1、 1 浙江省杭州市 2017-2018 学年高三数学第一次月考试题 第 卷（共 40 分） 一、选择题 （ 本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1 集合 Px?R 3x? ， 2 1,xQ y y x? ? ? ?R ，则 PQ? A ( , 3 (1, )? ? ? B ( , 3 ( 1, )? ? ? ? C ( ,1) 3, )? ? D ( , 1) 3, )? ? ? 2 已知 a R? ,则“ | 1| | | 1aa? ? ? ”是“函数 xya? 在 R 上为减函数”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件
2、C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 已知 等比数列 na 的 前 n 项 和为 nS ， 则下列 不 可能成立的是 A ? ?2016 2016 2015 0a S S? B ? ?2016 2016 2014 0a S S? C ? ? ?2 0 1 6 2 0 1 3 2 0 1 6 2 0 1 3 0a a S S? ? ? D ? ? ?2 0 1 6 2 0 1 2 2 0 1 6 2 0 1 2 0a a S S? ? ? 4 已知 单位向量 a 和 b 满足 2? ? ?a b a b，则 a 与 b 的夹角 的余弦值为 A 13? B 23? C 13 D 23 5在 AB
3、C 中， (BC BA ) AC |AC |2，则 ABC 的形状一定是 A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 6、将函数 sin 26yx?图象向右平移 m （ 0m? ）个单位，得到函数 ? ?y f x? 的图象，若 ? ?y f x? 在区间 ,63?上单调递增，则 m 的最小值为 A 3? B 4? C 6? D 12? 7.已知函数 ( ) sin(2 )f x x ?，其中 ? 为实数，若 ( ) ( )6f x f ?对任意 xR? 恒成立，且2 ( ) ( )2ff? ? ，则 ()fx的单调递增区间 是 A , ( )36k k k Z? ? ?B ,
4、 ( )2k k k Z?C 2, ( )63k k k Z? ? ?D , ( )2 k k Z?8 不等式组 2 2 0,1 0,2 3 4 0xyxyxy? ? ? ? ? ? ?表示的平面区域绕着 原点 旋转 一周所得到的 平面 图形的 面积为 A 1225? B 1725? C 3? D 165? 9 已知实数列 ?na 是等比数列，若 2 5 8 8aaa ? ，则1 5 1 9 5 91 4 9a a a a a a? A有最大值 12 B有最小值 12 C有最大值 52 D有最小值 52 10 对于函数 ?fx，若存在 0 Zx? ，满足 ? ?0 14fx?，则称 0x 为函
5、数 ?fx的一个“近零点”已知函数 ? ? ? ?2 0f x ax bx c a? ? ? ?有四个不同的“近零点”，则 a 的最大值为 A 2 B 1 C 12 D 14 第 卷（共 110 分） 二、填空题 (本大题共 7 小题， 多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 ) 11 函数 ( ) 2 co s(4 ) 13f x x ? ? ?的最小正周期为 ， ()3f ? ? 12 已知数列 na 中，满足 33?a ，且 21 ? nn aa ， 则 ? 42 aa ， na? 13 已知正数 yx, 满足 1?yx ， 则 xy? 的取值范围为 ，yxx?1的最小值
6、为 14对于定义在 R 上的函数 ()fx，如果存在实数 a ，使得 ( ) ( ) 1f a x f a x? ? ? ?对任意实数 xR? 恒成立，则称 ()fx为关于 a 的“倒函数” .已知定义在 R 上的函数 ()fx是关于 0 和1的“倒函数”，且当 1,0?x 时， )(xf 的取值范围为 2,1 ，则当 1,2x? 时， ()fx的取值范围为 _ _，当 2016,2016?x 时， ()fx的取值范围为 _ _. 3 15 设122 1 , 0,(), 0,x xfx xx? ? ? ?若 x 满足 ( ) 3fx? ，则2 1log ( )1xx?的最大值为 . 16 正
7、ABC 的 边长为 1，向量 ACyABxAP ? ，且 2321,1,0 ? yxyx ，则动点 P 所形成的平面区域的面积为 17 已知函数 |1| 2?xy 的图象与函数 2)2(2 ? xkkxy 的图象恰有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围 为 三、解答题 (本大题共 5 小题，共 74 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算过程 ) 18 (本小题满分 15 分 ) 在 ABC 中，内角 A B C， ， 所对的边分别是 a b c， ， 已知 sin sin sin tanA B C C? （ I）求 222abc?的值； （ II）若 22ac? ，且 ABC 的面积为
8、4 ，求 c 的值 19. (本小题满分 15 分 ) 如图，已知 ABC 的面积为 14 cm2， D， E 分别为边 AB， BC 上的点，且 AD DB BE EC 21 ，求 APC 的面积 4 20 (本小题满分 15 分 ) 已知函数 4)( 2 ? axxxf （ a? ）的两个零点为 12,xx 设 12xx? . （ ）当 0a? 时，证明： 120x? ? ? （ ）若函数 |)(|)( 2 xfxxg ? 在区间 )2,( ? 和 ),2( ? 上均单调递增，求 a 的取值范围 . 21（本题满分 15 分）已知函数 2( ) 2 ln ,f x x a x a R? ?
9、 ? （ ）若 ()fx在 1x? 处取得极值，求实数 a 的值； （ ）若不等式 ( ) 0fx? 对 任意 1, )x? ? 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 22（本小题满分 14 分） 数列 ?na 是公差不为零的等差数列， 5 6a? 数列 ?nb 满足： 1 3b? ， 1 1 2 3 1nnb b b b b? ? ? ? ? 当 2n? 时，求证： 1 11n nnb bb? ? ? ； ? 当 3 1a? 且 3a ? 时， 3a ， 5a ， 1ka ， 2ka ， ?， nka ， ?为等比数列 ?i 求 3a ； ?ii 当 3a 取最小值时，求证： 1 2 31 2
10、 31 1 1 1 1 1 1 14 1 1 1 1nn k k k kb b b b a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 数学答案及评分标准 5 一、选择题 （本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1 B 2 B 3 A 4 C 5 C 6 C 7 C 8 D 9 D 10 D 二、填空题 (本大题共 7 小题， 多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 11 ,02? 12 32,6 ?n ， 13 ( 1,1),3? 14 . 1 ,12 ， 1 ,22 15 22 log 5? 16 833 17 0?k 或 1?k 或 4
11、?k 三、解答题 (本大题共 5 小题，共 74 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算过程 ) 18 (本小题满分 15 分 ) 解：（ I）由已知 sin sin sin tanA B C C? ? ?得 2cos cC ab? ? 2 分 又 2 2 2cos 2a b cC ab? ， ? 4 分 故 2 2 23a b c? ，故 222abc? 的值为 3 ? 6 分 （ II）由 22ac? ， 2 2 23a b c? 得 102bc? ? 8 分 由余弦定理得 25cos 5C? ， 故 5sin 5C? ? 12 分 故 1 2 1 0 5 42 2 2 5cc? ? ?
12、?，得 4c? ? 15 分 19 解 设 AB a， BC b 为一组基底， 则 AE a 23b， DC 13a b. 因为点 A， P， E 与 D， P， C 分别共线， 所以存在 和 使 AP AE a 23 b， DP DC 13 a b. 又 AP AD DP (23 13 )a b， 6 所以? 23 13 ，23 ，解得? 67， 47.所以 S PAB 47S ABC 14 47 8(cm2)， S PBC (1 67) S ABC 14 17 2(cm2)， 于是 S APC 14 8 2 4(cm2) 20 (本小题满分 15 分 ) 解： （ ） 证法 1： 由求根公
13、式得： 21 162aax ?因为 0a? ，所以，一方面： 221 16 0a a a ax ? ? ? ? ?， ? 4 分 另一方面，由 2 2 21 ( 4 ) 1 6 1 6 8 1 62022a a a a ax ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 得 1 2.x? 于是， 12 0.x? ? ? ? 7分 证法 2：因为 ()fx 在区间 ( , )2a? 上单调递减，在 ( , )2a? 上单调递增， 所以，当 0a? 时， ()fx在区间（ -2,0）上单调递减 .? 4分 又因为： ( 2 ) (0 ) 2 ( 4 ) 0f f a? ? ? ? ? ?，所以： 12
14、0x? ? ? ? 7分 ( ) ?.,4;,42;,4)(22121xxaxxxxaxxxxaxxg ?分 若 ,0?a 则 )-)( 1xxg ，在（ ? 上单调递减，从而 )(xg 在区间 )2,( ? 上不可能单调递增，于是只有 0?a . ? 11 分 当 0?a 时，由（ 1）知： 02 1 ? x ，于是，由 )(xg 在 ),( 1x? 上单调递增可知，)(xg 在 )2,( ? 也是单调递增的 ? 13 分 7 又因为 )(xg 在 ),4(2xa和 ),( 2?x 均单调递增，结合函数图象可知， ),4()( ?axg 在上单调递增，于是，欲使 )(xg 在（ 2， +?
15、）上单调递增，只需 42 a? ，亦即 8?a 综上所述， 8,0(?aa的范围是 . ? 15 分 21 解： （ ） 2 2 2 ( )( ) 2 a x af x x xx? ? ?由 (1) 2 2 0fa? ? ?，得 1a? . 经检验，当 1a? 时取到极小值，故 1a? . （ ） 由 ( ) 0fx? ，即 2 2 ln 0,x a x?对 任意 1, )x? ? 恒成立 . （ 1）当 1x? 时，有 aR? ；（ 2）当 1x? 时， 2 2 ln 0,x a x?得 22lnxa x? 令 2( ) ( 1)2 lnxg x xx? ? ?，得 2(2 ln 1)() 2 lnxxgx x?； 若 1 xe? ，则 ( ) 0gx? ； 若 xe? ，则 ( ) 0gx? .得 ()gx在 (1, )e 上递增，在 ( , )e? 上递减。 故 2( ) ( 1)2 lnxg x xx? ? ?的最大值为 ()g e e? 所以 ae? 综合（ 1）（ 2）得 ae? 22 (本小题满分 14 分 ) 8 9
