1、 1 天津市红桥区重点中学八校 2017届高三数学 4 月联考试题 理 本试卷分第 ?卷 (选择题 )和第 卷 (非选择题 )两部分，满分 150分，考试时间 120分钟 第 ?卷 (选择题 共 40分 ) 一选择题 (本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 请将答案填涂在答题卡上 !) 1. 设 a 是实数 ，且 2 11 a ii? 是实数，则 a = （ ） A.21 B. 1 C.23 D. -1 2. 若某程序框图 如图，则该程序运行后输出的值是 （ ） A.7 B.8 C.9 D.10 3 设变量 ,xy满足 20201xyxy
2、y? ? ? ? ?， 则目标函数 2z x y? 的最小值为 （ ） A.2 B. 3 C. 4 D. 5 4 设 , Rba ? 则 “ 0)( 2 ? aba “是 “ ba? “的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5 在 ABC? 中，内角 ,ABC 所对的边分别是 ,abc，若 22( ) 6c a b? ? ?， 3C ? ，则 ABC?的面积是 （ ） 2 A. 3 B. 932C. 332D. 33 6 如图，网格纸上的小正方形的边长为 1， 粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是 （ ） A. 4
3、6? B. 4 12? C. 86? D . 8 12? 7 P 为双曲线 2219 16xy?的右支上一点， M ， N 分别是圆 22( 5) 4xy? ? ? 和 22( 5) 1xy? ? ?上的点，则 PM PN? 的最大值为（ ） 6 B 7 C 8 D 9 8 已知 定义在 R 上的函数2( ) 11axfx x?， aR? 以下说法正确的是 （ ） 函数 ()fx的图像是 中心对称图形 函数 ()fx有两个极值 函数 ()fx零点个数 最多 为三 个 当 0a? 时 ， 若 1 mn?， 则 ( ) ( ) 2 ( )2mnf m f n f ? A. B. C. D. 3 第
4、 卷 (非 选择题共 110分 ) 二填空题 (本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 请将答案填在答题纸上 !) 9 已知集合 ? ?| 2 2A x R x? ? ? ?， ? ?| 2 2 ,B y R y x x A? ? ? ? ? ?，则集合 AB? 10 在614x x?的展开式中的常数项为 11 由 曲线 2yx? 与 3yx? 所围成的封闭图形的面积是 _ 12 在以 O 为极点的极坐标系中，曲线 ? cos2? 和直线 a?cos 相交于 ,AB两点 .若 AOB?是等边三角形，则 a 的值为 _ 13 如图，在矩形 ABCD 中， 2AB? ， 2BC? ，点 E 为
5、 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若2?AFAB ，则 BFAE? 的值是 14 已知定义在 R上的函数 1 ( 1)1()1 ( 1)xxfxx? ? ?， 若关于 x 的方程 2 ( ) ( ) 0f x bf x c? ? ?有三个不等的实数解 ，设 2m b c? ， 则 m 的取值范围是 _ 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 并将答案写 在答题纸上 !) 4 15 (本小题满分 13分 ) 已知函数 ）0(co s)( ? ?xxf ，其图象上相邻的两 条 对称轴之间的距离为 2? ， （ ） 求 ()6fx? 在区间 ? 3
6、26- ?，上 的单调区间 ； （ ）若 5 ( , )12 2? ， 1()33f ?，求 sin2? 的值 。 16 (本小题满分 13分 ) 质地均匀的正四面体玩具的 4个面上分别刻着数字 1， 2， 3， 4，将 4个这样的玩具同时抛掷于桌面上。 （ 1）求与 桌面接触的 4个面 上的 4个数的乘积为偶数且 不能 被 4整除的概率； （ 2）设 ? 为 与桌面接触的 4个面上数字中偶数的个数 ， 求 ? 的分布列及期望 E? . 17 (本小题满分 13分 ) 如图，三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 1AA ABC?面 ， BC AC? ， 2BC AC?， D 为 AC 的中
7、点。 （ 1）求证： 1AB /面 1BDC ； 5 （ 2）若 1 3AA= ，求二面角 1C BD C?的余弦值； （ 3）若在线段 1AB 上存在点 P ，使得 1CP BDC?面 ，试求 1AA 的长 18 (本小题满分 13 分 ) 设 A、 B 是椭圆 ? 223 yx 上的两点，点 N（ 1， 3）是线段 AB 的中点，线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C、 D两点 . （ 1）确定 ? 的取值范围，并求直线 AB的方程； （ 2）试判断是否存在这样的 ? ，使得 A、 B、 C、 D四点在同一个圆上？并说明理由 . 19 (本小题满分 14分 ) 在数列 na 中 ， 1
8、1a? ， 其前 n项和 nS 满足关系式 13 ( 2 3 ) 3nnt S t S t? ? ? ? ? ),3,2,0( ? nt (1)求证：数列 na 是等比数列； 6 （ 2）设数列 na 的公比为 ),( nbtf 作数列 ，nnn bnbfbb 求）（使 ,3,2),1(,1 11 ? ?； （ 3）求 .12221254433221 ? ? nnnn bbbbbbbbbbbb 20 (本小题满分 14分 ) 设定义在 R 上的函数 4 3 20 1 2 3 4()f x a x a x a x a x a? ? ? ? ?， 0 1 2 3 4( , , , , )a a a
9、 a a R?，当 1x? 时，()fx取极大值 23 ，且函数 ()y f x? 的图象关于原点对称 . （ 1）求 ()fx的表达式； （ 2）试在函数 ()y f x? 的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在 2, 2? 上； （ 3）设 212nn nx ?， 2(1 3 )3 mm my ? ( , )mn N?，求证： 4| ( ) ( ) | 3nmf x f y?. 7 高三年级八校联考 理科数学 答案（ 2017 4） 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B A C C D A 二、填空题 9 ? ?20 ? xRx 1
10、0 516? 11 112 12 32 13 2 14 01mm? ?或 三、解答题 15 ( )解：由题知 T? ， 2 2T?， 所以， ( ) cos2f x x? . ( )= co s(2 )63f x x? 令： ? kxk 2322 ? 则 632 ? ? kxk Zkkkx ? ? ,6,32 ?单增区间为 Zkkkx ? ? ,3,6 ?单减区间为 又因为 ? 32,6 ?x所以单减区间为 ? 3,6 ?x， 单增区间为 ? 32,3 ?x? 7分 （） 已知 2 1( ) c o s 2 ( ) ( 2 ) c o s ( 2 )3 3 3 3 3f c o s? ? ?
11、? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以， 1cos(2 )33? ? ?，又 5 ( , )12 2? ，则 22 ( , )3 2 3? ? ， 得 22sin(2 )33? ?. 所以， s i n 2 s i n ( 2 ) s i n ( 2 ) c o s c o s ( 2 ) s i n3 3 3 3 3 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 2 2 1 1 3 2 2 3()3 2 3 2 6? ? ? ? ?.? 13分 8 16 解：（ 1）设“与桌面接触的 4个面上的 4个数的乘积为偶数且不能被 4整除”为事件 A，则 81)41()21( 314 ? CAp
12、 ）（ ?. 5分 （ 2） 44 1( ) ( 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ) ,2kP k C k? ? ?的分布列为 ? 0 1 2 3 4 P 116 14 38 14 116 ? 服从二项分布 14,2B?，则 14 2.2E? ? ? ? 13 分 17 解：（ 1）连接 B1C，交 BC1于点 O， 则 O为 B1C的中点， D为 AC 中点， 1/OD BA? ， 又 1BA? 平面 BDC1， OD? 平面 BDC1 1 /BA? BDC1 ?.3 分 （ 2） 1AA? 平面 ABC， BC? AC， AA1/CC1， 1CC?面 ABC， 则 BC? 平面 AC1
13、， CC1? AC 如图建系，则 1 ( 3 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 ,1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 )C B D C 11( 3 , 1 , 0 ) , ( 3 , 0 , 2 )C D C B? ? ? ? ? 9 设平面 C1DB 的法向量为 ( , , )n x y z? 则 (2,6,3)n? 又平面 BDC的法向量为 1 (3,0,0)CC ? ?二面角 C1 BD C的余弦值： 11 1 , 2c o s , 7| |, | |C C nC C n C C n? ? ? ? ?8 分 （ 3）设 11,AA a AP AB?，
14、 则 ( , 2 , 2 )AP a? ? ? ( , 2 2 , 2 )C P C A A P a? ? ? ? ? ? ? 又 1 ( , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 2 ) ,C D a B D C P? ? ? ? ?面 BDC1， 21 2 2 02 6 0C P C D aC P B D? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解得 12, 3a ? 所以 AA1=2 ?.13 分 18 (1)设直线 AB的方程为 ( 1) 3,y k x? ? ? 223xy ?代 入 整理得 .0)3()3(2)3( 222 ? ?kxkkxk 设 是方程则 212211 ,),(
15、),( xxyxByxA 的两个不同的根， 0)3(3)3(4 22 ? kk? )3,1(.3 )3(2 221 Nk kkxx 由且 ? 是线段 AB的中点， 得 .3)3(,12 221 ? kkkxx 解得 k= 1，代入得， ? 12， 即 ? 的取值范围是（ 12， +? ） . 于是，直线 AB的方程为 .04),1(3 ? yxxy 即?6 分 10 （ 2） .02,13, ? yxxyCDABCD 即的方程为直线垂直平分? 代入椭圆方程，整理得 .0444 2 ? ?xx 是方程则的中点为又设 43004433 ,),(),(),( xxyxMCDyxDyxC 的两根， )
16、.23,21(,232,21)(21,1 0043043?Mxyxxxxx即且于是由弦长公式可得 ).3(2|)1(1| 432 ? ?xxkCD 将直线 AB的方程 4 0 ,xy? ? ? 代 入 椭 圆 方 程 得 .01684 2 ? ?xx 同理可得 .)12(2|1| 212 ? ?xxkAB .|.,)12(2)3(2,12 CDAB ? ? 时当? 假设在 ? 12，使得 A、 B、 C、 D 四点共圆，则 CD 必为圆的直径， 点 M 为圆心 .点 M 到直线 AB的距离为 .2 232 |42321|2|4| 00 ? yxd 于是，由、式和勾股定理可得 .|2|2 32 1229|2| 22222 CDABdMBMA ? ? 故当 12? 时， A、 B、 C、 D四点均在以 M为圆心， 2|CD 为半径的圆上 ?13 分 19
