1、 1 天津市武清区杨村 2017届高三数学下学期第一次月考试题 理 一 、选择题： （ 本大题共 8个小题，每小题 5分，共 40 分 ） 1.若 ,13|,2| ? xRxBxRxA 则 BA? =（ ） A (-2， 2) B (-2， -1) C (-2， 0) D (0， 2) 2.已知 y,x 满足约束条件?305xyxyx，则 yxz 42 ? 的最小值是 ( ) A. 6 B.5 C.38 D. 10 3. 执行如图所示的程序框图，若输出的 n=6，则输入整数 p的最小值是（ ） A 17 B 16 C 18 D 19 4. 已知圆 22: ( ) 1C x a y? ? ?，直
2、线 :1lx? ；则： 13 22a? 是 C 上恰有不同四点到 l 的距离为 12 ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5.将函数 s in ( ) c o s ( )22y x x? ? ?的图象 沿 x 轴向右平移 8? 个单位后，得到一个偶函数的图 象，则 ? 的取值 不可能 是（ ） A 54? B 4? C 34? D 4? 6. 已知 0a? ， 1a? ， 0.6 0.4aa? ，设 0.6log 0.6am ? ， 0.4log 0.6an? ， 0.6log 0.4ap ? ，则（ ） A. p n m? B.p m
3、n? C.n m p? D.m p n? 7. 在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对应的边分别为 a ， b ， c ，若 sin 3 c o s 0b A a B?，且2b ac? ，则 acb? 的值为（ ） A 22 B 2 C 2 D 4 8.已知点 A是抛物线 241xy? 的对称轴与准线的交点，点 B为该抛物线的焦点，点 P在该抛物线上且满足 | PAmPB ? ，当 m 取最小值时，点 P恰好在以 A,B为焦点的双曲线上，则该 双曲线的离2 心率为 ( ) A.215?B. 212? C. 15? D. 12? 二 、填空题： （ 本大题共 6小题，每小题 5分，共 3
4、0分 ） 9. 若复数2( 4) ( 2)z a a i? ? ? ?为纯虚数，则复数 iia?1 在复平面上对应的点位于第 _象限 . 10 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 . 11. 若22nxx?展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 . 12 在极坐标系中，圆 1C 的方程为 2 2 co s( )4? ? ?， 以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 2C 的参数方程为2 cos2 sinxmym? ? （ ? 为参数， 0m? ），若圆 1C 与 2C 外切，则实数 m 的值为 . 13在平行 四边形 ABCD 中， E 为 D
5、C 的中点， AE 与 BD 交于点 M ， 2?AB , 1?AD ，且61?MBMA ，则 ADAB? = 14. 已知函数 ()fx 的定义域为 ? ?1,? ，且 1 | 2 3 |, 1 2( ) ,11( ) , 222 xxfx f x x? ? ? ? ? ?则 函 数2 ( ) 3y xf x?在区间 ? ?12017， 上的零点个数为 . 三 、解答题： （ 本大题共 6小 题，共 80 分 ） 15 （ 本题满分 13分） 已知函数 1( ) c os( ) c os( ) si n c os3 3 4f x x x x x? ? ? ? ?（ 求)(xf的最小正周期；
6、（ ） 求?在区间 2,0 ? 上的最大值和最小值 . 3 PMD CBA16.（ 本题满分 13 分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球 9 个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为 2 、 3 、 4 ，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 3 ，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球 （ I） 若左右手各取一球，求两只 手中所取的球颜色 不同的概率； （ II） 若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变 量 ? ，求 ? 的分布列和数学期望 17（ 本题满分 13 分）在四棱锥 P ABCD? 中，平面 PAD? 平面 ABCD ，
7、PAD? 为等边三角形 , 221 ? CDADAB ，AB AD? , /AB CD ,点 M 是 PC 的中点 （ I） 求证 : /MB 平面 PAD ； （ II） 求二面角 P BC D?的余弦值； （ III） 在线段 PB 上是否存在点 N ，使得 DN? 平面PBC ？若存在 ,请求出 PNPB 的值；若不存在 ,请说明理由 . 18（ 本题满分 13分）已知 ?na 是各项为不同 的正数的等差数列， 1 2 4lg ,lg ,lga a a成等差数列，又nabn21? , ? 3,2,1n （）证明： ?nb 为等比数列； 4 （ ） 如果数列 ?nb 前 3项的和为 247
8、 ，求数列 ?na 的首项和公差； （ ） 在 （ II） 的条件下，令 nS 为数列 ? ?nnba6 的前 n 项和，求 nS 19. （ 本题满分 14分） 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 C ： )0(12222 ? babyax 的离心率 21?e ，左顶点为)0,4(?A ，过点 A 作斜率为 )0( ?kk 的直线 l 交椭圆 C 于点 D ，交 y 轴于点 E . （） 求椭圆 C 的方程 ; （ ） 已知 P 为 AD 的中点，是否存在定点 Q ，对于任意的)0( ?kk 都有 EQOP? ，若存在，求出 点 Q 的坐标；若不存在说明理由 ; （ ） 若过 O
9、点作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M ，求| | OMAEAD ?的最小值 . 20.（本题满分 14分） 已知函数 ( ) ln ( 1)f x x a x? ? ?， ()xgx e? () 求函数 ()fx的单调区间； ( ) 设 ( ) ( 1) ( )h x f x g x? ? ?，当 0x? 时， ( ) 1hx? ，求实 数 a 的取值范围； ( ) 当 0a? 时，过原点分别作曲线 ()y f x? 与 ()y gx? 的切线 1l ， 2l ，已知两切线的斜率互为倒数，证明： 211eea? PD MA OxyE5 2016-2017高三年级第二学期第一 次月考 数学
10、答案 一、选择题： CABB DBCD 二、填空题 9一 10 .12 11. 180 12. 22? 13. 43 14. 11 三、解答题 15解： （） 11( ) c os( ) c os( ) si n 23 3 2 4f x x x x? ? ? ? ?-1分1 3 1 3 1 1( c os si n ) ( c os si n ) si n 22 2 2 2 2 4x x x x x? ? ? ? ?-2分 221 3 1 1c os si n si n 24 4 2 4x x x? ? ? ?1 c os 2 3 3 c os 2 1si n 28 8 2 4xx x? ?
11、? ?-3分 1 (cos si n 2 )2 xx?2 cos 224x ?-5分 函数)(xf的最小正周期为 T ?， -6分 （ II）因为 )(xf 在 区间 83,0 ? 上是减函数，在区间 2,83 ? 上是增函数， -10分 21)0( ?f ， 22)83( ?f ， 21)2( ?f ，所以 )(xf 在区间 2,0 ? 上的最大值为 21 ， 最小值为 22? . -13 分 16.解： ：（ 1）设事件 ? 为“两手所取的球不同 色”， 则 ? ? 2 3 3 3 4 3 21 9 9 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5分 （ 2）依题意， ? 的可能取值为 0
12、 ， 1， 2 左手所取的两球颜色相同的概率为 2222 3 429CCC 5C 18? ?右手所取的两球颜色相同的概率为 22233329CCC 1C4? ? ? 5 1 1 3 3 1 30 1 11 8 4 1 8 4 2 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 ? ? 5 1 5 1 71 1 11 8 4 1 8 4 1 8? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 1 52 1 8 4 7 2? ? ? ? ? ? ?11分 所以 ? 的分布列为： ? 0 1 2 ? 1324 718 572 ? 12分
13、 ? ? 1 3 7 5 1 90 1 22 4 1 8 7 2 3 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 13分 17.解： （ ） 证明 :取PD中点H,连结,MHAH. 因为 M为PC中点 , 所以 1/ , 2M C D H M C D?. 因为1/ , 2AB CD AB CD?. 所以/AB HM且?. 所以四边形MH为平行四边形 , 所以 /BM AH.因为 BM PAD? 平 面, AH?平面PAD, 所以/平面PAD. ? ? .4分 （ ） 取AD中点O,连结.PO因为 PA PD?,所以PO AD?.因为 平面PAD?平面ABCD, 平面I平面AB AD?,?平面PA
14、D,所以AB CD? 平 面. 取BC中点K,连结OK,则/ .OK AB以 为原点 ,如图建立空间直角坐标系 , 设2,AB?则 ( 1 , 0 , 0) , ( 1 , 2 , 0) , ( 1 , 4 , 0) , ( 1 , 0 , 0) , ( 0 , 0 , 3 ) ,A B C D P?( 2 , 2 , 0) (1 , 2 , 3 )BC PB? ? ? ?u uur u ur.平面BCD的法向量0,0, 3)OP ?u ur, 设平面PBC的法向量( , , )n x y z?ur,由0,0,BC nPB n? ?uuur uruur ur得2 2 0,2 3 0.xyx y
15、 z? ? ? ? ?7 令1x?，则(1,1, 3)n ?ur. 15c os , 5| | |O P nO P n O P n? ? ?u uur ru uur ur u uur ur. 由图可知， 二面角 P BC D?是锐二面角， 所以 二面角 P BC D?的余弦值为155. ? ? .9分 （） 不存在 . 设点( , , )N x y z,且 , 0,1PNPB ? , 则 ,PN PB? 所以( , , 3 ) (1 , 2 , 3 )y z ? ? ?. 则,2,3 3 .xyz? ? ?所以( , 2 , 3 3 )N ? ? ?, ( 1 , 2 , 3 3 )DN ?
16、? ? ? ?uuur.若 DN PBC?平 面 ,则/DN nuur ur, 即3312 3 ? ? ?，此方程无解 , 所以 在线段 PB 上不存在点 N ,使得 DN PBC?平 面 . ? ? .13分 18解： （ ） 设数列 ?na 的公差为 d ， 由 1 2 4lg ,lg ,lga a a成等差数列得 2 1 42 lg lg lga a a?，所以 22 1 4a aa? 所以 21 1 1( ) ( 3 )a d a a d? ? ?，所以 2 1ad? 因为 0d? ，所以 1da? 2 分 12 ( 2 1) 2n nna a d d? ? ? ?，则 12n nb
17、d? 1 12nnbb? ?且1 1 02b d? ?nb 为等比数列 4 分 （ ） 依条件可得1 2 3 1 1 1 1 7()2 4 8 2 4b b b d? ? ? ? ? ?，解得 3d? ， 所以 1 3ad? 7 分 （） 由（ 2）得 3 ( 1)3 3na n n? ? ? ?， 1 1 1()3 2 3 2 nn nb ? ? ?9 分 8 16 6 ( )2 nnna b n? ? ? 1 2 11 1 1 16 ( ) 2 ( ) ( 1 ) ( ) ( ) 2 2 2 2nnnS n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 11 1 1 1 16 ( )
18、2 ( ) ( 1 ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2nnnS n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 作差得 2 3 11 1 1 1 1 16 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2nnnSn ? ? ? ? ? ? ? ? 1111( 1 ( ) )1 1 1226 ( ) 6 6 ( ) 6 ( )1 2 2 212nn n nnn? ? ? ? ?111 1 11 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 3 ( 2 ) ( )2 2 2n n nnS n n? ? ? ? ? ? ? ? 13 分 19. 解： （ ） 因为 左顶点为 ( 40)A?， ，所以 4a? ，又 12e? ，所以 2c? .? 2分 又因为 2 2 2 12b a c? ?
