1、 1 高 2017 级高三下第 3 次月考数学试题（文） 满分： 150 分 考试时间： 120 分钟 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 . 1、已知集合 1,2,3M? ， | ( 1 )( 2 ) 0 , N x x x x Z? ? ? ? ?，则 MN? （ ） A 0,1,2,3 B 1,2 C 1 D 1,0,1,2,3? 2、 复数 11 iz i? ? （ i 为虚数单位）的虚部是（ ） A 1 B -1 C i D i? 3、已知向量 (5, )am? ， (2, 2)b?且 ()a b b?，则 m? （ ） A -9 B 9 C 6
2、D -6 4、 下列函数中，最小正周期为 的偶函数是 ( ) A y sin(2x?) B y cos(2x2?) C y sin2x cos2x D y sinxcosx 5、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ） A 3? B 4? C. 2? D ? 6、长方体的顶点都在同一球面上，其同一顶点处的三条棱长 分别为 3， 4， 5，则该球面的表面积为 （ ） A ?25 B ?50 C. ?75 D ?3 2125 7、已知抛物线 2 8yx? 的准线与双曲线 222 116xya ?相交于 A,B 两 点，点 F 为抛物线的焦点， ABF? 为直角三角形，则双曲线的离心率
3、为 （ ） A 3 B 2 C 6 D 3 8、道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进，某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯 48 秒，红 灯 47 秒，黄灯 5 秒，小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口不等待的概率为（ ） A 0.95 B 0.05 C. 0.47 D 0.48 2 9、如果执行如右图所示的程序框图，那么输出的 S? （ ） A 119 B 600 C 719 D 4949 10、将函数 ( ) s in ( 2 ) 3 c o s ( 2 )f x x x? ? ? ?(
4、0 )? 的图象向左平移 4? 个单位后，得到函数的图象关于点 ( ,0)2? 对称，则函数 ( ) cos( )g x x ?在 , 26? 上的最小值为（ ） A 12? B 12 C 22 D 32? 11、曲线 22( 1) 1( 0)x y x? ? ? ?上的点到直线 10xy? ? ? 的距离最大值为 a ，最小值为 b ，则 ab? 的值为 （ ） A 2 B 2 C 2 12? D 21? 12、已知函数 ln ( 1), 0() 11, 02xxfx xx? ? ?， 若 mn? ， 且 ( ) ( )f m f n? ， 则 nm? 的取值范围是 （ ） A 3 2ln2
5、,2)? B 3 2ln2,2? C 1,2e? D 1,2)e? 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13、已知 tan 2? ，则 ? ? 2cos2sin 14、 若变量 x， y 满足 2,2 3 9,0,xyxyx?则 2x-3y 的最大值是 15、 已知函数 ? ? ? ?122 , 0lo g 1 2 , 0x xfx xx? ? ? ? ? ? ?且 ? ? 1fa? ，则 ? ?6fa? 16、在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别是 ,abc，若 aCbB 2sinsinc ? ， 2?b ， 则ABC? 面积 是 三、解答题 （本大题共 6
6、 小题，共 70 分） 17、 等比数列 ?na 中 ， 11?a ， 326?a ， nS 是等差数列 ?nb 的前 n 项和， 31?b ， 355?S （ I） 求 数列 ?na ， ?nb 的通项公式 3 （ II） 设 nnn bac ? ，求数列 ?nc 的前 n 项和 nT 18、某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班（人数均为 20 人）进行教学（两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致），数学期终考试成绩 茎叶图如下： （ I）现 从乙班数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学，求至少有一名成绩为 90 分的同学被抽中的概
7、率； （ II）学校规定：成绩不低于 75 分的优秀，请填写下面的 22? 联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关” 附：参考公式及数据 19、如图，正三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的所有棱长均为 2， D ， E 分别为 1BB 和 AB 的中点 （ I）证明： AD? 平面 1AEC ； （ II）求点 1B 到平面 1AEC 的距离 . 20、平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 ? ?22:1xyC a bab? ? ? ? ? 4 的左焦点为 F，离心率为 22 ，过点 F 且垂直于长轴的弦长为 2 （ I）求椭圆 C 的标准方程； （ II）设点 A， B 分别是
8、椭圆的左、右顶点，若过点 ? ?2,0P? 的直线与椭圆相交于不同两 点 M， N. （ i）求证： AFM BFN? ? ； （ ii）求 MNF? 面积的最大值 . 21、已知函数 ( ) ln ( )af x x x a Rx? ? ? （ I）当 0a? 时，求曲线 ()y f x? 在 (1, (1)f 处的切线方程； （ II）求证：当 1a? 时， ( ) 1fx? 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22、选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中， 以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
9、 C 的极坐标方程为：24cossin ? ?，直线 l 的参数方程是 2 cos2 sinxtyt? ?（ t 为参数，0 ?） （ I）求曲线 C 的直角坐标方程； （ II）设直线 l 与曲线 C 交于两点 ,AB，且线段 AB 的中点为 (2,2)M ，求 ? 23、选修 4-5：不等式选讲 已知 函数 ( ) | 4 | ( 0 )f x m x m? ? ? ?，且 2) 0fx?的解集为 3, 1? （ I）求 m 的值； （ II）若 ,abc都是正实数，且 1 1 123 ma b c? ? ? ，求证： 2 3 9a b c? ? ? 5 高 2017 级高三下第 3 次月
10、考数学试题（文） 参考答案 一、选择题： ABBAD BADCB CA 二、填空题： (13) 51(14) 6 (15) 1 (16)1 三、解答题： (17)解： （ 1） 因为516 qaa ?， 11?a， 326?a，所以 325?q，所以 2?q ，所以12? nna； 因为 352 45515 ? dbS， 31?b ，解得 2?d ，所以 2)1(3 ? nbn ，即 12 ? nbn （ 2） 因为 nnn bac ? ，所以 122 1 ? ? nc nn ，所以 nn cccT ? ?21 ? ?31? +? ?52? ? ?122 1 ? ? nn? ? ? ? ?12
11、53221 1 ? ? nn ? ? ?2 4221 21 ? nnn 122 2 ? nnn (18) 解 : （ I）乙班数学成绩不低于 80 分的同学共有 5 名 ,其中成绩为 90 分的同学有两名 , 画数状图 (略 )知 ,从中随机抽取两名同学共有 10种 ,至少有一名成绩为 90 分的同学被抽中的事件数为 7 种 ,所求概率为 0.7 ( )如图所示 由 22 4 0 (1 4 1 2 6 8 ) 3 .6 3 2 .7 0 62 2 1 8 2 0 2 0K ? ? ? ? ?知 , 可以判断：有 0090 把握认为“成绩优秀与教学方式有关” . （ 19） （ I）证明：由 ,
12、AC BC AE BE?知 CE AB? 又平面 ABC? 平面 11ABBA ， 所以 CE? 平面 11ABBA 而 AD 平面 11ABBA ， AD CE? 6 在正方形 11ABBA 中 ， 由 DE， 分别 是 1BB 和 AB 的中点知 1AD AE? 而 1AE CE E? ， AD? 平面 1AEC ( )解法 1: 由（ I） AD? 平面 1AEC ,过 1B 点作 1 /BF AD ， 交 1AA 和 1AE分别于点 F 和 H ,则 1BH? 平面 1AEC ,即 1BH 的长为 1B 到平面 1AEC 的距离， 在正方形 11ABBA 中 ,易知 11Rt A AE
13、 Rt B HA?，11 1 1 5532 2 2A E CS A E E C? ? ? ? ? ? ?111 1 1AE AABA BH? 即1522 BH? ,得 1 4 55BH? ， 故 1B 到平面 1AEC 的距离为 455 . 解法 2：如图，连接 11,BEBC ，在三棱锥 11B AEC? 中，设 1B 到平面 1AEC 的距离为 h ， 则1 1 1A EC A EBS h S CE? ? ?， 将11 1 1 5532 2 2A E CS A E E C? ? ? ? ? ? ?， 11 1 1 111 2 2 2 , 322A E BS A B A A C E? ? ?
14、 ? ? ? ? ?代入得 15 232 h? ，得 4 55h? ， 故 1B 到平面 1AEC 的距离为 455 . 7 （ 20） 解 : 解：（ 1） 22?ace , 又 22 2 ?ab ,?（ 2 分） 所以 1,2 ? ba . 所以椭圆的标准方程为 12 22 ?yx ?（ 5 分） （ II）（ i）当 AB 的斜率为 0 时，显然 =0AFM BFN? ? ，满足题意 当 AB 的斜率不为 0 时，设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y， AB 方程为 2?myx 代入椭圆方程 整理得 024)2( 22 ? myym ,则 ? ? 016828
15、16 222 ? mmm ，所以 .2?m ?2224221221myymmyy， ?（ 7 分） 1111 2 21 12 21 1 ? my ymy yx yx ykk NFMF )1)(1( )(2 21 2121 ? ? mymy yyymy .0)1)(1( )24()22(22122 ? ?mymy mmmm 0? NFMF kk ，即 AFM BFN? ? ?（ 9 分） （ ii）21 21 yyPFSSS P MFP N FMN F ? ? ? ?222 2 22221 8 1 6 2 2=14242 24 22mmm m mm? ? ? ? ? ? ?当且仅当2 242 2
16、m m? ?，即 2 6m? .（此时适合 0 的条件）取得等号 . ?三角形 MNF 面积的最大值是 24 ?（ 12 分） 8 (21) （ I） 解 : 0a? ( ) lnf x x x? 得 ( ) ln 1f x x? ? 切点为 (1,0) ,斜率为 (1) 1f? ? ,所求切线方程为 1yx?,即 10xy? ? ? . ( )证明 :法 1： ( ) 1( 1)f x a?,即 2 ln ( 1, 0 )x x a x a x? ? ? ? 1a? 只要证明 2 ln 1 ( 0)x x x x? ? ?即可 令 2( ) ln 1 ( 0 )h x x x x x? ?
17、? ?，则 ( ) 2 ln 1h x x x x? ? ? ? 注意到 (1) 0h? ? ，当 1x? 时， ( ) 0hx? ? ；当 01x?时， ( ) 0hx? ? ， 即 ()hx 在 (0,1) 上是减函数，在 (1, )? 是增函数， ( ) (1) 0h x h?最 小 值 综上知 , 当 1a? 时 ， ( ) 1fx? . 法 2：由 1a? 知 , 1( ) ln ( 0 )f x x x xx? ? ?,令 1( ) ln ( 0 )g x x x xx? ? ? 则 22211( ) ln 1 ln xg x x xxx ? ? ? ? ? ?注意到 (1) 0g? ? ，当 1x? 时， ( ) 0gx? ? ；当 01x?时， ( ) 0gx? ? ， 即 ()gx在 (0,1) 上是减函数，在 (1, )? 是增函数， ( ) (1) 1g x g?最 小 值 ，所以 ( ) 1gx ?最 小 值 , 即 ( ) 1fx ?最 小 值 . 综上知 , 当 1a? 时 ， ( ) 1fx? . (22) 解 : （ I）曲线24cos: sinC ? ?,即 2sin 4cos? ? ? ,于是有 22sin 4 cos
