1、 1 四川省 2017届高三数学下学期第二次检测试题 理 一、 选择题（本题共 12小题，每小题 5分） 1.若复数 iia21 3? ( Ra? ， i 是虚数单位 )是纯虚数，则 a 的值为（ ） A.23 B. 23- C.6 D.-6 2.已知全集 U 1,2,3,4,5,6,7,8,集合 A 2,3,5,6,集合 B 1,3,4,6,7,则集合 BCU?A ( ) A.2,5 B.3,6 C.2,5,6 D.2,3,5,6,8 3.已知向量 )21( ，?a ， )1-( ，mb? ， )23( ? ，c ，若 cba ? )( ，则 m 的值是 （ ） A.27 B.35 C.3
2、D.-3 4.直线 2: ?myxl 与圆 022 22 ? yyxx 相切，则 m 的值为（ ） A.1或 -6 B.1 或 -7 C.-1或 7 D.1 或 71- 5.甲盒子中装有 2 个编号分别为 1,2 的小球，乙盒子中装有 3 个编号分别为1,2,3的小球，从甲、乙两个盒子中各随机取一个小球，则取出的两个小球的编号之和为奇数的概率为（ ） A.32 B.21 C.31 D.61 6.一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（ ） A.280 B.292 C.360 D.372 7.设 0?w ，函数 2)3sin( ? ?wxy 的图象向右平移 34? 个单位后与原图象重合，则
3、w 的最小值是（ ） A.32 B. 34 C.23 D.3 8.如果执行右面的程序框图，输入 46 ? mn ， ，那么输出的 p 等于（ ） A.720 B.360 C.240 D.120 9.若 54cos ? ， ? 是第三象限的角，则2tan12tan1 ? =( ) 2 A.-21 B.21 C.2 D.-2 10.在区间 , ? 内随机取两个数分别记为 ba， ，则函数 22 2)( baxxxf ? + 2? 有零点的概率（ ） A. 8-1? B. 4-1? C. 2-1? D. 23-1 ? 11.设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A、 B 两点，左焦点在以 AB 为直径的
4、圆内 ,则该双曲线的离心率的取值范围为 ( ) A. )20(， B. )122( ， C. )21(， D. )2( ?， 12.记函数 )(xf （ exe ?1 ， e=2.71828是自 然对数的底数）的导数为 )( xf ，函数)()1()( xfexxg ? 只有一个零点，且 )(xg 的图象不经过第一象限，当 ex1? 时，exxxf 11ln 1ln4)( ?， 01ln 1ln4)( ? xxxff ，下列关于 )(xf 的结论，成立的是（ ） A. )(xf 最 大 值 为 1 B. 当 ex? 时， )(xf 取 得 最 小 值 C.不等式 0)( ?xf 的解集是（ 1
5、， e） D.当 11 ?xe 时， )(xf 0 二、 填空题 (本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 ) 13.在 ABC中，若 31s in45 ? ABb ， ? ，则 ?a . 14.正方体 1111 DCBAABCD ? 中， 1BB 与平面 1ACD 所成 角的余弦值为 . 15.由直线 0323 ? yxx ， ? 与 xy sin? 所围成的封闭图形的面积为 _. 16.设函数? ? ? 10ln 1ln)( xxxxxxxf， ，若 na 是公比大于 0 的等比数列，且 1543 ?aaa ，若1621 2)(.)()( aafafaf ? ，则 1a = _ 三、
6、解答题 (70分 ) 17.已知等差数列 ?na 满足： 267 753 ? aaa ， ， ?na 的前 n项和为 nS 3 （ 1）求 na 及 nS （ 2）令 nb?211na ?( *Nn? )，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT 18.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分 别抽取 14件和5件，测量产品中微量元素 x， y的含量（单位：毫克） .下表是乙厂的 5件产品的测量数据： 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 （ 1）已知甲厂生产的产品共 98件，求乙厂生产的产品数量；
7、（ 2） 当产品中的微量元素 x， y满足 x 175且 y 75时 ，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； （ 3）从乙厂抽出的上述 5件产品中，随机抽取 2件，求抽取的 2件产品中优等品数 ? 的分布列及其均值（即数学期望） . 19.如图，在四棱锥 P-ABCD中， PA? 平面 ABCD，底面 ABCD是菱形， AB=2，60BAD?. （ 1）求证： BD PAC?平 面 ； （ 2）若 PA=AB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值； （ 3）当平面 PBC与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长 . 20.设 ( , )Pab 是椭圆 2222 1( 0)xy
8、 abab+ = 上的动点， 21 FF， 为椭圆的左右焦点且满足 2 1 2| | | |.PF FF= （ 1）求椭圆的离心率 e ； （ 2）设直线 PF2与椭圆相交于 A， B两点，若直线 PF2与圆 22( 1) ( 3 ) 16? ? ? ?xy 相交于 M， N两点，且 5| | | |8MN AB= ，求椭圆的方程 . 21.已知函数 1( ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 )2f x t n x n x? ? ? ? , 且 ( ) (4)f x f? 恒成立。 （ 1）求 t 的值 . （ 2）求 x 为何值时 , ()fx 在 3, 7 上取得最大值 ; （ 3）设 )()
9、1ln()( xfxaxF ? , 若 )(xF 是单调递增函数 , 求 a的取值范围。 请考生在第 2 22 3两 题中任选一题做答 , 如果多做 , 则按所做的第一题记分。 22.在平面直角坐标中，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C的极坐4 标方程为 )0(co s2sin 2 ? aa ? ，直线 l 的参数方程为?tytx224222（ t 为参数），直线 l 与曲线 C 相 交 于 A ， B 两 点 （ 1 ） 写 出 曲 线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （ 2）若 102| ?AB ，求 a的值 23.设函数 ( ) 3f x x a
10、 x? ? ?,其中 0a? . （ 1）当 1a? 时，求不等式 ( ) 3 2f x x?的解集； （ 2）若不等式 ( ) 0fx? 的解集为 ? ?|1xx? ，求 a 的值 . 5 2017学部 2016 2017学年度下期第 2次月考 理科数学参考答案 一、 选择题 DADBB CCBAB CA 二、 填空题 13 325 14 36 151 16 2e 三、 解答题 17.（ 1）设等差数列 na 的公差为 d，因为 3 7a? ， 5726aa? ，所以有 2,326102 72 111 ? ? ? dada da 解得 所以 3 2 1)=2n+1nan? ? ?（ ； nS
11、 = n(n-1)3n+ 22 ? = 2n+2n . （ 2）由（ 1）知 2n+1na ? ，所以 bn=211na ?=21 =2n+1) 1?（ 114 n(n+1)?= 1 1 1( - )4 n n+1? ， 所以 nT = 1 1 1 1 1 1(1 - + + + - )4 2 2 3 n n + 1? = 11(1- )=4 n+1? n4(n+1)， 即数列 ?nb 的前 n项和 nT = n4(n+1). 18.（ 1）由题意知，抽取比例为 719814? ，则 乙厂生产的产品数量为 3575 ? （件）； （ 2） 由表格知乙厂生产的优等品为 2号和 5号，所占比例为
12、52 .由此估计乙厂生产的优等品的数量为145235 ? （件）； （ 3）由（ 2）知 2号和 5号产品为优等品，其余 3件为非优等品 .? 的取值为 0， 1， 2. P(? =0)=1032523 ?CC, P(? =1)=5310625 1213 ?CCC, P(? =2)=1012522 ?CC. 从而分布列为 ? 0 1 2 P 103 53 101 数学期望 E(? )= 3 3 1 40 1 21 0 5 1 0 5? ? ? ? ? ?. 19.(1)因为四边形 ABCD是菱形，所以 AC BD? .又因为 PA? 平面 ABCD，所以 PA BD? .又6 PA AC A,
13、?所以 BD? 平面 PAC. (2)设 AC BD O? .因为 06 0 , 2B A D P A A B? ? ? ?，所以 1, 3BO AO C O? ? ?，如图，以 O为坐标原点，建立空间直角坐标系 O xyz? ， 则 (0 , 3 , 2 ), (0 , 3 , 0 )PA?， (1,0,0), (0, 3,0)BC ，所以 (1, 3 , 2 ), ( 0 , 2 3 , 0 )P B A C? ? ?.设 PB与 AC所成角为 ? ，则 66c o s | |4| | | 2 2 2 3P B A CP B A C? ? ? ?. (3)由（ 2）知 ( 1, 3,0)B
14、C ? ，设 (0, 3, )( 0)P t t?.则 ( 1, 3, )BP t? ? ? ，设平面 PBC的法向量 ( , , )m x y z? ，则 0, 0BC m BP m? ? ? ?，所以 30xyx y tz? ? ? ? ? ?，令 3y? ，则 63,xzt?，所 以 6(3, 3, )m t? .同理，平面 PDC的法向量 6( 3, 3, )n t? .因为平面 PBC? 平面 PDC，所以0mn? ，即 23660t? ? ? ，解得 6t? .所以 PA= 6 . 20.（ 1）设 12( , 0), ( , 0)( 0)F c F c c?，因为 2 1 2|
15、| | |PF FF= ， 所以 22( ) 2a c b c- + =，整理得 22 ( ) 1 0 , 1c c ca a a? ? ? ? ?得（舍）， 或 11,.22e=所 以 （ 2）由（）知 2 , 3a c b c=，得椭圆方程为 2 2 23 4 12x y c+=，直线 PF2的方程为 3( ).?y x c A， B两点的坐标满足方程组 2 2 23 4 12 ,3( ).? ?x y cy x c消去 y 并整理，得 25 8 0?x cx . 解得1280, 5x x c=， y x z O A B C D P 7 得方程组的解21128 ,0, 53 , 3 3 .
16、5xcxyc yc? ? ?不妨设 8 3 3( , )55A c c ， (0, 3 )Bc? ， 所以 228 3 3 1 6| | ( ) ( 3 ) .5 5 5A B c c c c? ? ? ?于是 5| | | | 2 .8MN AB c= 圆心 ? ?1, 3? 到直线 PF2的距离 | 3 3 3 | 3 | 2 | .22? ? ? ? ccd 2 2 2|( ) 42MNd ?， 223 (2 ) 16.4? ? ? ?cc 整理得 27 12 52 0? ? ?cc ，得 267?c （舍），或 2.c= 所以椭圆方程为 221.16 12xy+= 21.(1)函数 )
17、2ln ()2ln (21)( ? xxtxf ，且 )4()( fxf ? 恒成立 )(xf 的定义域为 (2， + )，且 )4(f 是 )(xf 的最小值 又 )212(21)( ? xx txf 0)216(21)4( ? tf ，解得 3?t 44)2123(21)(2 ? xxxxxf当 42 ?x 时， 0)( ?xf ，当 4?x 时， 0)( ?xf )(xf 在 (2,4)上是减函数，在 (4， + )上是增函数 )(xf 在 3,7上的最大值应在端点处取得 0)729ln625( ln21)5ln9ln3(21)7()3( ? ff )7()3( ff ? ，故当 7?x
18、 时， )(xf 取得在 3,7上的最大值 . （ 2） )(xF 是单调增函数， 0)( ?xf 恒成立 )4)(1( )1(45)1(441)( 222 ? ? xx axxaxxx axF在 )(xf 的定义域 (2， + )上， 0)4)(1( 2 ? xx 恒成立 0)1(45)1( 2 ? axxa 在 (2， + )上恒成立 下面讨论 0)1(45)1( 2 ? axxa 在 (2， + )上恒成立时， a 的解的情况： 当 01?a 时，不可能有 0)1(45)1( 2 ? axxa 在 (2， + )上恒成立 8 当 01?a 时， 0)1(45)1( 2 ? axxa 在 (2， + )上恒成立 当 01?a 时，又有两种情况： 1 0)1)(1(165 2 ? aa 2 2)1(2 5 ? a，且 0)1(425)1( 2 ? axa 由 1得 0916 2 ?
