1、 1 天津市武清区杨村 2017 届高三数学下学期第二次月考试题 理 一选择题 （ 本题共 8 小题， 每题 5 分，共 40 分 ） 1已知集合 ? ?-2,-1,0,1,2A ? ， ? ?| 1 0B x x? ? ? ，那么集合 BA? 等于（ ） A ?1 B.?4 C.? ?2,3 D.? ?1,2 2在等比数列 na 中， 6541 ?aa，则 ?)tan( 32aa （ ） A 3? B 33? C 33 D 3 3.函 数 ? ? 52ln 2 ? xxxxf 的零点个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 4.下列命题中正确的是（ ） A若 ? 服从正态分布 (1,2)
2、N ，且 ( 2) 0.1P ? ?，则 (0 2) 0.2P ? ? ? B命题：“ 21, 1xx? ? ? ”的否定是“ 21, 1xx? ? ? ” C直线 20ax y? ? ? 与 40ax y?垂直的充要条件为 1a? D“若 0xy? ，则 0x? 或 0y? ”的逆否命题为“若 0x? 或 0y? ，则 0xy? ” 5 某程序框图如图所示，若输出的 57?S ，则判断框内 为（ ） A 4?k B 5?k C 6?k D 7?k 6.已知函数 ( ) 3 sin(2 )3f x x ?， 则下列结论正确的是 （ ） A导函数为 ( ) 3 cos(2 )3f x x ?B函
3、数 ()fx的图象关于直线 2x ? 对称C函数 ()fx在区间 5( , )12 12? 上是增函数 D函数 ()fx的图象可由函数 3sin2yx? 的图象向右平移 3? 个单位长度得到 7.已知点 P 为 双曲线 )0,0(12222 ? babyax 右支上 的 一点， F1， F2为双曲线的左 、 右焦点，若0)( 22 ? PFOFOP （ O 为坐标原点），且 PF1F2 的面积为 ac2 （ c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ） 2 A 12? B 212? C 13? D 213? 8 定义区间12 , xx的长度为21?（?），函数22( ) 1( ) ( ,
4、0)a a xf x a R aax? ? ?的定义域与值域都是 , ( )m n n m?，则区间 , mn取最大长度时实数a的值为（ ） A233B -3 C 1 D 3 二 .填空题 （本题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分 ） 9.已知 i 是虚数单位， m 是实数，若 2mii? 是纯虚数，则 m? . 10. 如图， 一个几何体的正视图是长为 3，宽为 1 的矩形，侧视图是腰 长为 2 的等腰三角形，则该几何体的表面积为 . 11 曲线 )4sin(42 ? ? 与曲线?tytx22212221的位置关系是 . 12.已知实数 x ， y 满足 2xyyx? ?， z x a
5、y? （ 1a? ）的最大值为 3 ，则实数 a? 13 若点 P 是 ABC? 的外心，且 0? PCPBPA ? , o120?C ，则实数 ? 为 . 14.现定义一种运算“ ? ”：对任意实数 ,ab， ,1b a baba a b? ?，设 2( ) ( 2 ) ( 3)f x x x x? ? ? ?，若函数 ( ) ( )g x f x k?的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 k 的取值范围是 三解答 题 15.（ 13 分） 在 ABC? 中 ， CBA , 分别为 cba , 边所对的角 ， 且 54cos ?A （ I） 求 ACB 2cos2sin 2 ? 的值 ；
6、（） 若 2?a ，求 ABC? 的面积 S 的最大值 3 16.（ 13 分） 网上购物逐步走进 大学生活 ,某大学学生宿舍 4 人积极参加网购 ,大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物 ,掷出点数为 5 或 6 的人去淘宝网购物 ,掷出点数小于 5 的人去京东商城购物 ,且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物 . （ I） 求这 4 个人中恰有 1 人去淘宝网购物的概率； （） 用 ,?分别表示这 4 个人中去淘宝网和京东商城购物的人数 ,记 X ? ,求随机变量 X 的分布列与数学期望 . 17（ 13 分）如 图，已知 ?AB 平面 ACD ， ?DE 平面 A
7、CD ， ACD? 为等边三角形 ，ABDEAD 2? ， F 为 CD 中点 （ I） 求证： /AF 平面 BCE ； （） 求证：平面 BCE ? 平面 CDE ； （ ） 求直线 BF 与平面 BCE 所成角的正弦值 18.(13 分 )已知首项为 32 的等比数列 ?na 的前 n 项和为 ? ?*nS n N? ，且 2 3 42 , ,4S S S? 成等差数列 （ I） 求数列 na 的通项公式； （） 证明 ： *1 13 ()6n nS S n ? N B E D F C A 4 19.(14 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，动点 M 到点 ? ?1,0F 的距离与它到
8、直线 2x? 的距离之比为22 （ I） 求动点 M 的轨迹 E 的方程； （） 设直线 ? ?0y kx m m? ? ?与曲线 E 交于 ,AB两点，与 x 轴、 y 轴分别交于 ,CD两 点（且CD、 在 AB、 之间或同时在 AB、 之外）问：是否存在定值 k ，对 于满足条件的任意实数 m ，都有 OAC? 的面积与 OBD? 的面积相等，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由 20.（ 14 分） 已知函数 ? ? ? ?ln xf x m x m Rx? ? ? （ I） 当 0m? 时，求函数 ?fx零点的个数； （ ） 当 0m? 时，求证：函数 ?fx有且只有一个极值点；
9、 （ ） 当 0ba?时，总有 ? ? ? ? 1f b f aba? ? 成立，求实数 m 的取值范围 5 2016-2017 高三年级第二学期第二次月考 数学（理）答案 一选择题 （每小题 5 分，共 40） 1.D 2.B 3.C 4.C 5.A 6.C 7.A 8.D 二填空题 （每小题 5 分，共 30 分） 9.12 10. 3812? 11. 相交 12.2 13.-1 14.( 3, 2) ( 8, 7 1? ? ? ? 15. ACBACB 2c o s2 )c o s (12c o s)2(s in 2 ? 50591A2 c o s2c o s A1 2 ? ? 6 分
10、53sin,54cosA ? A 由 ,103s in21 bcAbcSABC ?2?a 由余弦定理得 : Abccba co s2222 ? 即 4cos222 ? Abccb ,10,2458 22 ? bcbccbbc 3103s in21 ? ? bcAbcS ABC , ? 13 分 当且仅当 cb? 时，取得最大值，所以当 cb? 时， ABC? 的面积 S 的最大值为 3 16.解 ：（ 1）这 4 个人中恰有 1 人去淘宝网购物的概率 1 1 314 1 2 3 2( ) ( ) ( )3 3 8 1P A C?.? 4 分 （ 2）易知 X 的所有可能取值为 0,3,4. 0
11、 0 4 4 4 00 4 4 41 2 1 2 1 6 1 1 7( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 8 1 8 1 8 1P X P A P A C C? ? ? ? ? ? ? ?, 1 1 3 3 3 11 3 4 41 2 1 2 3 2 8 4 0( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 8 1 8 1 8 1P X P A P A C C? ? ? ? ? ? ? ?, 2 2 224 1 2 2 4( 4 ) ( ) ( ) ( )3 3 8 1P X P A C? ? ? ?. ?10 分 所以 X 的分布
12、列是 X 0 3 4 P 1781 4081 2481 随机变量 的数学期望 1 7 4 0 2 4 80 3 48 1 8 1 8 1 3EX ? ? ? ? ? ? ? ?13 分 17（ 1）取 EC 中点 M ，连接 MFMB, BAEDMF /? ，且 BAMF? ， ?平行四边形 ABMF ， MBAF/? ，又 ?AF 平面 BCE ，6 ?BM 平面 BCE ， /AF? 平面 BCE ? 4 分 （ 2）连接 BDDM, ， MCDED ,1? 为 CE 中点， CEDM? 又 21,45,2 3 222222 ? FDMFMDADBABDAFBM? MDBMBMMDBD ?
13、 ,222 ，又 ? MDMBMCE ,? 平面 BCE ，又 ?MD平面 CDE ， ?平面 BCE ? 平面 CDE ? 8 分 （ 3）取 CM 中点 H ，连接 FH ， DMFH/? 由（ 2）知 ?MD 平面 BCE ， ? ?FH 平面BCE ，连接 BH ， HBF? 是 直线 BF 与平面 BCE 所成的角 在 HBFRt? 中， 1,4221 22 ? AFBABFMDHF 42s in ? BFHFH BF ， 即直线 BF 与平面 BCE 所成角的正弦值为 42 . ? 13 分 18. 解： （ 1）设等比数列 na 的 公比为 q .因为 2 3 424,S S S
14、? 成等差数列，所以 3 2 4 324S S S S? ? ?，即 4 3 2 4S S S S? ? ? ，可得 432aa? ，于是 4312aq a? ?.又 1 32a? ，所以等比数列 na 的通项公式为 113 1 3( ) ( 1)2 2 2nnn na ? ? ? ? ? ?. ?5 分 （ 2）易知 11 ( )2 nnS ? ? ?， 则 1 1 11 ( )12 1 ( )2nn nnS S? ? ? ? ? ?122 2 1122 2 1nnnnnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 为 奇 数， 为 偶 数. ?9 分 当 n 为奇数时， 1n nS S?随
15、n 的增大而减小，所以1 11 1 13= 6n nSSSS? ? ?. 当 n 为偶数时， 1n nS S?随 n 的增大而减小，所以2 21 1 25= 12n nSSSS? ? ?. 7 故对于 *n?N ，有 1 136n nS S?. ?13 分 19. 解析：（ 1）设 ? ?,Mxy ，则 ? ?2 21 222xyx? ?，整理得 2 2 12x y?， 轨迹 E 的方程为 2 2 12x y? 5 分 （ 2）联立2222y kx mxy? ?消去 y 得 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x m kx m? ? ? ? ?， 2 2 2 2 2( 4 ) 4 (1
16、2 ) ( 2 2 ) 8 ( 2 1 )m k k m k m? ? ? ? ? ? ? ?， 由 0? 得 222 1(*)mk?, 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y， 则12 2421mkxx k? ?, 9分 由题意 ， 不妨设 ,0 , (0, )mC D mk?, OAC? 的面积 与 OBD? 的面积总相等 AC BD?恒成立 ? 线段 AB 的中点与线段 CD 的中点重合 . 2421mk mkk? ?，解得 22k? ， 12分 即存在定值 22k? ，对于满足条件 0m? ，且 2m? （据（ *）的任意实数 m ， 都有 OAC? 的面积与 OBD? 的面积相等 14分 20.解析：（ 1）当 0m? 时， ? ? ? ? ? ?2ln 1 ln0,xxf x x f x ? ? ?，令 ? ? 0fx? ? ，得 xe? ， 函数 ?fx在区间 ? ?0,e 上单调递增，在 ? ?,e? 上单调递减 2 分 ? ? ? ?m a x 110 , 0f x f e f eee ? ? ? ? ? ?， 函数 ?fx在区间 ? ?0,e 内有且只有一个零点； 8 又当 xe? 时， ? ? ln 0xfx x?恒成立， 函数 ?fx在区间 ? ?,e? 内没有零点 综上可知，当 0m? 时，函数 ?fx有且只 有 1 个零点
