1、 1 台州市 2016 学年第一学期高三 数学 期末质量评估试题 第 卷（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 个小题 ,每小题 4 分 ,共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知全集 ，集合 ， ,则( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 因为 ，所以 ，应选答案 B。 2. 已知复数 的虚部 1，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 因为 ，所以 ，应选答案 A。 3. 已知随机变量 ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 因为 ，所以 ，应选答案 C。 4. 已知 ，则 ( ) A
2、. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 因为 ，所以 ，应选答案C。 5. 已知实数 满足 ，则 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 2 【答案】 A 【解析】 因为 ，又 ，所以，应选答案 A。 6. 已知 ，则 “ ” 是 “ 抛物线 的焦点在 轴正半轴上 ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】 若 “ ” ，则 中的 ，所以 “ 抛物线 的焦点在 轴正半轴上 ” 成立，是充分条件；反之，若 “ 抛物线 的焦点在 轴正半轴上 ” ，则 中的 ，即 ，则 “ ” 成立，故是充分必要条件，
3、应选答案 C。 . 7. 已知函数 ，下列选项中不可能是函数 图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 因 ，故当 时，判别式 ，其图像是答案C 中的那种情形；当 时，判 别式 ，其图像是答案 B 中的那种情形；判别式 ，其图像是答案 A 中的那种情形；当 ，即 也是答案 A 中的那种情形，应选答案 D。 3 8. 袋子里装有编号分别为 “ ” 的 个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取 个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的 个球编号之和大于 的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由题设取三个球的所有可能有 ，其中编号之和小于或等于 7
4、 的所有可能有 共 6 种，其概率，所以 个球编号之和大于 的概率为 ，应选答案 B。 9. 已知函 数 ，则方程 的实根个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 当 时，则 ，在同一直角坐标系中画出函数 的图像如上图，则两图像有 3 个交点，即方程有 3 个实数根；当 时，则 ，在同一直角坐标系中画出函数的图像如下图，则两图像有 1个交点，即方程有 1 个实数根 .。所以方程共有 4 个实数根，应选答案 D。 4 点睛：本题也是一道难题，求解时充分利用题设条件中提供的信息，借助转化与化归的数学思想、函数方程思想、数形结合的数学思想等重要数学思想与方法， 通过对绝对值问题的
5、分类讨论使得问题的求解得到转化与化归，借助函数的图像之间的变换使得问题变得更加直观与简捷。 10. 如图，在矩形 中， 四边形 为边长为 的正方形，现将矩形沿过点 的动直线翻折，使翻折后的点 在平面 上的射影 落在直线 上 ,若点在折痕上射影为 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 5 【解析】 由于 平面 ， 平面 ，则 ，故 三点共线。建立如上图所示的平面直角坐标系，则 ，过点 的直线的方程为，则点 到直线 的距离 ；又 因，则直线 的方程为 ，令 可得 ，则点到直线 的距离 ，则，令 ，则 ，（当且仅当时取等号），故应选答案 A。 点睛：本题的解答过程中，先借助空
6、间线面的垂直位置关系，断定 三点共线，进而构建平面直角坐标系，建立过点 的直线的方程为 ，再运用点到直线的距离公式，求出点 到直线 的距离 ；再借助 ，建立直线 的方程为 ，进而运用点到直线的距离公式求得到直线 的距离 ，最后得到，然后运用换元法与基本等式使得问题巧妙获解。 11. 已知函数 ，则 _， _ 【答 案】 (1). 1 (2). 0 6 【解析】 由分段函数的定义可得 ，则 ，应填答案。 12. 以坐标原点 为圆心，且与直线 相切的圆方程是 _，圆 与圆的位置关系是 _ 【答案】 (1). (2). 相交 【解析】 由题意所求圆的半径等于原点 到直线 的距离，即 ，则所求圆的方程
7、为 ；因圆 与圆 的圆心和半径分别为，且 ，故两圆的位置关系是相交，应填答案 和相交。 13. 已知公差不为 的等差数列 ，若 且 成等比数列，则_ _ . 【答案】 (1). 1 (2). 【解析】 由题设条件可得 ，则 ，应填答案 1 和 。 14. 某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是长方形，侧视图是一个等腰梯形，则该几何体的体积是 _，表面积是 _ 【答案】 (1). (2). 【解析】 由题设中提供的三视图的图形信息与数据信息可知该几何体是一个底面是梯形的横卧的四棱柱，其体积 ，表面积为，其中7 ，故该几何体的表面积，应填答案 。 15. 已知在 中，内角 的对边分别为 且 ，
8、则 的面积为 _ 【答案】 【解析】 由题设条件 得 ，则由 可得， 与 联立可得， ，故 ，由正弦定理 ，则 ，所以的面积 ，应填答案 。 16. 已知不共线的平面向量 满足 若向量 ,且, ，则 _ 【答案】 【解析】 设 ，则由题意 三点共线，由题设条件 得，即 是 中 的平分线，由角平分线的性质可得，故 ，即 ，也即 ，所以，则 ，应填答案 。 点睛：解答本题的关键借助题设条件断定 是 中 的平分线，然后再由角平分线的性质可得 ，进而得到 ，即 ，也即，最后得到 ，再运用待定系数的思想求得 ，使得问题简捷、巧妙获解。 17. 已知函数 ,当 时，设 的最大值为 ，则 的最小值为 _ 【
9、答案】 8 点睛：解答本题的难点在于分析函数的最大值是如何取得的，在一个就是如何构造绝对值不等式使得问题成立。求解时充分借助题设条件，先分出函数的最大值只有在 中产生，如果直接求其最大值则很难奏效，这里是运用绝对值不等式的性质及不等式取等号的条件，也就是等且仅当 时取等号，即 取等号，这是解 答本题的关键，也是解答本题的难点。 18. 已知函数 的最小正周期为 ，且 为 图像的一条对称轴 . () 求 和 的值； () 设函数 ,求 的单调递减区间 . 【答案】 () ； () . 【解析】 【试题分析】（ 1）借助题设条件先运用周期公式求出 求出 借助取最值时的条件 ,求出 , 由 ，得 ；
10、（ 2）借助正弦曲线的单调递减区间求解不等式： () 因为 的最小正周期为 , 由 所以 由 , 所以 的图像的对称轴为 , 9 由 ，得 () 函数 . . 所以 的单调递减区间 . 19. 如图 ,在边长为 的菱形 中 , 为 的中点 ,点 为平面 外一点 ,且平面 平面 () 求证 : 平面 ; () 求直线 与平面 所成角的正弦值 . 【答案】 () 证明见解析；（ ） . 【解析】 【试题分析】（ 1）借助题设条件运用面面垂直的性质定理推证；（ 2）建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式的运算和数量积公式进行求解： () 证明 :在边长 的菱形 中 , 又因为 , 所以 , 所以 . 因为平面 平面 .平面 平面 , 又因为 平面 所以 平面 . （ ）以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴，如图建立空间直角坐标系，由已知 得 设平面 的法向量 ， 因为 由 ，得 设 ,所以 , 10 所以 . 又因为 , 所以 . 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 20. 已知函数 . () 当 时 ,求 在 处的切线方程 ; () 当 时 ,求 在区 间 上的最小值 (用 表示 ). 【答案】 () ； () . 【解析】 【试题分析】（ 1）借助题设运用导数的几何意义 () 当 时 , 所以 , 所以 在 处的切线方程 . () 当 时 ,由已知得
