1、 1 天津市红桥区重点中学八校 2017 届高三数学 4 月联考试题 文 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、复数 ii215? 的虚部是（ ） A. i B. i? C. 1 D. 1? 2、 Rx? ，则 2?x 的一个必要不充分条件是（ ） A. 3?x B. 3?x C. 1?x D. 1?x 3.将一枚骰子先后抛掷 2 次，则向上的点数之和是 5 的概率为（ ） A. 361 B. 91 C. 367 D. 121 4、函数 )sin(2)( ? ? xxf ，（ 0? ? ， 22? ? ? ）的部
2、分图象如图所示，则 ? ， ? 的值分别是（ ） A. 2 ， 3? B. 2 ， 6? C. 4 ， 6? D. 4 ， 3? 5、 阅读右边的程序框图，运行相应的程序， 则输出 i 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6、若直线 022 ?byax （ 0a? ， 0b? ） ，经过圆 014222 ? yxyx 的圆心，则 ba 11?的最小值是（ ） A. 21 B. 4 C. 41 D. 2 2 7、设 2log31?a，31log21?b， 3.0)21(?c ，则（ ） A. cba ? B. cab ? C. acb ? D. bca ? 8、已知函数 )(x
3、fy? 的周期为 2 ,当 0 2x? ， 时 , ,)1()( 2? xxf 如果 |1|lo g)()( 5 ? xxfxg ，则函数的所有零点 之和为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 10 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9、已知集合 2 | 16 0 |A x x? ? ?， 2 | 4 3 0B x x x? ? ? ?，则 ?BA _； 10、已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积等于 _； 11、设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 7813?S ， 10127 ?aa ，则 ?17a _； 12、已知函数 4)( 2
4、3 ? axxxf 在 2?x 处取得极值，若 1 1mn?， ， ， 则 ( ) ( )f m f n? 的最小值是 _； 13、已知 F 是双曲线 1124 22 ? yx 的左焦点，定点 (14)A ， ， P 是双曲线右支上的动点，则| | | |PF PA? 的最小值是 _； 14、边长为 1的菱形 ABCD 中， 060?DAB ， MDCM? ， BNND 2? ， 则 ANAM? _； 三、解答题：第 15 18 题每小题 13 分， 19 20 小题每小题 14 分，共 80 分。 15、咖啡馆配制两种饮料， 甲种饮料分 别 用奶粉 9g 、咖啡 4g 、糖 3g 。乙种饮料
5、分别用奶粉 4g 、咖啡 5g 、糖 10g 。已知每天使用原料限额为奶粉 3600g 、咖啡 2000g 、糖 3000g 。如果甲种饮料每杯能获利 0.7 元，乙种饮料每杯能获利 1.2 元。每天在原料的使用限额内 饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大 ? 3 16、在 ABC? 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边，且 3 c o s c o s ( t a n t a n 1 ) 1A C A C? ? ? ? ?. （ 1）求 5sin(2 )6B ? 的值； （ 2）若 233?ca ， 3?b ，求 ABC? 的面积。 17、如图： AB
6、CD 是平行四边行， AP? 平面 ABCD , BE /AP , 2AB AP?， 1BE BC?，60CBA?。 （ 1）求证： EC /平面 PAD ； （ 2）求 证：平面 PAC? 平面 EBC ； （ 3）求直线 PC 与平面 PABE 所成角的正弦值 . 18、已知数列 ? ?na 的前 n 项和为 nS ，且满足 2( 2 )nnS n a? ? ?, （ nN? ） （ 1）证明：数列 ? ?1na? 为等比数列。 （ 2）若 2log ( 1)n n nb a a? ? ?，数列 ? ?nb 的前项和为 nT ，求 nT 。 4 19、已知椭圆 C 的中心在原点，离心率等于
7、 21 ，它的一个短轴端点恰好是抛物线 yx 382 ? 的焦点。 （ 1）求 椭圆 C 的方程； （ 2）已知 (2 3)P ， 、 (2 3)Q ?， 是椭圆上的两点， A ， B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点 .若直线 AB 的斜率为 21 ，求四边形 APBQ 面积的最大值； 当 A ， B 运动时，满足 BPQAPQ ? ,试问 直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由。 20、已知函数 322( ) ( )3f x x f x x c? ? ? ?，（其中 2()3f? 为 )(xf 在点 32?x 处的导数， c 为常数 ). （ 1）求 2()3f? 的值； （ 2）求函
8、数 )(xf 的单调区间； （ 3）设函数 3( ) ( ) xg x f x x e? ? ?，若函数 )(xg 在区间 3 2? ， 上单调递增，求实数 c 的取值范围。 5 高三年级八校联考 文科数学 答案（ 2017.04） 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A C B D A 二、填空题： 9、 | 4 1 3 4A B x x x? ? ? ? ? ?或 10、 23? 11、 2 12、 13? 13、 9 14、 1312 三、解答题： 15、【解】：设每天配 制甲种饮料 x 杯，乙种饮料 y 杯，咖啡馆每天获利 z 元，则 x 、 y 满足
9、约束条件。 1 分 9 4 360 04 5 200 03 10 300 000.xyxyxyxy? ? ?， 4 分 目标函数 0.7 1.2z x y? 5 分 在平面直角坐标系内作出可 行域，如图： 9 分 作直线 l ： 0.7 1.2 0xy?，把直线 l 向右上方平移至 1l 的位置时，直线经过可行域上的 A 点，且与原点距离最大，此时 0.7 1.2z x y?取最大值。 11 分 解方程组 4 5 20003 10 3000xy?，得 A 点坐标 (200 240)， 。 12 分 答：每天应配制甲种饮料 200 杯，乙种饮料 240 杯，能使该咖啡馆获利最大。 13 分 16
10、、【解】（ 1） 3 c o s c o s ( t a n t a n 1 ) 1A C A C? ? ? ? ? s i n s i n3 c o s c o s ( 1 ) 1c o s c o sACAC ? ? ? ? 1 分 1c o sc o s3si nsi n3 ? CACA 1)co (3 ? CA 3 分 6 ? CBA 31cos ?B 322sin ?B 971c o s22c o s 2 ? BB , 9 24c o ss in22s in ? BBB 5 分 5 5 5 7 4 6s i n ( 2 ) s i n 2 c o s c o s 2 s i n6 6
11、 6 1 8B B B? ? ? ? ? ? ? ? ? 7 分 （ 2） 2 2 2 22 c o s ( ) 2 2 c o sb a c a c B a c a c a c B? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 分 332ac? 10 分 31224273 ? acac 3245?ac 12 分 1 1 5 2s in2 3 2ABCS ac B? ? 13 分 17、【证明】 : （ 1）取 PA 的中点 N ，连 DN ， EN 。由已知 BE /AP ， 2AP? ， 1BE? ， 则 CEND 为平行 四边 形，所以 EC /DN 2 分 又 DN? 平面 PAD ， EC?
12、 平面 PAD ， 所以 EC /平面 PAD 4 分 （ 2） ABC? 中， 2AB? ， 1BC? 所以 360c o s12214 02 ?AC 222 ACBCAB ? BC AC? 5 分 AP? 平面 ABCD BC? 平面 ABCD AP BC? 又 AC AP A? BC? 平面 PAC 7 分 又 BC? 平面 EBC 平面 PAC? 平面 EBC 8 分 （ 3）作 CM AB? 于 M ，连 PM ，可证 CM? 平面 PABE CPM? 为 PC 与平面 PABE 所成角 10 分 32CM? ， 32AM? ， 52PM? ， 7PC? ， 7 3 212s in
13、147CMC P M PC? ? ? ?。 12 分 答 : 直线 PC 与平面 PABE 所成角的正弦值为 1421 。 13 分 18、【解】（ 1） ? )2(2 ? nn anS 2?n 时 )2(2)1( 11 ? ? nn anS 两式相减 1221 ? nnn aaa 12 ? nn aa )1(21 1 ? ?nn aa 1 分 2111 ?nnaa（常数） 3 分 又 1n? 时， )2(21 11 ? aa 得 31?a ， 211 ?a 4 分 所以数列 ? ?1na? 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列。 5 分 （ 2）由（ 1） nnna 2221 1 ? ?
14、 12 ? nna 6 分 又 )1(lo g 2 ? nnn aab )12( ? nn nb 7 分 1 2 3nnT b b b b? ? ? ? ? 23( 1 2 2 2 3 2 2 ) ( 1 2 3 )nnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 分 设 2 3 11 2 2 2 3 2 ( 1 ) 2 2nnnA n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 12 1 2 2 2 ( 1 ) 2 2nnnA n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 分 两式相减 2 3 1 12 ( 1 2 )2 2 2 2 2 212 nn n nn
15、A n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22)1( 1 ? ?nn nA 11 分 又 2 )1(321 ? nnn? 12 分 2 )1(22)1( 1 ? ? nnnT nn 13 分 8 19、【解】（ 1） yx 382 ? (0 2 3)F ， 1 分 32?b 21?ace 又 222 cba ? 162?a 122?b 椭圆方程为 11216 22 ? yx 3 分 （ 2）设 11()A x y， ， 22()B x y， 设 AB 方程 ?112162122 yxtxy代入化简 01222 ? ttxx 4 分 224 ( 1 2 ) 0tt? ? ? ? ?，
16、 44t? ? ? 5 分 ? ? ? 12221 21 txxtxx 又 (2 3)P ， 、 (2 3)Q ?， 6 分 221 2 1 2 1 21 6 | | 3 ( ) 4 3 4 8 32APBQS x x x x x x t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 0t? 时， S 最大为 312 7 分 当 BPQAPQ ? 时， PA 、 PB 斜率之和为 0 . 设 PA 斜率为 k ，则 PB 斜率为 k? 8 分 设 PA 方程? ? ? 4843 )2(322 yxxky 9 分 代入化简 048)1294(4)23(8)43( 2222 ? kkxkkxk 10 分 (2 3)P ， 21 43 )32(82 kkkx ? ? 11 分 同理 22 43 )32(82 kkkx ? ? 12 分 2221 43 1216 kkxx ? ?，221 43 48kkxx ? 13 分 214)( 21 2112 12 ? ? xx kxxkxx yyk AB9 直线 AB 的斜率为定值 21 。 14 分 20、【解】 （ 1） 2 2( ) 3 2 ( ) 13f x x f x? ? ? 1 分 2( ) 13f? ? 2 分 （ 2） cxxxxf ? 23)( 2( ) 3 2 1 ( 3 1 ) (
