1、重庆市 2018 届高三数学 4 月调研测试题（二诊）理 第 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设全集 UR? ，集合 ? ?1,0,1,2A? ， ? ?2| log 1B x x?，则 ()UAB? （ ） A ? ?1,2 B ? ?1,0,2? C ?2 D ? ?1,0? 2.复数 z 满足 (1 2 ) 3z i i? ? ? ，则 z? （ ） A 1i? B 1i? C 15i? D 15i? 3.设等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，若 3 7a? ，
2、 3 12S? ，则 10a? （ ） A 10 B 28 C 30 D 145 4.“ 1cos2 2? ”是“ ()6k k Z? ? ?”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不 充分也不必要条件 5.已知定义域为 I 的偶函数 ()fx在 (0, )? 上单调递增，且 0xI?， 0( ) 0fx? ，则下列函数中符合上述条件的是（ ） A 2( ) | |f x x x? B ( ) 2 2xxfx ? C 2( ) log | |f x x? D 43()f x x? 6.已知向量 a ， b 满足 | | 3ab?且 (0, 1)b?，若向量 a 在向量
3、b 方向上的投影为 2? ，则|a? （ ） A 2 B 23 C 4 D 12 7.中国古代名著孙子算经中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“ ”处应填入（ ） A 221a Z? ? B 215a Z? ? C 27a Z? ? D 23a Z? ? 8.如图，在矩形 ABCD 中， 2AB? ， 3AD? ，两个圆的半径都是 1，且圆心 1O ， 2O 均在对方的圆周上，在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影
4、部分的概率为（ ） A 2312? B 4 2 324? C 10 6 336? D 8 3 336? 9.设函数 6cosyx? 与 5tanyx? 的图象在 y 轴右侧的第一个交点为 A ，过点 A 作 y 轴的平行线交函数 sin2yx? 的图象于点 B ，则线段 AB 的长度为（ ） A 5 B 352 C 1459 D 25 10.某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（ ） A 18 B 8 8 3? C 24 D 12 6 5? 11.已知双曲线 221xyab?（ 0a? ， 0b? ）的左右焦点分别为 1F ， 2F ，点 P 在双曲线的左支上，
5、2PF 与双曲线的右支交于点 Q ，若 1PFQ? 为等边三角形，则该双曲线的离心率是（ ） A 2 B 2 C 5 D 7 12.已知函数 ( ) lnf x x a?， ( ) 1g x ax b? ? ?，若 0x? ， ( ) ( )f x g x? ，则 ba 的最小值是（ ） A 1e? B 1e? C 1e? D 12e? 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从 100 件产品中抽取 5 件进行检测，对这 100 件产品随机编号后分成 5 组，第一组 120 号，第二组
6、2140 号，? ，第五组 81100 号，若在第二组中抽取的编号为 24，则在第四组中抽取的编号为 14.已知实数 x ， y 满足 3 3 0,1 0,1 0,xyxyxy? ? ? ? ? ? ?若目标函数 z ax y?在点 (3,2) 处取得最大值，则实数 a 的取值范围为 15.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为 （用数字作答） 16.设集合 ? ?22( , ) | ( 3 s i n ) ( 3 c o s ) 1 ,A x y x
7、 y R? ? ? ? ? ? ? ?，? ?( , ) | 3 4 1 0 0B x y x y? ? ? ?，记 P A B? ，则点集 P 所表示的轨迹长度为 三、解答题 （ 本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.设函数 ( ) c o s ( 2 ) 2 s in c o s6f x x x x? ? ? （ 1）求 ()fx的单调递减区间； （ 2）在 ABC? 中，若 4AB? ， 1()22Cf ? ，求 ABC? 的外接圆的面积 18.重庆市推行“共享吉利博瑞车”服务，租用该车按行驶里程加用车时间收费，标准是“ 1元 /公里 ?
8、 0.2 元 /分钟”刚在重庆参加工作的小刘拟租用“共享吉利博瑞车”上下班，同单位的邻居老李告诉他：“上下班往返总路程虽然只有 10 公里，但偶尔开车上下班总共也需花费大约 1 小时”，并将自己近 50 天的往返开车的花费时间情况统计如表： 时间（分钟） 15,25) 25,35) 35,45) 45,55) 55,65) 次数 10 18 12 8 2 将老李统计的各时间段频率视为相应概率，假定往返的路程不变，而且每次路上开车花费时间视为用车时间 （ 1）试估计小刘每天平均支付的租车费用（每个时间段以中点时间计算）； （ 2）小刘认为只要上下班开车总用时不超过 45 分钟，租用“共享吉利博瑞
9、车”为他该日的“最优选择”，小刘拟租用该车上下班 2 天，设其中有 ? 天为“最优选择”，求 ? 的分布列和数学期望 19.如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， AC BC? ， 1CC? 平面 ABC ，侧面 11ABBA 是正方形，点 E 为棱 AB 的中点，点 M 、 N 分别在棱 11AB 、 1AA 上，且1 1 138AM AB?，114AN AA? （ 1）证明：平面 CMN? 平面 CEN ； （ 2）若 AC BC? ，求二面角 1M CN A?的余弦值 20.椭圆 E ： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的左右焦点分别为 1( 1,0)F? ， 2(
10、1,0)F ，左右顶点分别为1A ， 2A ， P 为椭圆 E 上的动点（不与 1A ， 2A 重合），且直线 1PA 与 2PA 的斜率的乘积为 34? （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）过 2F 作两条互相垂直的直线 1l 与 2l （均不与 x 轴重合）分别与椭圆 E 交于 A ， B ， C ，D 四点，线段 AB 、 CD 的中点分别为 M 、 N ，求证：直线 MN 过定点，并求出该定点坐标 21.已知函数 ( ) lnf x x? ， 2()g x ax bx?（ 0a? ， bR? ） . （ 1）若 2a? ， 3b? ，求函数 ( ) ( ) ( )F x f x g
11、x?的单调区间； （ 2）若函数 ()fx与 ()gx的图象有两个不同的交点 11( , ( )x f x ， 22( , ( )x f x ，记 120 2xxx ?，记 ()fx， ()gx分别是 ()fx， ()gx的导函数，证明： 00( ) ( )f x g x? 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 2,2xtyt? ? ?（ t 为参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 5cos? （ 1）写出曲线
12、1C 的极坐标方程和 2C 的直角坐标方程； （ 2）记曲线 1C 和 2C 在第一象限内的交点为 A ，点 B 在曲线 1C 上，且 2AOB ?，求 AOB?的面积 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2( ) | 2 | | |f x x x a? ? ? ? （ 1）若关于 x 的不等式 ()f x a? 有解，求实数 a 的取值范围； （ 2）若正实数 m ， n 满足 2m n a?，当 a 取（ 1）中最大值时，求 11mn? 的最小值 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 4 月调研测试卷理科数学答案 一、选择题 1-5:BABBC 6-10:AADCC 11、 12
13、： DB 二、填空题 13.64 14. 1 , )3? ? 15.36 16.43 三、解答题 17.解：（ 1） ( ) c o s ( 2 ) s in 26f x x x? ? ? 3 1 2c o s 2 s in 2 s in 2 s in ( 2 )2 2 3x x x x ? ? ? ? ?， 令 232 2 22 3 2k x k? ? ? ? ? ? ?，解得 51 2 1 2k x k? ? ? ?， kZ? ， 单调递减区间为 5 , 12 12kk?， kZ? （ 2） 21sin( )32C ?， 2536C ?， 6C ? ， 外接圆直径 28sinABr C?，
14、 4r? ，外接圆面积 16S ? 18.解：（ 1）由题可得 如下用车花费与相应频率的数表： 估计小刘平均每天用车费用为1 4 0 . 2 1 6 0 . 3 6 1 8 0 . 2 4 2 0 0 . 1 6 2 2 0 . 0 4 1 6 . 9 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 2） ? 可能的取值为 0,1,2， 用时不超过 45 分钟的概率为 0.8， (2,0.8)B? ， 0 0 22( 0 ) 0 .8 0 .2 0 .0 4PC? ? ? ? ?， 1 1 12( 1) 0 .8 0 .2 0 .3 2PC? ? ? ? ?，2 2 02( 2 ) 0 .8 0
15、 .2 0 .6 4PC? ? ? ? ?， ? 0 1 2 P 0.04 0.32 0.64 ( ) 2 0.8 1.6E ? ? ? ? 19.解：（ 1）设 8AB? ，则 1 3AM? ， 2AN? ， 1 6AN? ， 1tan 2ANNEA AE? ? ?， 11 1tan 2AMM N A AN? ? ?， 1NEA MNA? ? ， 又 2NEA ENA? ? ? ?，所以1 2M NA ENA? ? ? ?， MN EN? ， BC AC? ， CE AB? ， 1 1 1ABC ABC? 为直三棱柱， CE? 平面 11AABB ， MN CE? ， MN? 平面 CEN
16、，平面 CMN? 平面 CEN （ 2）由 AC BC? ，以 C 为原点 CB ， CA ， 1CC 分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，3 2 5 2( , ,8)22M ， (0,4 2,2)N ， 设平面 CMN 的法向量为 1 ( , , )n x y z? ， 由 110,0,n CMn CN? ?解得 1 (9 2, 2, 4)n ? 平面 1CNA 的法向量 2 (1,0,0)n ? ， 设所求二面角平面角 为 ? ， 12123 1 0c o s 10| | | |nnnn? ? 20.解：（ 1）设 00( , )Px y ，由题 22001xyab?，整理得
17、 2222 00 2ayxa b? ? ?， 000034yyx a x a? ? ? ，整理得 2 2 20043x a y? ? ? ， 结合 1c? ，得 2 4a? ， 2 3b? ， 所求椭圆方程为 22143xy? （ 2）设直线 AB ： ( 1)y k x?，联立椭圆方程 223 4 12xy?，得2 2 2 2( 4 3 ) 8 4 1 2 0k x k x k? ? ? ? ?， 得 221 8 42 4 3 4 3M kkx ? ? ?，23( 1) 43MM ky k x k? ? ? ? ?， 222444 433N kx kk?，2213 ( )13( 1 )4 433NNkkyxkkk? ? ? ? ? ? ?， 由题，若直线 AB 关于 x 轴对称后得到直线 AB，则得到的直线 MN与 MN 关于 x 轴对称，所以若直线 MN 经过定点，该定点一定是直线 MN与 MN 的交点，该点必在 x 轴上 设该点为 (,0)Ps ， ( , )MMMP s x y? ? ?， ( , )M N M NN M x x y y? ? ?， 由 /MP NM ，得 N M M NMNx y x ys yy? ? ，代入 M ， N 坐标化简得 47s? ， 经过定点为 4( ,0)7 21.解：（ 1） 2( ) ln 2 3F x
