1、 - 1 - 洛阳市 2017-2018学年高中三年级期中考试 数学试卷（理） 一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】因为 ， ，所以 因为 ，所以 ， ，选 C. 2. 设复数 满足 （ 是虚数单位），则 的共轭复数 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】, ,， 故选 A. 3. 下列说法中正确的个数是（ ） “ 为真命题 ” 是 “ 为真命题 ” 的必要不充分条件； 命题 “ ， ” 的否命题是 “ ， ” ；
2、 若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真 . A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 B 【解析】对于 ，若 “ ” 为真命题，则 都为真命题， “ ” 为真命题，若为真命题，只需 为真命题或 为真命题， “ ” 不一定为真命题，所以 “ 为真命题 ”是 “ 为真命题 ” 的充分不必要条件，故 错误；对于 ，命题 “ ， ”的否定是 “ ” ， 故 错误；对于 ， 因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以 正确，即正确命题的个数为 ，故选 B. 4. 函数 的大致图象是（ ） - 2 - A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】首先函数 为偶函数，图象关于 轴对称，排除 C、
3、 D，当 时， ，图象就是把 的图象向右平移 1个单位，可见选 B. 5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】由三视图知，该几何体是一个一条侧棱与底面垂直 ， 底面是边长为 的 正方形的四棱锥，其中两个侧面面积为 ， 两个侧面面积为 ，底面积为 ， 所以表面积为 ，故选 D. 6. 等比数列 中， ， ，函数 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】试题分析：因为函数 ， ， - 3 - 则 故选 C 考点：导数的运算 . 7. 将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的取值不可能是（
4、 ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 ,将函数 的图象向左平移 个单位后得 到 ， ， 为偶函数， ， 当 时， 的取值分别为 ， ， 的取值不可能是， 故选 B. 8. 向量 ， 均为非零向量， ， ，则 ， 的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ， ，所以 ， 即，设 的夹角为 ， ，又 ，所以 的夹角为 ，故选 A. 9. 已知数列 的首项 ， ，则 （ ） A. 99 B. 101 C. 399 D. 401 【答案】 C 【解析】由 ， 可得， 是以 为公差 ， 以 为首项的等差数列 ， 故选 C. 10. 在三棱锥 中，底面 是直角三角形，
5、其斜边 ， 平面 ，且- 4 - ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图： 则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于 ， 且 是直角三角形，平面 ， 长方体的对角线长为， 三棱锥的外接球的半径 ，三棱锥的外接球的表面积为 ， 故选 A. 【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题 .要求外接球的表面积和体积，关键是求 出求的半径，求外接球半径的常见方法有： 若三条棱两垂直则用（ 为三棱的长）； 若 面 （ ），则（ 为 外接圆半径）； 可以转化为长方体的外接球； 特殊几何体可以直接找出球
6、心和半径 . 11. 已知函数 若关于 的方程 有 8个不等的实数根，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】作出函数 的图象如图：注意 ， - 5 - 设 ,当 时， 有 4个实根，若方程 在 上有两个不等实根时，方程 有 8个不等实根，则： . 解得： ，选 C. 【点睛】方程的根的个数控制问题是近几年高考和模拟考试常见考题，一般先画出函数的图 象，设 t=f(x),化方程的根的个数问题为直线 y=t与曲线 y=f(x)的交点的个数问题去解决，然 后观察 t的范围，利用利用一元二次方程的根的分布控制 t的个数 t的范围，从而得出参数 的范围 . 12. 用
7、 表示不超过 的最大整数（如 ， ） .数列 满足 ，（ ），若 ，则 的所有可能值的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】 B 【解析】对 两边取倒数， 得 ， 累加得， 由 为单调递增数列 ， ， 其中 ， 整数部分为 ， ， 整数部分为 ， ，整数部分为 ， 由于 ，- 6 - 时， 的整数部分都是 ， 的所有可能值得个数为 ， 故选 B. 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 设变量 、 满足约束条件： 则 的最大值是 _ 【答案】 8 【解析】 作出约束条件 所对应的可行域（如图 ）， 而 表示可行域内的点到原点距离的平方，数形
8、结合可得最大距离为 或 ， 的最大值为 ，故答案为 . 14. 若定义在 上的函数 ，则_ 【答案】 【解析】由定积分的几何意义可得 ， 是以原点为圆心，以 为半径的圆的面积的一半， ， ， 故答案为 . 15. 设 、 均为正数，且 ，则 的最小值为 _ 【答案】 【解析】 均为正数 ， 且 ， ， 整理可得， 由基本不等式可得 ， 整理可得 ， 解- 7 - 得 或 （ 舍去） ， ， 当且仅当 时取等号， 故答案为 . 【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题 .利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握 “ 一正，二定，三相等 ” 的内涵：一正是，首先要判断参数是否 为
9、正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立） . 16. 已知函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，且当 时，则不等式 的解集为 _ 【答案】 【解析】 ， ，当 时， ， ，说明 在 上为增函数， 为偶函数，则 为偶函数，图象关于 轴对称，所以 在 上是减函数，原不等式可化为，则 或，即 或 ，不等式的解集为 三、解答题 （本 大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知向量 ， （ 1）若 ，求 的值； （
10、2）令 ，把函数 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿 轴向左平移 个单位，得到函数 的图象，求函数 的单调增区间即图象的对称中心 . 【答案】 (1) (2) 的单调增区间是 （ ），函数 图象的对称中心为 （ ） 【解析】试题分析：先根据数量积的坐标运算公式求出数量积，由于向量垂直，所以数量级为 0，得出 tanx,再利用二倍角正切公式求出 tan2x的值，第二步求出函数 f(x)的表达式化为标准形式后，函数 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），相当于 x替换为 2x, 再把所得图象沿 轴向左平移 个单位，相当于把 x替换为 ，得到函数
11、- 8 - 的解析式，根据解析式求出单增区间和对称中心 . 试题解析： （ 1） ， 即 ， . （ 2）由（ 1）得 ，从而 . 解 得 （ ）， 的单调增区间是 （ ）， 由 得 （ ），即函数 图象的对称中心为（ ） . 【点睛】函数图像变换包括平移变换、伸缩变换、对称变换以及旋转变换，主要掌握前 3种，把函 数图象沿 x轴向左或向右平移，我们常称之为 “ 左加右减 ” ，沿 y轴上下平移，我们常称为 “ 上加下减 ” ；纵坐标不变横坐标伸长或缩短到原来的 倍，对应的解析式就是把 替换为 ，掌握基本图象变换方法，就可以方便的解题了 . 18. 已知数列 满足 ， ，设 . （ 1）求证：
12、数列 为等比数列，并求 的通项公式； （ 2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： . 【答案】 (1) (2)详见解析 【解析】试题分析：（ I） 可化为 即， ，从而可得数列 为等比数列，进而可得 的通项公式；（ II）由（ I）可得 ，分组求和后， 利用放缩法可得结论 . 试题解析：（ I）由已知易得 ，由 得 即 ； - 9 - , 又 , 是以 为首项，以 为公比的等比数列 . 从而 即 ，整理得 即数列 的通项公式为 . （ II） ， ， ， . 19. 在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且 . （ 1）求 的大小； （ 2）若 为 的中点，且 ，求 面积的最大值 . 【
13、答案】（ 1） （ 2） 【解析】试题分析：（ I）首先正切化弦，然后利用两角和的余弦公式可得 ，从而可得 ，进而可得结果；（ II）由余弦定理可得 ，利用基本不等式可得 ，结合三角形面积公式可得结果 . 试题解析：（ I）由 ，得 ， ， ， ， 又 . （ II）在 中，由余弦定理得 . - 10 - 在 中，由余弦定理得 ， 二式相加得 ， 整理得 ， ， 所以 的面积 ， 当且仅当 时 “ ” 成立 . 的面积的最大值为 . 20. 已知函数 ，其导函数 的两个零点为 -3和 0. （ 1）求曲线 在点 处的切线方程； （ 2）求函数 的单调区间； （ 3）求函数 在区间 上的最值 . 【答案】（ 1） （ 2） 的单调增区间是 ， ，单调递减区间是（ -3,0） .（ 3）函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 -1. 【解析】试题分析：对函数求导，由于导函数有两个零点，所以这两个零点值满足 ，解方程组求出 m,n；利用导数的几何意义求切线方程，先求 f(1),求出切点，再求 得出斜率，利用点斜式写出切线方程，求单调区间只需在定义域下解不等式 和 ，求出增区间和减区间；求函数在闭区间上的最值，先研究函数在该区间的单调性、极值，求出区间两端点的函数值，比较后得出最值 . 试题解析： （ 1） ， ， 由 知 ，解得 从而 ， . 所以 ， ，
