1、 1 北京市西城区 2016 2017 学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科） 第卷 （选择题 共 40 分） 一、 选择 题 ：本大题 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项 1 已知集合 | 0 2A x x? ? ?， 2 | 1 0B x x? ，那么 AB? （ A） | 0 1xx? （ B） | 1 2xx? （ C） | 1 0xx? （ D） |1 2xx? 2 下列函数中，定义域为 R 的奇函数是 （ A） 2 1yx? （ B） tanyx? （ C） 2xy? （ D） siny x x? 3 已知双曲线 222
2、 1 ( 0)yxbb? ? ?的一个焦点是 (2,0) ，则其渐近线的方程为 （ A） 30xy? （ B） 30xy? （ C） 30xy? （ D） 30xy? 4 在极坐标系中， 过点 (2, )6P ? 且平行于极轴的直线的方程是 （ A） sin 1? （ B） sin 3? （ C） cos 1? （ D） cos 3? 5 某 四棱锥 的三视图如图所示， 该四棱锥的四个 侧面的面积中最大的是 （ A） 3 （ B） 25 （ C） 6 （ D） 35 6 设 ,ab是非零向量 ，且 ?ab则“ | | | |?ab”是“ ( ) ( )? ? ?a b a b”的 2 （ A）
3、充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分 也 不必要条件 7 实数 ,xy满足 3, 0,6 0.xxyxy?若 z ax y?的最大值 为 39a? ，最小值为 33a? ，则 a 的取值范围是 （ A） 1,0? （ B） 0,1 （ C） 1,1? （ D） ( , 1 1, )? ? ? 8在空间直角坐标系 Oxyz? 中， 正四面体 P ABC? 的顶点 A ， B 分别在 x 轴， y 轴上移动若该 正四面体的 棱长是 2 ，则 |OP 的取值范围是 （ A） 3 1, 3 1? （ B） 1,3 （ C） 3 1,2? （ D） 1, 3 1
4、? 第卷 （非选择题 共 110 分） 二、填空题 ：本大题 共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 3 9 复数 1i1i? _ 10 设 等比数列 na 的各项均为正数，其前 n 项和 为 nS 若 1 1a ? ， 3 4a? ，则 na ? _； 6S? _ 11 执行如图所 示的程序框图，输出的 S 值为 _ 12 在 ABC 中， 角 ,ABC 的对边分 别为 ,abc 若 3c? ， 3C ? ，sin 2sinBA? ，则 a? _ 13 设 函数3, 0 ,() lo g , ,x x afx x x a? ? ? 其中 0a? 若 3a? ， 则 (9)ff ? _；
5、若 函数 ( ) 2y f x?有两个零点，则 a 的取值范围 是 _ 14 10 名象棋选手进行单循环赛（ 即每两名选手比赛一场 ） 规定两人对局胜者得 2 分，平局各得 1分，负者得 0 分 ， 并按总得分 由 高到低进行排序 比赛结束后， 10 名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的 45 则第二名选手的得分是 _ 三、解答题 ：本 大题 共 6 小题，共 80 分 解答应写出 必要的 文字说明 、证明过程或 演算步骤 15 （本小题满分 13 分） 4 已知函数 2( ) s i n ( 2 ) 2 c o s 16f x x x? ? ? ?( 0)? 的最小正
6、周期为 （ ） 求 ? 的值； （ ） 求 ()fx在区间 70, 12 上的最大值和最小值 16 （本小题 满分 14 分） 如图，在 四棱锥 P ABCD- 中， /AD BC ， 90BAD ?， PA PD? ， AB PA? ， 2AD? ，1AB BC? （ ） 求证： 平面 PAD? 平面 ABCD ； （ ） 若 E 为 PD 的 中 点， 求证： /CE 平面 PAB ； （ ） 若 DC 与平面 PAB 所成 的 角为 30? ， 求 四棱锥 P ABCD- 的体积 17 （本小题满分 13 分） 手机完全充满电量，在 开机不使用的 状态下，电池靠自身消耗一直到出现低 电量
7、警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间 为了解 A， B 两个不同型号 手机的待机时间，现从某卖场库存手机中 随机 抽取 A， B 两个型号的手机各 7 台，在相同条件下进行测试 ， 统计结果如下 ： 手机编号 1 2 3 4 5 6 7 A 型 待机时间（ h） 120 125 122 124 124 123 123 B 型 待机时间（ h） 118 123 127 120 124 a b 其中， a， b 是正整数，且 ab? （） 该卖场有 56 台 A 型手机，试估计其中待机时间不少于 123 小时 的台数； （ ） 从 A 型号被测试的 7 台手机 中随机抽取 4 台，记待机时间大
8、于 123 小时 的台数为 X， 求 X 的分布列 ； （ ） 设 A， B 两个型号 被测试 手机 待机时间 的平均值相等，当 B 型号被测试 手机 待机时间 的方差最小时，写出 a， b 的值（结论不要求证明） 5 18 （本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) ln s in ( 1)f x x a x? ? ? ?， 其中 a?R （ ） 如 果曲线 ()y f x? 在 1x? 处 的切线的斜率是 1? ，求 a 的值； （ ） 如果 ()fx在区间 (0,1) 上为增函数 ，求 a 的取值范围 19 （本小题满分 14 分） 已知直线 :l x t? 与椭圆 22:142xyC
9、?相交于 A ， B 两点 ， M 是椭圆 C 上一点 （）当 1t? 时，求 MAB 面积的最大值； （ ）设直线 MA 和 MB 与 x 轴分别相交于点 E ， F ， O 为原点 证明： | | | |OE OF? 为定值 20 （本小题满分 13 分） 数字 1, 2, 3, , ( 2)nn 的 任意 一个排列 记作 12( , , , )na a a ， 设 nS 为所有这样的 排列 构成的集合 集合 12 ( , , , ) |n n nA a a a S?任意整数 , ,1i j i j n? ，都有 ija i a j? ；集合12 ( , , , ) |n n nB a a
10、 a S?任意整数 , ,1i j i j n? ， 都有 ija i a j? （）用列举法表示集合 3A ， 3B ； （）求集合 nnAB的元素个数 ； （） 记 集合 nB 的元素个数 为 nb 证明： 数列 nb 是 等比数列 北京市西城区 2016 2017 学年度第一学期期末 6 高三数学 （理科） 参考答案及评分标准 2017.1 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分， 共 40 分 . 1 B 2 D 3 B 4 A 5 C 6 C 7 C 8 A 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9 i 10 12n? ； 6311 3? 12 3
11、 13 2 ； 4,9) 14 16 注：第 10， 13 题第一空 2 分，第二空 3 分 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 其他正确解答过程，请参照评分标准给分 . 15 （本小题满分 13 分） 解： （ ） 因为 2( ) s i n ( 2 ) ( 2 c o s 1 )6f x x x? ? ? ? ( s i n 2 c o s c o s 2 s i n ) c o s 266x x x? ? ? ? ?4 分 31s in 2 c o s 222xx? sin(2 )6x?， 6 分 所以 ()fx的最小正周期 2 2T ?, 解得 1? 7 分 （ ）
12、由 （ ） 得 ( ) sin(2 )6f x x? 因为 712x 0 ，所以 426 6 3x? 9 分 所以， 当 2 62x? ，即 6x? 时， ()fx取得最 大 值 为 1； 11 分 当 42 63x? ，即 712x? 时， ()fx取得最小值 为 32? 13 分 16 （本小题满分 14 分） 解：（）因为 90BAD?，所以 AB AD? ， 1 分 7 又因为 AB PA? ， 所以 AB? 平面 PAD 3 分 所以 平面 PAD? 平面 ABCD 4 分 （ ）取 PA的中点 F ，连接 BF， EF 5 分 因为 E 为 PD 的 中 点，所以 /EFAD ，
13、12EF AD? ， 又因为 /BCAD ， 12BC AD? ， 所以 /BCEF ， BC EF? 所以四边形 BCEG 是平行 四边形， /ECBF 7 分 又 BF? 平面 PAB ， CE? 平面 PAB ， 所以 /CE 平面 PAB 8 分 （ ） 过 P 作 PO AD? 于 O， 连接 OC 因为 PA PD? ，所以 O为 AD中点，又 因为 平面 PAD? 平面 ABCD ， 所以 PO? 平面 ABCD 如 图建立空间直角坐标系 Oxyz- 9 分 设 POa? 由题意得， (0,1,0)A ， (1,1,0)B ， (1,0,0)C ， (0, 1,0)D ? ， (
14、0,0, )Pa 所以 (1,0,0)AB? ? ， (0,1, )PA a? ?， (1,1,0)DC? ? 设平面 PCD 的法向量为 ( , , )x y z?n ，则 0,0,ABPA? ?nn即 0,0.xy az? ?令 1z? ，则 ya? 所以 (0, ,1)a?n 11 分 因为 DC 与平面 PAB 所成角为 30 ， 所以2| | | 1| c o s , | = s in 3 0 2+ 1 2| | |D C aDCaDC? ? ? ? ?|nnn， 解得 1a? 13 分 所以 四棱锥 P ABCD? 的体积 1 1 1 2 1113 3 2 2P A B C D A
15、 B C DV S P O? ? ? ? ? ? ? ? ? 14 分 17 （本小题满分 13 分） 8 解：（） 被检测的 7 台手机中有 5 台的待机时间不少于 123 小时 ，因此，估计 56 台 A 型手机中有556 407? 台手机的待机时间不少于 123 小时 3 分 （ ） X 可能的取值为 0,1,2,3 4 分 4711( 0) 35CPX ? ? ?； 133447CC 12( 1) 35CPX ? ? ?； 223447CC 18( 2 ) 35CPX ? ? ?； 3447C 4( 3) 35CPX ? ? ? 8 分 所以， X 的分布列 为： X 0 1 2 3
16、P 135 1235 1835 435 10 分 （ ）若 A， B 两个型号 被测试 手机的待机时间 的平均值相等，当 B 型号被测试 手机的待机时间的方差最小时， 124a? ， 125b? 13 分 18 （本小题满分 13 分） 解：（） 函数 ()fx的定义域是 (0, )? ， 1 分 导函数为 1( ) c o s ( 1)f x a xx? ? ? ? ? 2 分 因为曲线 ()y f x? 在 1x? 处 的切线的斜率是 1? ， 所以 (1) 1f? ? ，即 11a? ? ， 3 分 所以 2a? 4 分 （ ） 因为 ()fx在区间 (0,1) 上为增函数 ， 所以对于
17、 任意 (0,1)x? ，都有 1( ) c o s ( 1 ) 0f x a xx? ? ? ? ? 6 分 因为 (0,1)x? 时， cos( 1) 0x?， 所以 11( ) c o s ( 1 ) 0c o s ( 1 )f x a x ax x x? ? ? ? ? ? ? 8 分 9 令 ( ) cos( 1)g x x x? ? ?，所以 ( ) c o s ( 1 ) s i n ( 1 )g x x x x? ? ? ? ? ? 10 分 因为 (0,1)x? 时， sin( 1) 0x?， 所以 (0,1)x? 时， ( ) 0gx? ? ， ()gx 在区间 (0,1) 上单调递增， 所以 ( ) (1) 1g x g? 12 分 所以 1a 即 a 的取值范围 是 ( ,1? 13 分 19 （本小题满分 14 分） 解：（）将 1x? 代入 22142xy?， 解得 62y? ，所以 | | 6AB?
