1、 - 1 - 四川省成都市双流区 2017届高三数学下学期 4 月月考试题 理 本试卷分第 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第 卷 1 至 2 页，第卷 2共 4页，共 4页满分 150 分考试时间 120分钟 第 I卷（共 60分） 一 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 已知集合 ? ?2|0A x x x? ? ?， 函数 ? ? ? ?lg 1f x x?的定义域为 B ,则 AB? （ ） A ? ?0,1 B ? ?,0? C ? ?0,? D ? ?0,1 2.已知复数 ()z i a bi?（ a ， b
2、R? ），则“ z 为纯虚数”的充分必要条件为（ ） A 220ab? B 0ab? C 0a? ， 0b? D 0a? ， 0b? 3 . 1 , 0 1b a c? ? ? ?若 ， 则 （ ） A. log logabcc? B. log logccab? C. ccab? D. bacc? 4函数 log ( 3) 2ayx? ? ?过定点 P ，且角 a 的终边过点 P ，则 sin2 cos2? 的值为 （ ） A 75 B 65 C 2 D 3 5我国南宋数学家秦九韶（约公元 1202 1261? 年）给出了求 ()nn N? 次多项式 11 1 0nnnna x a x a x
3、 a? ? ? ?，当 0xx? 时的值的一种简捷算法该算法被后人命名为 “ 秦九韶算法 ” ，例如，可将 3 次多项式 改写为323 2 1 0 3 2 1 0( ( ) )a x a x a x a a x a x a x a? ? ? ? ? ? ?，然后进行求值运行如图所示的程序框图，能求得多项式（ ）的值 A 4 3 22 3 4x x x x? ? ? ? B 4 3 22 3 4 5x x x x? ? ? ? C 3223x x x? ? ? D 322 3 4x x x? ? ? 6.在双曲线 22 1( 0 , 0 )yx abab? ? ? ?的两条渐近线上各取一点 P、
4、 Q，若以线段 PQ 为直径的圆总过原点，则 C的离心 率为（ ） - 2 - A 3 B 5 C 3 D 2 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A 22 3? B 42 3? C 53? D 22? 8.函数 ( ) s i n ( ) ( 0 , 0 , | | )2f x A x A ? ? ? ? ? ? ? ?满足0)1( ?f ，则 （ ） A ( 1)fx? 一定是偶函数 B ( 1)fx? 一定是奇函数 C. ( 1)fx? 一定是偶函数 D ( 1)fx? 一定是奇函数 9. 已知抛物线 21: 4C y x? 的焦点为 F，准线为 l ，以 F为圆心，且与 l
5、 相切 的圆与抛物线 C 相交于点 A， B，则 AB? （ ） 1.2A B 1 C 2 D 4 10在如图所示的正方形中随机投掷 10000个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布 N （ 1， 1）的密度曲线）的点的个数的估计值 为 （ ） 附 “ 若 2( , )XN? ，则 P（ X + ） =0.6826 p（ 2 X +2 ） =0.9544” A 1193 B 1359 C 3413 D 2718 11.设函数 ? ? ? ?42 1 1xg x x x e? ? ? ? ?，若不等式 ? ? ? ?2g x g ax? 对一切 ? ? ? ?1,0 0,1x?恒成立，则 a
6、 的取值范围是（ ） A ? ? ? ?, 1 1,a ? ? ? ? B， ? ?1,1a? C. ? ?1,a? ? ? D. ? ?1,a? ? 12已知 ABC 中， 4AB? ，且满足 3BC AC? ，则 ABC 的面积的最大值为（ ） A 2 B 3 C 2 D 43 第 II卷（共 90分） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分把答案填在答题卡的相应位置） - 3 - 13已知向量 ,3OA AB OA?，则 OAOB = 14 5(1 2 )xy? 的展开式中不含 x 的项的系数和为 15 设 x ， Ry? ，则不等式组0, 0,2 0,xyxyyx?厖?
7、表示的平面区域的面积 为 _ 16用一个实心木球毛坯加工成一个棱长 均 为 2 的三棱锥，则木球毛坯体积的最小值应为 三、 解答题（ 本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17已知 ?na 是各项均为正数的等比数列 , 11 8a ? ，设 2lognnba? ，且 4 17b? （ ）求证：数列 ?nb 是 公差为 2? 的 等差数列； （ ）设数列 ?nb 的前 n 项和为 nS ，求 nS 的最大值 18某城市随机抽取一年内 100 天的空气质量指数（ API）的监测数据，结果统计如表： API （ 50， 100 （ 100， 150 （ 150， 20
8、0 （ 200， 300 300 空气质量 优 良 轻度污染 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 6 14 18 27 20 15 （ ）若本次抽 取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 8 天为严重污染根据提 供的统计数据，完成下面的 2 2 列联表，并判断是否有 95%的把握认为 “ 该城市本年的 空气严重污染与供暖有关 ” ？ 非重度污染 严重污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 100 （ ）已知某企业每天的经济损失 y （单位：元）与空气质量指数 x 的关系式为0 , (0 1 0 0 )4 0 0 , (1 0 0 3 0 0 )2 0 0 0 , ( 3 0 0 )xyxx?
9、? ?,试估计该企业一个月（按 30 天计算）的经济损失的数学期望 - 4 - P（ K2 k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考公式： K2= 19 （本小题满分 12分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，平面 1ABC? 侧面 11ABBA ， 且 1 2AA AB? （ I）求证： AB BC? ； （ ） 若直线 AC 与平面 1ABC 所成角的大小为 30 ， 求锐二面角 1A AC B?的大小 20 （本小题满分 12 分）动点 ( , )Mxy 与定点 (1,0)F
10、 的距离和它到定直线 4x? 的距离的比是 1 2 ，记点 M 的轨迹为 C . （ I）求曲线 C 的方程； （ ） 对于定点 ( 1,0)F? ，作过点 F 的直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A ， B ，求 ABF?的内切圆半径的最大值 . 21 （本小题满分 12分） 设函数 21( ) ln ( 1 )2 af x a x x b x a? ? ? ?，曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线斜率为0 . （ I） 求 b ； （ ）若存在 0 1x? ，使得0() 1afx a? ?，求 a 的取值范围 请考生在第 22、 23题中任选一题作答，如果多做，则按
11、所做的第一题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑 . 22. （本小题满分 10 分 ）选修 4-4：坐标系与参数方程 C 1B 1A 1CBA- 5 - 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C ： 4xy?，曲线 2C ： 1 cossinxy ? ?（ ? 为参数）， 以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （ I） 求曲线 1C ， 2C 的极坐标方程； （ ） 若射线 l ： ? （ 0? ）分别交 1C ， 2C 于 ,AB两点， 求 |OBOA的最大值 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 1 | | |
12、f x x x a? ? ? ?（ Ra? ） . （ I）若 2a? ，求不等式 ( ) 2fx? 的解集； （ ） 若对于任意的 1,3x? ， 1,2a? ，都有 ()f x t x? 恒成立，求实数 t 的取值范围 . 2014级高三 4月月考试题 参考答案及评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B A D A A B C B A D - 6 - 12.D 解：依题意，设 CA=b，则 BC= b，又 AB=4，由余弦定理得：cosA= = = ， cos2A=（ ）2= + 1， sin2A=1 cos2A=2 SABC =
13、AB?ACsinA= 4bsinA=2bsinA， S2ABC =4b2sin2A=4b2（ 2 ） =48 （ b2 16） 2，当 b2=16，即 b=4时， 4、 4、 4 能组成三角形， S2max=48， Smax=4 二、填空题 13 9 14 -1 15 76 16 如图，将三棱锥补成一个正方体，其棱长为 1，则木球毛坯体积最小时应为正方体的外接球，此时直径为 = ，体积为故答案为： 三、解答题 17解：（ ）证明：设等比数列 an的公比为 q， 则 bn+1 bn=log2an+1 log2an= =log2q， 因此数列 bn是等差数列 又 b11=log2a11=3， b4
14、=17， 又等差数列 bn的公差 ， 即 bn=25 2n即数列 bn是以 2为公差的等差数列 ? （ ）设等差数列 bn的前 n项 和为 Sn， 则 n= =（ 24 n） n=（ n 12）2+144， 于是当 n=12时， Sn有最大值，最大值为 144 18解：（ ）根据题设中的数据得到如下 2 2列联表： 非严重污染 严重污染 总计 供暖季 22 8 30 - 7 - 非供暖季 63 7 70 总计 85 15 100 将 2 2 列联表中的数据代入公式计算，得： K2= 4.575 4.575 3.841 由 95%的把握认为： “ 该城市本年的空气严重污染与供暖有关 ” （ ）任
15、选一天，设该天的经济损失为 X元，则： P（ X=0） =P（ 0 x 100） = P（ X=400） =P= ， P（ X=2000） =P（ x 300） = E（ X） =0 +400 +2000 =560 该企业一个月（按 30 天计算）的经济损失的数学期望为 30 E（ X） =16800 元 19 （本小题满分 12分） - 8 - 20 （本小题满分 12分） - 9 - - 10 - 21 （本小题满分 12分） 解：（ 1） f （ x） = （ x 0）， 曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线斜率为 0， f （ 1） =a+（ 1 a） 1 b=0，解得
16、 b=1 （ 2）函数 f（ x）的定义域为（ 0， + ），由（ 1）可知： f（ x） =alnx+ ， = 当 a 时，则 ， 则当 x 1时， f （ x） 0， 函数 f（ x）在（ 1， + ）单调递增， 存在 x0 1，使得 f（ x0） 的充要条件是 ，即 ， 解得 ； 当 a 1时，则 ， 则当 x 时， f （ x） 0，函数 f（ x）在 上单调递减； 当 x 时， f （ x） 0，函数 f（ x）在 上单调递增 存在 x0 1，使得 f（ x0） 的充要条件是 ， 而 = + ，不符合题意，应舍去 若 a 1时， f（ 1） = ， 成立 综上可得： a的取值范围是 22 （本小题满分 10分）
