1、 2021 届高三上学期卫冕联考 文数试卷 本试卷共 4 页，23 题（含选考题）.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定 位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效. 4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对
2、应的答 题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效. 5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z满足(1)2zii，则z在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合 2 4Ax x， 1Bx yx，则AB （ ） A.2,1 B.2,1 C.0,1 D.,2 3.已知ABC为正三角形，则tan 4 A 的值为（ ） A.23 B.23 C.23 D.23 4.已知 2 log3a ， 1 2 log 3
3、b ， 2 log 3 2c ，则a，b，c的大小关系为（ ） A.cba B.acb C.abc D.bac 5.某地 2019 年 1 月到 10 月居民消费价格指数（CPI（%） ）与工业品出厂价格指数（PPI（%） ）的曲线图如 下： 则下面说法不正确的是（ ） A.2019 年 1 月到 10 月，CPI（%）的值比相应时期的 PPI（%）的值要大 B.2019 年 1 月到 10 月，10 月份 CPI（%）与 PPI（%）之差最大 C.2019 年 1 月到 10 月，CPI（%）的值逐月增长 D.2019 年 1 月到 10 月，PP（%）有 4 个月份为负值 6.已知数列 n
4、 a为等差数列，且 2 2a ， 6 6a ，则 12232021 111 a aa aa a （ ） A. 18 19 B. 19 20 C. 20 21 D. 21 22 7.我国经典数学名著 九章算术 中有这样的一道题： 今有出钱五百七十六， 买竹七十八个， 欲其大小率之， 问各几何？其意是：今有人出钱 576，买竹子 78 根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比 小竹子贵 1 钱，问买大、小竹子各多少根?每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中，大竹子每根的单价 可能为（ ） A.9 钱 B.8 钱 C.7 钱 D.6 钱 8.在ABC中，1AB ，2AC ，2BDDC，3A
5、D AC，则cosBAC（ ） A. 1 2 B. 1 4 C. 3 2 D. 5 6 9.执行图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A. 45 2 B. 50 2 C. 55 2 D. 60 2 10.过双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的右焦点F作倾斜角为60的直线交E于A，B两点，交y轴于 点C，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为N，且满足3| |FNFC，则E的离心率的取值范围为 （ ） A. 3 5 , 5 B. 2 5 , 3 C. 2 5 1, 3 D. 3 5 1, 5 11.若函数( ) xx f xeex ，则不等式(| 1)(2 )0fxfx的解
6、集为（ ） A. 1,) B.(,1 C.(0,1) D.( 1,0) 12.已知函数( )sin(0)f xx在区间 2 , 33 ，上单调递增，且( )1f x 在区间0,2 上有唯一的 实数解，则a的取值范围是（ ） A. 3 0, 4 B. 3 3 , 4 2 C. 1 3 , 4 2 D. 1 3 , 4 4 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 2223 题为选考题， 考生根据要求作答. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分. 13.抛物线 2 20yx的焦点到其准线的距离为_. 14.已知正项等比数列 n a中， 26
7、64aa， 5 16a ，则 126 111 aaa _. 15.已知直线:4l yx与曲线 2 :4C yx，在曲线C上随机取一点M，则点M到直线l的距离不大 于 2 的概率为_. 16.已知三棱锥PABC的所有棱长都是 2，四个顶点P，A，B，C都在球O的球面上，记球O的表面 积是S，过棱AB的平面被球O截得的截面面积的最小值为 2 S，则的值为_. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 在我国抗击新型冠状病毒肺炎期间，素有“南抖音，北快手”之说的小视频除了给人们带来生活中的快乐 外，更在于传递了一种正能量，为抗疫起到了积极的作用，但一个优秀
8、的小视频在有很好的素材与拍摄成 品外， 更要有制作上的技术要求.某同学为提高自己的制作水平， 将所制作的某小视频发到自己的朋友圈里， 并请朋友圈的朋友按自己的审美给予评价，通过收集 100 位朋友（男、女各前 50 位）的评价，得到下面的 列联表： 优秀 不优秀 男性朋友 35 15 女性朋友 27 23 （1）分别估计男、女性朋友对该小视频评价优秀的概率； （2）能否有 95%的把握认为对该小视频的制作评价是否优秀与性别有关？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc Knabcd ab cd ac bd . 2 0 P Kk 0.050 0.010 0.001 0 k 3.841
9、 6.635 10.828 18.（本小题满分 12 分） 已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 2 sin2 3 sin 2 A aBb. （1）求角A的大小； （2）若ABC的外接圆半径为 1，求bc的最大值. 19.（本小题满分 12 分） 如图所示的斜三棱柱 111 ABCABC中，点 1 A在底面ABC的投影O为AC边的中点，3AB，4AC ， 5BC ， 1 4AA . （1）证明：平面 1 ABC 平面 11 ACC A； （2）求点C到平面 1 ABC的距离. 20.（本小题满分 12 分） 如图所示椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、
10、右顶点分别为 1 A， 2 A，上、下顶点分别为 1 B， 2 B，右焦 点为F， 1 3AF ，离心率 1 2 e . （1）求椭圆C的方程； （2）过点(0,1)E作斜率为的直线l与椭圆C交于点M，N（点N在第一象限） ，直线 1 MB与直线 2 NB交 于点T，求点T的坐标. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数( )ln x f xxe. （1）求曲线( )yf x在点(1, (1)Pf处的切线方程； （2）证明：( )20f x . 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标
11、系xOy中，曲线C的参数方程为 cos sin x y （为参数） ，以坐标原点为极点，x轴正半轴为 极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2 cos1 4 . （1）写出曲线C的极坐标方程及直线l的直角坐标方程； （2）设直线l与曲线C的交点分别为A，B，点P（异于A，B两点）在曲线C上运动，求PAB面积 的最大值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知不等式|1|3(0)xmxm对xR恒成立. （1）求实数m的取值范围； （2）记m的最大值为k，若0a ，0b ，abk，证明：2ab. 2020 届高三卫冕联考 文数参考答案及评分细则 一、选择题 1.A【解析】由(
12、1)2zii，得 22 (1) 1 1(1)(1) iii zi iii ，所以z在复平面内对应的点位于第一象限. 故选 A. 2.D【解析】因为 2 422Ax xxx， 1101Bx yxxxx x，所 以2ABx x.故选 D. 3.B 【解析】 因为ABC为正三角形， 所以 3 A ， 所以 tantan 31 34 tan23 413 1 tantan 34 A . 故选 B. 4.D【解析】因为 22 0log3log 21a， 11 22 log 3log 10b ， 2 log 3 23c ，所以bac. 故选 D. 5.C【解析】对于 A，由图可知 CPI（%）对应的曲线在
13、PPI（%）对应的曲线的上方，所以 A 正确；对于 B， 从图中可知 2019 年 10 月份 CPI（%）对应的点在最高处，而相应 PPI（%）对应的点在最低处，所以 CPI （%）与 PPI（%）之差最大，故 B 正确；对于 C，CPI（%）的值先降低后增长，故 C 错误；对于 D，从 PPI（%）的值，可知 7，8，9，10 四个月份为负值，所以 D 正确.故选 C. 6.C【解析】设数列 n a的公差为d，由题意得， 1 1 2 56 ad ad ，解得 1 1a ，1d ， 1 (1) 1 n ann ， 1 1111 (1)1 nn a an nnn ， 12232021 1111
14、1111120 11 22320212121a aa aa a .故选 C. 7.B【解析】题可设买大竹子x根，每根单价为m钱，则买小竹子78x根，每根单价为1m钱，所以 586(78)(1)mxx m，即78654mx，即6 109 13xm，即6 109 13xm，因为 078x，所以 109 109 130 96109 13 6(109 13 )78961313 13 m m m m m ，根据选项，8m，30 x，所以 买大竹子 30 根，每根 8 钱.故选 B. 8.A【解析】因为 2212 () 3333 ADABBDABBCABACABABAC， 所以 121218 1 2 co
15、s3 333333 AD ACABACACAB ACACBAC ，解得 1 cos 2 BAC.故选 A. 9.C【解析】按程序框图执行程序如下：1n ， 1S ， 1 22a ，1 22S ，1 10不成立，继续 循环；2n， 2 2a ， 2 1 2 2S ，210不成立， 继续循环；3n， 3 2a ， 23 1 2 22S ，3 10 不成立，继续循环；10n， 10 2a ， 2310 1 2 222S ，退出循环，输出 (1 10) 10 23101 2 31055 2 1 2 222222S .故选 C. 10.A【解析】设O为坐标原点，因为直线AB的倾斜角为60，所以30FCO
16、，因为|OFc（其中 222 cab） ，所以| 2FCc，因为过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为N所以由双曲线的性质， 可知|FNb，所以由3| |FNFC，得32bc，两边平方得 22222 93 5 9459 55 bccaee.故选 A. 11.A【解析】因为函数( ) xx f xeex的定义域为R，且满足()() xxxx fxeexeex ( )f x，所以( )f x为R上的奇函数，某( )10 xx fxee 恒成立，所以 f x为R上的增函数.而 (| 1)(2 )0fxfx可化为(| 12 )2 )(ffxxfx，所以原不等式等价于不等式| 12xx . 当0 x时，
17、可化为 1 12 3 xxx ， 所以0 x； 当0 x时， 可化为211xxx， 所以10 x .综上，原不等式的解集为 1,) .故选 A. 12.D 【解析】 因为( )sin(0)f xx， 令22 , 22 kxkk Z， 即 2 22 k x 2 , k k Z，所以函数( )f x的单调递增区间为 22 , 22 kk k Z，又因为函数( )f x在 2 , 33 上单调递增，所以 222 , 3322 kk ，得 2 23 ，且 32 ， 又因为0，所以 3 0 4 ，又( )1f x 在区间0,2 上有唯一的实数解，所以 12 2 4 ，且 52 2 4 ，可得 1 5 ,
18、 4 4 .综上， 1 3 , 4 4 .故选 D. 二、填空题 13.10【解析】由题知，10p ，则焦点到准线的距离为 10. 14. 63 32 【解析】由 2 264 aaa，得 4 8a ，又0 n a ，则 4 8a ，又 5 16a ，2q ， 1 2n n a ， 6 5 126 1 11 11111632 1 1 2232 1 2 aaa . 15. 1 2 【解析】作出示意图 曲线 2 :4C yx是圆心为原点，半径为 2 的一个半圆.圆心O到直线:4l yx的距离 22 |004| 2 2 11 d ，而点O到直线:2AB xy的距离为2，故若点M到直线4xy的距离不 大
19、于2，则点M在阴影部分所对的劣弧上，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为 1 2 1 2 22 . 16.6【解析】由题意知，三棱锥PABC是正三棱锥，如图所示， 设点P在底面ABC内的投影是G， 球O的半径为R， 从而有 22 3 33 CGCD， 22 PGPCCC 2 2 32 6 4 33 ， 所以 22 2 2 62 3 33 RR ， 解得 6 2 R ， 所以球O的表面积是 1 4S 2 6 6 2 .易知当棱AB是截面圆的直径时，过棱AB的平面被球O截得的截面面积取最小值 2 S， 所以 1 2 6 S S . 三、解答题 17.解： （1）由表中数据，男性朋友对该小视频评价
20、优秀的比率为 35 0.7 50 ，因此男性朋友对该小视频评价 优秀的概率的估计值为 0.7. 女性朋友对该小视频评价优秀的比率为 27 0.54 50 ，因此女性朋友对该小视频评价优秀的概率的估计值 为 0.54. （2）由列联表可知， 2 2 100 (35 2327 15) 2.7163.841 62 38 50 50 K ，所以没有 95%的把握认为对该小视 频的制作评价是否优秀与性别有关. 18.解： （1）由正弦定理及 2 sin2 3 sin 2 A aBb， 得 2 sinsin2 3sinsin 2 A ABB， 因为(0, )B， 所以sin0B， 所以 2 sin2 3s
21、in 2 A A ， 即 2 2sincos2 3sin 222 AAA ， 即 3 tan 23 A . 因为(0, )A，所以 26 A ， 所以 3 A . （2）由ABC的外接圆半径为 1，得 3 2sin23 2 aA， 由余弦定理及基本不等式，得 2 2222222 3() 2cos()3() 4 bc abcbcAbcbcbcbcbc ， 即 2 () 3 4 bc ，当且仅当3 bc时取等号. 所以2 3bc. 所以bc的最大值为2 3. 19.解： （1）因为3AB，4AC ，5BC ， 所以 222 ABACBC， 所以90BAC，即ABAC. 因为O为 1 A在底面ABC
22、的投影， 所以 1 AO 平面ABC，所以 1 AOAB. 因为 1 AOACO，所以BA 平面 11 ACC A， 又BA平面 1 ABC， 所以平面 1 ABC 平面 11 ACC A. （2）由条件可知， 1 4AA ，2AO， 所以 1 2 3AO， 所以点 1 A到平面ABC的距离为 1 2 3AO. 因为 11 AC平面ABC， 所以点 1 C到平面ABC的距离等于点 1 A到平面ABC的距离，即为2 3， 且 11 4 36 22 ABC SAC AB . 又由 1 4AA ，2AO， 1 AOAO，可知 1 =60A AO， 所以 1 120ACC， 所以在 1 ACC中， 2
23、22 111 2cos120ACACCCAC CC ， 所以 2 11 484 3ACAC. 由（1）的证明，可知AB 平面 11 ACC A， 所以 1 ABAC， 所以 1 1 11 3 4 36 3 22 BAC SAB AC . 设点C到平面 1 ABC的距离为d， 由等体积法，可知 1 1 11 33 ABCABC SdSAO ， 即6 36 2 32dd ， 所以点C到平面 1 ABC的距离为 2. 20.解： （1）由 1 3AF 及 1 2 e ， 可知 3 2 1 1 2 ac a c c a ， 所以 222 3bac， 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy . （2）
24、依题可设过点(0,1)E且斜率为 5 2 的直线 5 :1 2 l yx， 11 ,M x y， 22 ,N x y， 联立方程组 22 2 1 43 7520 5 1 2 xy xx yx ， 解得 1 1x ， 2 2 7 x ，则 1 3 2 y ， 2 12 7 y ， 所以 3 1, 2 M ， 2 12 , 77 N ， 由（1）知， 1(0, 3) B， 2(0, 3)B. 所以直线 1 3 :33 2 MByx ， 直线 2 7 3 :63 2 NByx ， 由，解得 6 3 10 3 x y ， 所以点T的坐标为(6 310,3). 21.解： （1）由( )ln x f x
25、xe，得 1 ( )exfx x ， 所以切线的斜率(1)1kfe ， 又因为当1x 时，(1)fe ， 所以切线方程为(1)(1)yee x， 即(1)1ye x. （2）欲证( )20f x ，即证ln20 x xe， 即证ln11 x xe ， 设( )ln1g xxx ，则 11 ( )1 x g x xx ， ， 当01x时，( )0g x，( )g x在(0,1)上单调递增， 当1x 时，( )0g x，( )g x在(1,)上单调递减， 所以( )g x在1x 处取得极大值，即为最大值， 所以( )(1)0g xg， 所以ln1xx . 设( )1(0) x h xex x ，则
26、( )10 x h xe ， 所以( )h x在(0,)上单调递增， 所以( )(0)0h xh， 所以1 x ex 在0 x时成立， 所以ln11 x xxe ， 所以ln11 x xe ， 所以ln20 x xe， 即( )20f x 成立. 22.解： （1）将曲线C的参数方程 cos sin x y （为参数） ，消去参数， 可得其普通方程为 22 1xy， 将 222 xy代入上式， 得曲线C的极坐标方程为1. 直线l的极坐标方程为2 cos1 4 可化为cossin1， 将cosx，siny代入上式， 得直线l的直角坐标方程为10 xy . （2）易知直线:10l xy 与圆 22
27、 :1C xy的两个交点分别为(1,0)，(0, 1)， 所以|2AB . 因为点P在曲线C上， 所以可设(cos ,sin )P， 则点(cos ,sin )P到直线l的距离为 2sin1 4|cossin1| 22 d ， 所以当sin1 4 时， max 21 2 d ， 所以 max max 112121 |2 2222 PAB SABd . 所以PAB面积的最大值为 21 2 . 23.解： （1）设 1,1 21, 1 1, ( ) |1|f x mx xxmxmxm mxm ， 故实数m的取值范围是(0,2. （2）由（1）可知，m的最大值为 2，即2k ， 所以2ab， 所以 22 ()() 1 222 ababab ， 所以2ab，当且仅当1ab时等号成立.
