79? B 79 C 19? D 19 8.函数 ( ) ln( 1)f x x x? ? ?的大致图象为（ ） A B C D 9.已知等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且9 121 62aa?， 2 4a? ，则数列 1nS?的前 10项和为 A.1112 B.1011 C.910 D.89 10. 已知函数 ()fx在 ( 1, )? ? 上单调 ,且函数 ( 2)y f x?的图象关于 1x? 对称 ,若数列?na 是公差不为 0的等差数列 ,且 5
4、0 51( ) ( )f a f a? ,则 ?na 的前 100项的和为 A 200? B 100? C 0 D 50? 11.已知 Rt ABCV ，两直角边 1, 2AB AC?， D 是 ABC? 内一点，且 60DAB?o ， 设 ( , )A D A B A C R? ? ? ? ? ?uuur uuur uuur，则 ?A.233 B. 33 C.3 D.23 12.已知函数 ()fx的定义域为 D ，若对于 , , , ( ), ( ), ( )a b c D f a f b f c? 分别为某个三角形的边长，则称 ()fx为 “ 三角形函数 ”. 给出下列四个函数： 3 23
5、( ) ln ( )f x x e x e? ? ?； ( ) 4 cosf x x? ； 12( ) (1 4)f x x x? ? ?； () 1xxefx e? ?.其中为 “ 三角形函数 ” 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 第 卷 二填空题：（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分） （ 13） 若 0, 0ab?，且 ? ?ln 0ab?，则 11ab? 的最小值是 _ （ 14） 若 ? ?2 0 1 8 2 2 0 1 80 1 2 2 0 1 8(1 2 )x a a x a x a x x R? ? ? ? ? ? ?L，则 12a? + 222a?332a+?
6、 + 201820182a的 值为 （ 15） 已知 A 、 B 、 C 是球 O 的球面上三点 ， 2AB? ， 23AC? ， 60ABC?，且棱锥 O ABC? 的体积为 463 ，则球 O 的表面积为 _ （ 16） 已知 ABC? 外接圆 O 的 半径为 1，且 BO BA BC?uuur uur uuur.若 60ABC?，则 ?的最大值为 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 22,23题为选考题，考生根据要求作答 . （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12分） 已
7、知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且满足 *4 ( 1),3nnS a n N? ? ? （ ） 求数列 na 的通项公式； （ ） 令 nn ab 2log? ，记数列 1( 1)( 1)nnbb?的前 n 项和为 nT 证明： 1132nT? 18 （本小题满分 12分） 据统计， 2017年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客 590.23万人次，实现旅游收入 48.67亿元，同比分别增长 44.57%、 55.22%.旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于 40（单位：百万元），则称为优秀导游 .经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高 .已知甲、乙
8、两家旅游公司各有导游 100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下： 4 （ ）求 ,ab的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高 ? （ ）若导游的奖金 y （单位：万元），与其 一年内旅游总收入 x （单位：百万元）之间的关系为 1 2 02 2 0 4 03 4 0xyxx? ? ?，求甲公司导游的年平均奖金； （ ）从甲、乙两家公司旅游收入在 ? ?50,60 的总人数中，随机的抽取 3 人进行表彰，设来自乙公司的人数为 ? ，求 ? 的分布列及数学期望 . 19. 如图，四棱锥 中， 为等边三角形，且平面 平面 ， ， . （ ）证
9、明： ； （ ）若直线 与平面 所成角为 ，求二面角 的余弦值 . 20. 已知圆 经过椭圆 ： 的两个焦点和两个 顶点，点 ， ，是椭圆 上的两点，它们在 轴两侧，且 的平分线在 轴上， . （ ）求椭圆 的方程； （ ）证明：直线 过定点 . 21.（本题满分 12分） 设函数 f(x)=ax2+b，其中 a,b是实数 . () 若 ab0，且函数 ff(x)的最小值为 2，求 b的取值范围； () 求实数 a, b 满足的条件，使得对任意满足 xy=1 的实数 x, y，都有 f(x)+f(y)分组 频数 b 18 49 24 5 ? ?20,30? ?10,20 ? ?30,40 ?
10、?50,60? ?40,505 f(x)f(y)成立 . （二）选考题：共 10 分 .请考生在 22、 23题中任选一题作答，如 果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为： cossinxy ? ?（ ? 为参数， 0, ? ），将曲线 1C 经过伸缩变换： 3xxyy?得到曲线 2C . （ 1）以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 2C 的极坐标方程； （ 2）若直线 l ： cossinxtyt? ?（ t 为参数）与 1C ，
11、2C 相交于 A ， B 两点，且 21AB ?，求 ? 的值 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 1 ( )f x x a a R? ? ? ?. （ 1）若 ()fx的最小值不小于 3 ，求 a 的最大值； （ 2）若 ( ) ( ) 2g x f x x a a? ? ? ?的最小值为 3 ，求 a 的值 . 6 参考答案 CAAB DCBA BBAC 13. 4 14. -1 15.48? 16. 17.解：（ I）当 1?n 时，有1 1 14 ( 1)3a S a? ? ?，解得 41?a . 当 2?n 时，有 )1(3411 ? ? nn aS，则 1144(
12、 1 ) ( 1 )33n n n n na S S a a? ? ? ? ? ?整理得： 41?nnaa ? 数列 na 是以 4q? 为公比，以 41?a 为首项的等比数列 ? 1*4 4 4 (nnna n N? ? ? ? ） 即数列 na 的通项公式为： *4(nna n N?） ? 6分 （ II）由（ I）有 22lo g lo g 4 2nnnb a n? ? ?，则 1 1 1 1 1=( 1 ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1nnb b n n n n? ? ? ? ? ? ? ? nT )12)(12( 175 153 131 1 ? nn
13、 )12 112 1()7151()5131()3111(21 ? nn )12 11(21 ? n 易知数列 nT 为递增数列 ? 1 12nTT?，即 2131 ? nT . ? 12 分 18.解：（ I） 由直方图知： ? ?0 .0 1 0 .0 2 5 0 .0 3 5 0 .0 1 1 0 1a? ? ? ? ? ?，有 0.02a? ， 由频数分布表知： 18 49 24 5 100b ? ? ? ? ?，有 4b? ? 甲公司的导游优秀率为： ? ?0 .0 2 0 .0 1 1 0 1 0 0 % 3 0 %? ? ? ?； 乙公司的导游优秀率为： 24 5 100% 29
14、%100? ?； 由于 30% 29%? ，所以 甲公司的影响度高 ? 4分 7 （ II）甲公司年旅游总收入 ? ?10,20 的人数为 0.01 10 100 10? ? ?人； 年旅游总收入 ? ?20,40 的人数为 ? ?0 .0 2 5 0 .0 3 5 1 0 1 0 0 6 0? ? ? ?人； 年旅游总收入 ? ?40,60 的人数为 ? ?0 .0 2 0 .0 1 1 0 1 0 0 3 0? ? ? ?人； 故甲公司导游的年平均奖金 1 1 0 6 0 2 3 0 3 2 .2100y ? ? ? ? ?（万元） ? 8分 （ III） 由已知得，年旅游总收入在 ? ?
15、50,60 的人数为 15 人，其中甲公司 10 人，乙公司5人故 ? 的可能取值为 0,1,2,3 ，易知： ? ? 310315 240 91Cp C? ? ? ?； ? ? 2110 5315 451 91CCp C? ? ? ?； ? ? 1210 5315 202 91CCp C? ? ? ?； ? ? 35315 23 91Cp C? ? ? ?. ? ? 的分布列为： ? ? 的数学期望为： 2 4 4 5 2 0 2( ) 0 1 2 3 19 1 9 1 9 1 9 1E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分 19.【答案】证明见解析；（ ） . 【解析】试题
16、分析 ： （ ）取 的中点为 ，连接 ， ，结合条件可证得 平面 ，于是 ，又 ，故可得 （ ）由题意可证得 ， ， 两两垂直，建立空间直角坐标系，通过求出平面 和平面 的法向量可求解本题 试题解析 ： 证明：（ ）取 的中点为 ，连接 ， ， ? 0 1 2 3 p 2491 4591 2091 291 8 为等边三角形， . 在底面 中，可得四边形 为矩形， ， ， 平面 ， 平面 ， . 又 ， . （ ） 平面 面 ， ， 平面 ， 由此可得 ， ， 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 直线 与平面 所成角为 ，即 ， 由 ，知 ，得 . 则 ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 . 由 ，得 令 ，则 设平面 的一个法向量为 ， 由 ，得 令 ，则 ， 9 ， 由图形知二面角 为钝角， 二面角 的余弦值为 . 20.【答案】（ ） .（ ）直线 过定点 . 【解析】 【 试题分析 】 (I)根据圆的半径和已知 ,故 ,由此求得椭圆方程 .(II)设出直线 的方程 ,联立直线方程与椭圆方程 ,写出韦达定理 ,写出 的斜率并相加 ,由此求得直线 过定点 .
