1、 - 1 - 陕西省黄陵中学 2018届高三数学下学期开学考试试题 文（重点班） 一、选择题：本题共 12 小题 ， 每小题 5分 ， 共 60 分 .在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 A x|2x 11， B x|x2 2x0 ， 则 A B ( ) A.1， 2) B.1， 2 C.(0， 3 D.(1， 2 2.在复平面内 ， 复数 z1和 z2对应的点分别是 A(2， 1)和 B(0， 1)， 则 z1z2 ( ) A. 1 2i B. 1 2i C.1 2i D.1 2i 3.已知向量 a (2， 1)， A( 1， x)， B(1， 1)，
2、若 a AB ， 则实数 x的值为 ( ) A. 5 B.0 C. 1 D.5 4.执行如图所示的程序框图 ， 输出的结果为 ( ) A.8 B.16 C.32 D.64 5. 已知集合 ， ，则集合 的子集个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 6. 已知复数满足 ，则复数对应的点所在象限是（ ） A. 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，在平面直角坐标系 中，角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于 两点，若点 的坐标分别为 和 ，则 的值为（ ） - 2 - A. B. C. 0 D. 8. 某四棱锥的
3、三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 9.已知函数 ( ) c o s ( 2 ) 3 s i n ( 2 )f x x x? ? ? ? (| | )2? 的图像向右平移 12? 个单位后关于 y 轴对称，则 ()fx在区间 ,02? 上的最小值为（ ） A -1 B 3 C. 3? D -2 10.中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方体棱台（上、下底面均为矩形额棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计 算的描述，九章算术注曰：“倍上表，下表从之，亦倍小表，上表从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六面一 .”其计算方
4、法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，以此算法，现有上下底面为相似矩形的棱台，相似比为 12 ，高为 3，且上底面的周长为 6，则该棱台的体积的最大值是（ ） A 14 B 56 C. 634 D 63 11.已知点 6( 3, )2A ? 是抛物线 2: 2 ( 0)C y px p?准线 上的一点，点 F 是 C 的焦点，点 P在 C 上且满足 | | | |PF m PA? ，当 m 取最小值时，点 P 恰好在以原点为中心， F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率
5、为（ ） - 3 - P A B C A 3 B 32 C. 21? D 212? 12.若关于 x 的不等式 20xxe ax a? ? ?的非空解集中无整数解，则实数 a 的取值范围是（ ） A221 , )53eeB 1 , )34eee C. 1 , 3 ee D , 4e ee 第卷 二、填空题：本小题共 4题，每小题 5分。 （ 13）已知向量 a ? ?1,2? ， b ? ?,1?x ，若 a ()ab? ，则 ab? ? . （ 14）设 ABC? 中，角 ,ABC 所对的边分 别为 ,abc，若 ABC? 的面积为 2 2 243a b c?，则C? （ 15）已知等比数列
6、 na 的公比为正数，且 2593 2aaa ? ， 12?a ,则 ?1a （ 16）孙子算经是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的孙子算经共三卷，其中下卷 “ 物不知数 ” 中有如下问题： “ 今有物，不知其数 .三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二 .问：物几何？ ” 其意思为： “ 现有一堆物品，不知它的数目 .3个 3个数，剩 2个； 5个 5个数，剩 3个； 7个 7个数，剩 2个 .问这堆物品共有多少个？ ”试计算这堆物品至少有 个 三、解答 题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22
7、、 23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60分 . 17.（ 12 分） 已知数列 na 的前 n 项和 22 ? nn aS . （ 1） 求数列 na 的通项公式 ； （ 2） 令 nnn aab 2log? ，求数列 nb 的前 n 项和 nT . 18（ 12分） 如图，三棱锥 P ABC 中，底面 ABC是边长为 2的正三角形， PA PC， PB=2 （ 1）求证：平面 PAC 平面 ABC； （ 2） 若 PCPA? ， 求三棱锥 P ABC 的体积 - 4 - 19（本小题满分 12 分） 已知等腰梯形 ABCD 中（ 如图 1）， 4AB? ， 2BC C
8、D D A? ? ?， F 为线段 CD 的中点，EM、 为线段 AB 上的点， 1AE EM?，现将四边形 AEFD 沿 EF 折起（如图 2） 求证： /AM 平面 BCD ； 在图 2中，若 302BD? ，求直线 CD 与平面 BCFE 所成角的正弦值 20（本小题满分 12 分） 在平面直角坐 标系 xOy 中，椭圆 C：22 1( 0 )xy abab? ? ? ?32 ，且点 2( 2, )2 在的离心率为椭圆 C上 . （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）设 P为椭圆上第一象限内的点，点 P关于原点 O的对称点为 A，点 P关于 x轴的对称点为 Q，设 PD PQ? ，直线 A
9、D与椭圆 C的另一个交点为 B，若 PA PB，求实数的值 . D Q B P x A O y 图 1 图 2 - 5 - 21. 已知函数 （其中 ） .(12 分 ) （ 1）若 为 的极值点，求的值； （ 2）在（ 1）的条件下，解不等式 . 考生注意：请在第 22、 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 . 作答时，请用 2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 . 22. 已知圆锥曲线 (是参数 )和定点 , 、 是圆锥曲线的左、右焦点 (1)求经过点 且垂直于直线 的直线的参数方程； (2)以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 的极坐标方程 23
10、. 已知函数 . (1)求不等式 的解集； (2)若关于 的不等式 的解集不是空集，求实数的取值范围 参考答案 1.D 2.C 3.A 4.C 5.D 6.D 7.D 8.D 9.C 10.C 11、 C 12.A 13. 52? 14.30 或 3 16.23 17（ 12分） 解析 ：（ 1）当 1?n 时， 22 11 ? aa ，所以 21?a . 当 2?n 时， 22 11 ? ? nn aS . 于是 )22()22( 11 ? ? nnnn aaSS ，即 12 ? nn aa . 所以数列 na 是以 21?a 为首项，公式 2?q 的等比数列 . 所以 nna 2? . .
11、4分 （ 2）因为 nnnn nb 22log2 2 ? ， 所以 nnn nnT 22)1(232221 1321 ? ?， 第 20 题 - 6 - 于是 1432 22)1(2322212 ? nnn nnT ?， 两式相减，得 1321 22222 ? nnn nT ?， 于是 22)1( 1 ? ?nn nT . .12分 18（ 12分） 解析 ：（ 1）取 AC的中点 O，连接 BO， PO. 因为 ABC是边长为 2的正三角形， 所以 BO AC， BO= 3 . 因为 PA PC， 所以 PO= 121 ?AC . 因为 PB=2， 所以 OP2+OB2=PB2， 所以 PO
12、 OB. 因为 AC， OP 为相交直线 ， 所以 BO 平面 PAC. 又 OB?平面 ABC， 所以平面 PAB 平面 ABC .6分 （ 2） 因为 PA=PC， PA PC， AC=2， 所以 2?PCPA . 由 （ 1） 知 BO 平面 PAC. 所以33)21(3131 ? ? BOPCPABOSV PAC . .12分 19解析 四边形 ADCM 为平行四边形 AM DC - 7 - 又 DC? 面 BCD ， AM? 面 BCD AM 面 BCD (2)作 DH EF? 于 H ，连接 BH ，在 Rt DFH? 中，易知 60DFH? ? ? ，而 1DF? 32DH? ，
13、 12FH? 在 BEH? 中， 32E H E F F H? ? ?，易知 60HEB? 又 3EB? 2223 3 2 73 2 3 c o s 6 02 2 4HB ? ? ? ? ? ? ?在 BDH? 中， 32DH? ， 332BH? ， 302BD? 222D H BH BD? DH HB? 在 FCH? 中，易 知 120CFH? ? ? 22 72 c o s 1 2 0 2C H F H C F F H C F? ? ? ? ? ? 在 Rt CDH? 中， 22 102C D D H C H? ? ? 30s in 10DHD C H CD? ? ?，即 CD 与平面 B
14、CFE 的所成的角的正弦值为 3010 . 20.略 - 8 - 21【答案】 (1) (2) 【解析】试题分析：先由极值定义 求出 ，再利用导数研究函数单调性，进而解出不等式 试题解析：因为 ， 所以 ， 1分 因为 为 的极值点 ,所以由 ,解得 检验 ,当 时 , ,当 时 , ,当 时 , . 所以 为 的极值点 ,故 2分 当 时 , 不等式 , 整理得 , 即 或 ， 6分 令 ， , ， 当 时 , ；当 时 , ， 所以 在 单调递减，在 单调递增，所以 ， 即 ,所以 在 上单调递增 ,而 ； 故 ； ， 所以原不等式的解集为 12分 考点：函数极值，利用导数解不等式 22.
15、【答案】 (1) (为参数 ).(2) . 【解析】试题分析： (1)消去参数可得圆锥曲线的普通方程 ，则焦点坐标为 ，由斜率公式- 9 - 结合直线垂直的充要条件可得直线的倾斜角是 .其参数方程是 (为参数 ). (2)设 是直线 上任一点，由题意有 ，整理可得其极坐标方程为. 试题解析： (1)圆锥曲线 化为普通方程 ，所以 ，则直线 的斜率，于是经过点 且垂直于直线 的直线的斜率 ，直线的倾斜角是 .所以直 线的参数方程是 (为参数 )， 即 (为参数 ). (2)直线 的斜率 ，倾斜角是 ，设 是直线 上任一点， 则 ，即 ，则 . 23.【答案】 (1) ； (2) . 【解析】试题分析： (1)由题意结合不等式的性质零点分段可得不等式的解集为 . (2)由绝对值三角不等式的性质可得 ，结合集合关系可得关于实数 a的不等式求解绝对值不等式可得实数 的取值范围为. 试题解析： (1)原不等式等价于 或 或 ，解得 或 或 . 原不等式的解集为 . (2) ， 或 ， 实数的取值范围为 .
