1、 1 成都经开区实验高级中学 2014级高三下期入学考试题 数 学（理工类） 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。满分 150分，考试时间 120 分钟。 第卷 (选择题，共 60分 ) 注意事项 ： 1 必须使用 2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑 . 2 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.在复平面内，复数 z与 的对应点 关于虚轴对称，则 z=（ ） A 2 i B 2 i C 2+i
2、 D 2+i 2. 已知 (2, ), 3tan 4? ,则 sin( )? 等于 ( ) A.35 B. 35? C. 45 D. 45? 3.已知向量 （ ， ）， （ ， ）， 与 的夹角为 060 ,则直线 021sincos ? ? yx 与圆 ? ? ? ? 21sincos 22 ? ? yx 的位置关系是（ ） A.相交 B.相离 C.相切 D.随 的值而定 4.执行如图所示的程序框图，输出的 S值为（ ） A. 10 B. 24 C. 44 D. 70 5. 已 知 ABC 中， 的 对 边 分 别 为 . 若，且 ，则 （ ） A 2 B C D 6.函数 lo g ( 3
3、) 1 ( 0ay x a? ? ? ?且 1)a? 的图象恒过定点 A ，若 点 A 在直线 10mx ny? ? ? 上，其中2 0,0 ? nm ，则 11mn? 的最小值为（ ） A. 223? B. 24 C. 324? D. 34 7.一 个四面体的三视图如右图，在三视图中的三个正方形的边长都是 2 ，则该多面体的体积、表面积、外接球面的表面积分别为（ ） A. ?4,12,22 B. ?6,34,322C. ?6,6,33D. ?32,32,2 8.已知 ，命题 ，则 （ ） 0)(),2,0(:. ? xfxppA ?是假命题， 0)(),2,0(:. ? xfxppB ?是假
4、命题， 0)(),2,0(:. ? xfxppC ?是真命题， 0)(),2,0(:. ? xfxppD ?是真命题， 9.已知定义在 R 上的奇函数 )(xfy? 的图象关于直线 1?x 对称，当 01 ? x 时，)(log)( 21 xxf ? ， 则方程 021)( ?xf 在 )6,0( 内的零点之和为 （ ） A 8 B 10 C 12 D 16 10 设动直线 mx? 与函数 xxgxxf ln)(,)( 2 ? 的图象分别交于点 NM, ，则 MN 的最小值为（ ） A. 2ln2121? B. 2ln2121? C. 2ln1? D. 12ln? 11. 已知数列 na 满足
5、? )6(6(1)21(5 nannaann）若对于任意的 *Nn? 都有 1?nn aa ，则实数 a 的取值范围是 A. （ 0， 21 ） B. （ 127,21 ） C. （ 1,21 ） D. （ 1,127 ） 正视图 侧视图 俯视图 3 12.如图，设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域， E 是 D 内位于函数 1( 0)yxx?图象下方的区域（阴影部分），从 D 内随机取一个点 M ，则点 M 取自 E 内的概率为（ ） A ln22 B 1 ln22? C 1 ln22? D 2 ln22? 二、填空题（每小题 4分，共 20 分） 13. 已知向量 AB 与 A
6、C 的夹角为 120? ，且 3, 2,AB AC?，若， AP AB AC?，且 AP BC? ，则实数 ? 的值为 _. 14. 设?a0 2 ,0 ,3tx0,x ,lg)(xdtxxf 若 ( (1) 1ff ? ，则 a = 15.已知 60 cosa xdx? ，则 71()xxax? 的展开式中的常数项是 .（用数字作答） 16设函数 2( ) 1f x x?，对任意 3 , )2x? ? , 2( ) 4 ( ) ( 1 ) 4 ( )xf m f x f x f mm ? ? ? ?恒成立，则实数 m的取值范围是 . 三、解答题（共 6小题，共 70分解答应写出文字说明，演算
7、步骤或证明过程） 17.（本小题满分 12分） 已知 an是各项均为正数的等比数列， bn是等差数列，且 a1 b1 1， b2b3 2a3， a5 3b2 7. (1)求 an和 bn的通项公式； (2)设 cn anbn， n N*，求数列 cn的前 n项和 18.（本小题满分 12 分） 已知锐角三角形 ABC 中，角 CBA, 所对边分别为 cba, 满足1 c o s 2 s in ( ) 2 s in 22 C B A A? ? ? ?. （）求 ab ； （）若 AB 是最大边，求 cosC 的取值范围 . 4 19、如图所示，平面 EAD? 平面 ABCD ， ADE? 是等边
8、三角形， ABCD 是矩形， F 是 AB 的中点， G 是 AD 的中点， H 是 CE 的中点， EC 与平面 ABCD 成 30? 角 （ 1）求证： EG? 平面 ABCD ； （ 2）求证： /HF 平面 EAD ； （ 3）若 4?AD ，求三棱锥 CEFD? 的体积 20.我国是世界上严重缺水的 国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100位居民每人的月均用水量 (单位：吨 )，将数据按照 0， 0.5)， 0.5， 1)，4， 4.5分成 9组，制成了如图所示的频率分布直方图 . (1)求直方图中 a的值； (2)设该市有 30万居民
9、，估计全市居民中月均用水量不低于 3吨的人数 .说明理由； (3)估计居民月均用水量的中位数 . 21.（ 12 分）已知函数 f（ x） =sinx ax （）对于 (0,1), ( ) 0x f x?恒成立，求实数 a的取值范围； （）当 a=1时，令 ( ) ( ) s in ln 1h x f x x x? ? ? ?，求 ()hx的最大值； （ ）求证： *1 1 1ln ( 1 ) 1 ( )23n n Nn? ? ? ? ? ? 请考生在第 22、 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，H G F E D B C A 5 本小题满分 10分。 2
10、2.（本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系 与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 2 2cos? ? 4 ，直线 l 的参数方程为 ?x t，y 1 2 2t(t为参数 )，直线 l和圆 C交于 A， B两点，P 是圆 C 上不同于 A， B的任意一点 . (1)求圆心的极坐标； (2)求 PAB面积的最大值 . 23.（本题满分 10分）选修 4-5:不等式选讲 已知 函数 f(x) |x 1| 2|x a|， a0. (1)当 a 1时，求不等式 f(x)1的解集； (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形
11、面积大于 6，求 a的取值范围 . 6 成都经开区实验高级中学 2014 级高三下期入学考试题 数 学 （理工类）参考 答案 1 5 ABBAA 6 10 ABDCA 11 12 BC 13 .712 14.1 15. 560 16 . 33( , , )22? ? ? ?17.解 ： (1)设数列 an的公比为 q，数列 bn的公差为 d，由题意知 q0.由已知，有消去 d，整理得 q4 2q2 8 0.又因为 q0，解得 q 2，所以 d 2. 所以数列 an的通项公式为 an 2n 1， n N*；数列 bn的通项公式为 bn 2n 1， n N*. (2)由 (1)有 cn (2n 1
12、) 2n 1，设 cn的前 n项和为 Sn，则 Sn 1 20 3 21 5 22 (2n 3) 2n 2 (2n 1) 2n 1， 2Sn 1 21 3 22 5 23 (2n 3) 2n 1 (2n 1) 2n， 上述两式相减 ， 得 Sn 1 22 23 2n (2n 1) 2n 2n 1 3 (2n 1) 2n (2n 3) 2n 3， 所以 ， Sn (2n 3) 2n 3， n N*. 18.解： （） )s in (s in2 2c o s1 BACC ?AAABAABBA c o ss i n2c o ss i n2s i n2)s i n ()s i n ( ? 因 ABC?
13、 为锐角三角形，则 0cos ?A ，由正弦定理有： 21sinsin ? BAba （） ab 2? ，且 cba ? ，则 23 ? ?C ，即 21cos0 ? C 又因4122c o s 2222 ? abaab cbaCCcos 的取值范围是 41,0( 19.（ 1）证明： ? ADE? 是等边三角形，且 G 是 AD 的中点 ADEG? ， 又平面 EAD? 平面 ABCD ，平面 ?EAD 平面 ABCD AD? ， ?EG 平面 EAD ?EG? 平面 ABCD 7 （ 2）证明：取 ED 的中点 I ，连 AIHI, ， ?H 是 CE 的中点 CDHICDHI 21,/
14、? ? ABCD 是矩形， F 是 AB 的中点 CDAFCDAF 21,/ ? CDAFCDAF ? ,/ ，则 AFHI 是平行四边形 AIFH/? ，则 ?AI 平面 ?FHEAD, 平面 EAD ? /HF 平面 EAD （ 3）解：连 CG ，由（ 1）知 EG? 平面 ABCD ，则 ECG? 是 EC 与平面 ABCD 成角， 即 030?ECG ，且 CGEG? 而 ADE? 是等边三角形，当 4?AD 时， ,32?EG 在 CEGRt? 中，又 ? 030?ECG ，则 63 ? EGCG 又 ABCD 是矩形，且 G 是 AD 的中点，则 24,2 22 ? DGCGCD
15、DG 2821 ? ? ADCDS C D F 3 61631 ? ? EGSVV C D FC D FEC E FD 所以三棱锥 CEFD? 的体积为361620.解 (1)由 频率分布直方图，可知：月均用水量在 0， 0.5)的频率为 0.08 0.5 0.04. 同理，在 0.5， 1)， 1.5， 2)， 2， 2.5)， 3， 3.5)， 3.5， 4)， 4， 4.5)等组的频率分别为 0.08，0.21， 0.25， 0.06， 0.04， 0.02. 由 1 (0.04 0.08 0.21 0.25 0.06 0.04 0.02) 0.5 a 0.5 a， 解得 a 0.30.
16、 (2)由 (1)知， 100位居民月均用水量不低于 3吨的频率为 0.06 0.04 0.02 0.12.由以上样本的频率分布 ，可以估计 30 万居民中月均用 水量不低于 3吨的人数为 300 000 0.12 36 000. (3)设中位数为 x吨 . 因为前 5 组的频率之和为 0.04 0.08 0.15 0.21 0.25 0.730.5. 而前 4组的频率之和为 0.04 0.08 0.15 0.21 0.481化为 |x 1| 2|x 1| 10. 当 x 1时，不等式化为 x 40，无解； 当 10，解得230，解得 1 x1的解集为 ?x?23a.所以函数 f(x)的图象与 x轴围成的三角形的三个顶点分别为 A? ?2a 13 ， 0 ， B(2a 1， 0)， C(a， a1)， ABC的面积为23(a 1)2.由题设得23(a 1)26，故 a2. 所以 a的取值范围为 (2， ).
