1、 - 1 - 北京市西城八中 2017 届高三数学上学期期中试题 文（含解析） 一、 选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1已知全集 U?R ，若集合 ? ?2|0A x x x? ? ? ，则 UA? （） A ? |0xx 或 ?1x B ?|0xx? ，或 ?1x? C ? ?|0 1xx? D ? ?|1xx 【答案】 A 【解析】 集合 ? ? ? ?2| 0 | 0 1A x x x x x? ? ? ? ? ?， | 0U A x x? 或 1x ，故选 A 2设 i 为虚数单位，则复数 1iz? 的模 z? （） A 1 B 2 C 2 D 22 【答案】 B 【解析】 1
2、iz? ， 221 ( 1) 2z ? ? ? ?故选 B 3下列函 数中，在区间 (0, )? 上为增函数是（） A ln( 2)yx? B 1yx? ? C 12xy?D 1yxx? 【答案】 A 【解析】 A 选项， ln( 2)yx?在 ( 2, )? ? 上是增函数，所以在 (0, )? 上为增函数，故 A 正确； B 选项， 1yx? ? 在 ( 1 )? 上是减函数，故 B 错误； C 选项， 12xy? 在 R 上是减函数，故 C 错误； D 选项在 ( , 1)? 和 (1, )? 上是增函数，在 (1,0)? 和 (0,1) 上是减函数，故 D 错误 综上，故选 A 4在数
3、列 ?na 中， “ 对任意的 n ?N ， 212n n na a a? ” 是数列 “ ?na 为等比数列 ” 的（） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】充分性：若 0na? ，那么数列 ?na 满足 2 12n n na aa? ，但是 ?na 不是等边数列，故充分性不成立； - 2 - 必要性：若数列 ?na 是等比数列，那么根据等比数列的性质可知 2 12n n na aa? 成立，故必要性成立 所以在数列 ?na 中， “ 对任意 *n?N ， 2 12n n na aa? ” 是数列 ?na 为等比数列的必要不充
4、分条件，故选 B 5将函数 ( ) sin2f x x? 的图像向左平移 6 个单位后，与函数 ()gx 的图像重合，则函数 ()gx? （） A sin 2 6x?B sin 2 6x?C sin 2 3x?D sin 2 3x?【答案】 D 【解析】由题意可知 ( ) s in 2 s in 26 6 3g x f x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，故选 D 6已知 A ， B 为双曲线 E 的左、右定点，点 M 在 E 上， ABM 为等腰三角形，且顶角为 120? ，则 E 的离心率是（） A 5 B 2 C 2 D 3 【答
5、案】 C 【解析】 MNBA xyO设双曲线方程为 221xyab?，（ 0a ? ， 0b? ）， 如图所示， | | | |AB BM? ， 120ABM? ? ? ，过点 M 作 MN x 轴，垂足为 N ， 则 60MBN? ? ? ，在 Rt BMN 中， | | | | 2BM AB a?， 60MBN? ? ? ，即有 | | 2 cos60BN a a? ?，| | 2 sin 60 3M N a a? ? ?，故 (2 , 3 )M a a ，将 M 坐 标代入双曲线方程得 22431aaab?， 故 22ab? ， 222ca? ，所以 2ce a? ，故选 C - 3 -
6、 7函数 1( ) cosf x x xx?（ x? 且 0x? ）的图像可能为（） A xyOBxyOCxyODxyO【答案】 D 【解析】 11( ) c o s ( ) c o s ( )f x x x x x f xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 函数 ()fx为奇函数， 函数 ()fx的图象关于原点对称，故排除 A ， B ， 又当 x? 时， 11( ) c o s 0 f ? ? ? ? ?，排除 C ，故选 D 8某市乘坐出租车的收费办法如下： 不超过 4 千米的里程收费 12 元；超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费（对于
7、其中不足 1 千米的部分，若其小于 0.5 千米则不收费，若其大于或等于 0.5 千米按 1 千米收费）； 当车程超过 4 千米时，另收燃油附加费 1元 - 4 - 相应系统收费的程序框图如图所示，其中 x （单位：千米）为行驶里程， y （单位：元）为所收费用，用 x 表示不大于 x 的最大整数，则图中 1处应填（） y = 12输出 y输入 x否是结束开始A 1242yx? ? ?B 1252yx? ? ?C 1242yx? ? ?D 1252yx? ? ?【答案】 D 【解析】由已知中，超过 4 千米的里程按 每千米 2 元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于 0.5 千米，则不收费，
8、若其大于或等于 0.5 千米，则按 1千米收费）；当车程超过 4 千米时，另收燃油附加费 1元 可得：当 4x? 时， 所收费用 111 2 4 2 1 2 522y x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故选 D 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 9抛物线 2 2yx? 的焦点坐标为 _ 【答案】 1,02?【解析】抛物线 2 2yx? ，开口向左， 1p? ，故焦点坐标为 1,02? 10已知向量 ( ,3)ak?r ， (1,4)b?r ， (2,1)c?r ，且 (2 3 )a b c?r r r ，则实数 k? _ 【答案】 3 -
9、 5 - 【解析】 2 3 2 ( , 3 ) 3 (1, 4 ) ( 2 3 , 6 )a b k k? ? ? ? ? ?， (2 3 )a b c? ， 2(2 3) ( 6) 0k ? ? ? ?， 解得 3k? 11圆 22: ( 2) ( 2) 8C x y? ? ? ?与 y 轴相交于 A ， B 两点，则弦 AB 所对的圆心角大小为_ 【答案】 90? 【解析】由题可知，根据圆的标准方程 22: ( 2) ( 2) 8C x y? ? ? ?，令 0x? ， 解得 1 0x? ， 2 4x? ， 因此， (0,0)A ， (0,4)B ， | | 4AB? ， 在 OAB 中，
10、 | | 2 2OB? ， | | 2 2OA? ， | | 4AB? ， 因此 OAB 为直角三角形，即 90AOB? ? ? ， 故弦 AB 所对的圆心角的大小为 90? 12一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是_，四棱锥侧面中 最大侧面积是 _ 1 1俯视图正视图 侧视图【答案】 36， 74【解析】 - 6 - CBAPOD根据三视图画出该四棱锥的直观图， 可知，底面 ABCD 是边长为 1的正方形， PAD 是边长为 1的正三角形， PO AD 于 O ， O 为 AD 中点， 所以四棱锥的体积为 1 3 3113 2 6V ? ? ? ? ? 四棱锥
11、中最大的侧面是 PBC ， 2PB PC?， 1BC? ， 1 1 7122 4 4S ? ? ? ? ? 13某堆雪在融化过程 中，其体积 V （单位： 3m ）与融化时间 t （单位： h ）近似满足函数关系： 31( ) 1010V t H t?（ H 为常数），其图像如图所示记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为 3(m/h)v 那么 1t ， 2t ， 3t ， 4t 中，瞬时融化速度等于 3(m/h)v 的时刻是图中的_ 【答案】 3t 【解析】 (100) (0)100 0vvv ? ? ，反映的是 ()vt 图象与坐标轴交点连线 的斜率，观察可知 3t 处瞬时速度（即切线的斜
12、率）与平均速度一致 14区域 D 由不等式组 0222xyxy? 给定，若 (, )Mxy 为 D 上的动点，点 ( 2,1)A ， O 为坐标原点，则 OMOA?uuuur uuur 的最大值为 _ 【答案】 4 【解析】 - 7 - 21BxyO 由不等式组确定的平面区域如图所示， 2z D M D A x y? ? ? ?， 即 2y x z? ? ，首先做出直线 2yx? ，将直线 2yx? 平行移动， 当经过点 B 时 y 轴上的截距最大，从而 z 最大 因为 ( 2,2)B ，故 z 的最大值为 4 三、解答题（共 80 分） 15已知函数 2( ) (1 3 tan ) cosf
13、 x x x? （ ）求函数 ()fx的定义域和最小正周期 （ ）当 0,2x ?时，求函数 ()fx的值域 【答案】见解析 【解析】解：（ ）函数 ()fx的定义域为 | ,2x x k k? ? ?Z， 22( ) (1 3 ) c o s c o s 3 s in c o snf x a x x x x x? ? ? ? ? 1 3 1cos 2 sin 22 2 2xx? ? ? 1sin 2 62x? ? ? ()fx的最小正周期 T? （ ） 0,2x ?， 726 6 6x? ? ? ， 1 sin 2 126x? ? ?， 30 sin 2 62x?， - 8 - 故当 0,2
14、x ?时，函数 ()fx的值域为 30,2? ? 16已知数列 ?na 的前 n 项和 nS 满足 4 3 2nnaS?，其中 n ?N （ ）求证：数列 ?na 为等比数列 （ ）设 1 42nnb a n?，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT 【答案】见解析 【解析】解：（ ） 4 3 2nnaS?， 当 1n? 时， 114 3 2aS?，解得 1 2a? ； 当 2n 时， 114 3 2nnaS?， 由 - 得 114 4 3( ) 0n n n na a S S? ? ? ?， 14 4 3 0n n na a a? ? ?， 14nnaa? ， 由 1 2a? 得 0na? ，
15、 故 ?na 是首项为 2 ，公比为 4 的等比数列 （ ）由（ ）知， 124nna ? ， 11 4 4 42 nnnb a n n? ? ? ?， 则 ?nb 的前 n 项和， 0 1 2 1( 4 4 4 4 ) 4 (1 2 3 )nnTn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 4 ( 1)41 4 2n nn? ? ? 2412233n nn? ? ? ? 17如图，椭圆 2 2:14xCy?的左顶点为 A ， M 是椭圆上 C 上异于点 A 的任意一点，点 P 与点 A 关于点 M 对称 （ ）求点 A 的坐标和椭圆 C 的离心率 （ ）若椭圆 C 上是否存在点 M ，使得
16、OP OM? ，若存在，求出 M 横坐标的取值；若不存在，说明理由 【答案】见解析 - 9 - 【解析】解：（ ）椭圆 2 2:14xCy?， 2a? ， 1b? ， 3c? ， 故 A 点坐标为 (2,0)? ，离心率 32ce a? （ ）在椭圆 C 上不存在点 M ，使 DP OM ，理由如下： 假设存在点 M 使 OP OM ，设 M 点 00( , )xy ，则 00(2 2,2 )P x y? 且 2 200 14x y?， OP OM ， 0 0 0 0(2 2) 2 0x x y y? ? ? ?， 化简得 2003 104 xx? ? ?， 31 4 2 04? ? ? ? ? ? ?， 方程无解 故在椭圆 C 上不存在点 M ，使得 OP OM 18某中学有初中生 1800 人，高中学生 1200 人为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按 “ 初中学生 ” 和“ 高中学生 ” 分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为 5 组： 0,10) ， 10,20) ，20,30) ， 30,40) ， 40,50 ，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 （ ）写出 a 的值 （ ）试估计该校学生中，阅读时间不小于 30 小时的学生人数 （ ）从阅读时间不足 10 小时的样本学
