1、 - 1 - 2017 2018学年度第一学期高三年级期中考试 数学试卷（文科） 注：卷面分值 150分； 时间： 120分钟。 一、 选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.集合? ? 031xxxP， ? ?24 xyxQ ? ， 则 ( ) A 2,1( B 2,1 C ( , 3) (1, )? ? ? D )2,1 2.等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且 3S =6 ， 1a =4 ，则公差 d 等于 ( ) A 1 B 35 C 2? D 3 3.在 ABC? 中， 3?AB ， 1?AC ，
2、 ?30?B ， ABC? 的面积为 23 ，则 ?C （ ） A ?30 B ?45 C ?60 D ?75 4.已知 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 5.设 a ， b 是非零向量，“ a b a b? ”是“ /ab”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6.已知 ABC 的顶点都在半径为 R 的球 O 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为 32R ， 3AB BC AC? ? ?，则球 O 的体积是（ ） A. 163? B. 16? C. 323? D. 32? 7.已知 a? ， b? 均为单位向量，它们的夹角
3、为 60 ，那么 ba ? 3? =（ ） A B C D 4 8.将函数 ? ? ? ? xxf 2sin 的图象向左平移 8? 个单位，所得到的函数图象关于 y 轴对称，则? 的一个可能取值为 （ ） ?QP?2cos sin 4? sin2?18 78 18? 78?- 2 - A 43?B 4? C 0 D 4?9.已知等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且 1514aa? ? ， 9 27S ? ，则使得 nS 取最 小值时的 n 为 ( ) A. 1 B. 6 C. 7 D. 6 或 7 10.设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ( ) A 9 42 B 36 18
4、 C.92 12 D.92 18 11. 如图，四棱锥 ABCDP? 中， ?90? BADABC ， ADBC 2? ， PAB? 和 PAD?都是等边三角形，则异面直线 CD 与 PB 所成角的大小为 （ ) A ?90 B ?75 C ?60 D ?45 12.已知函数 ()fx是定义在 (0, )? 的可导函数， ()fx为其导函数，当 0x? 且 1x? 时，2 ( ) ( ) 01f x xf xx? ? ，若曲线 ()y f x? 在 1x? 处的切线的斜率为 34? ，则 (1)f ? （ ） A 0 B 1 C. 38 D 15 二、 填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分
5、，共 20分） 13.已知函数，则 , = 14.若等差数列 的前 n 项和为 , 15.已知 ? 为第二象限角， ，则 tan? 的值为 16已知 ABC 中，角 A、 B、 C 所对边分别为 a、 b、 c，满足 6C ? 且 4 3sinbB? ， 则 ABC面积的最大值为 _ BDCPA? ?41 ,05lo g , 0xfx xxx? ? ? ? ?3ff? 41648 3 SSSS 则nSna 2sin( )4 10? ?- 3 - 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.设 ABC? 是锐角三角形，三个内角 A ， B ， C 所对的边分别记为 a ， b
6、， c ， 并且 )3s i n ()3s i n ()s i n) ( s i ns i n( s i n BBBABA ? ?. （ ） 求角 A 的值； （ ） 若 12?ACAB ， 72?a ， 求 b ， c （其中 cb? ） 18.三棱柱 111 CBAABC ? 中，侧棱与底面垂直， ?90?ABC ，1 2AB BC BB? ? ?， ,MN分别是 AB ， 1AC 的中点 （ ）求证： |MN 平面 11BBCC ； （ ）求证： CBAAM N 11平面平面 ? ； 19.已知数列 ?na 是公差为 2 的等差数列，它的前 n 项和为 nS ，且 1,1,1 731 ?
7、 aaa 成等比数列 . (1)求 ?na 的通项公式。 (2)求数列?nS1 的前 n 项和 nT 。 20.如图，已知三棱锥 BPCA? 中， BCACPCAP ? , ， M 为 AB 的中点， D 为 PB 的中点，且 PMB? 为正三角形 . （ 1）求证： ?BC 平面 APC ； （ 2）若 20,6 ? ABBC ，求三棱锥 BCMD? 的体积 . 21设函数2( ) ln ax bf x x x x? ? ?，曲线 ()y f x? 在 1x? 处的切线为 2y? （ 1）求函数 ()fx的单调区间； MCBB 1 C 1A 1AN- 4 - （ 2）当 14x?时，证明 3
8、( ) ( ) 4f x f x? 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 记分 . 22.选修 4 4：坐标系与参数方程 . 在极坐标系中，点 的坐标是 ，曲线 的方程为 . ，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为 1? 的直线 l 经过点 P . （ 1）写出直线 l 的参 数方程和曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）若直线 l 和曲线 C 相交于两点 AB, ，求 22| | | |PA PB? 的值 . 23. 选修 4 5：不等式选讲 . 已知函数 ( ) | 1 | | 2 |f x x x? ? ? ?，不等式 ()f
9、x t 对 x?R 恒成立 . (1)求 t 的取值范围； (2) 记 t 的最大值为 T ，若正实数 ab, 满足 22a b T?，求证： 2611 2ab? . (1,0)P- 5 - 高三文数期中考试答案 一 选择题： ACCBAC CBBDAC 二 填空题： 23? ， 10， 34? ， 336? 三 解答题： 17. 18. ABNMN 平面? ， CBAABN 11平面平面 ? 19.解析： (1)由题意，得 a3 1 a1 5， a7 1 a1 13， 所以由 (a3 1)2 (a1 1) (a7 1)， 得 (a1 5)2 (a1 1) (a1 13)， 解得 a1 3，
10、所以 an 3 2(n 1)， 即 an 2n 1。 - 6 - (2)由 (1)知 an 2n 1， 则 Sn n(n 2)， 1Sn12?1n1n 2 ， Tn 12? ?1 13 12 14 13 15? 1n 1n 2 12? ?1 12 1n 1 1n 2 34 2n 32 n 1 n 2 。 20. 21.【解析】（ 1）函数 ()fx定义域为 (0, )? ， 2312( ) 1 abfx x xx? ? ? ? ?，由已知得 (1) 2f ? ， (1) 0f? ? ，得： 2a? ， 1b? ，所以 2 3( 2)( 1)() xxfx x? ? ，由 ( ) 0fx? ?
11、得 2x? 或 01x?，由 ( ) 0fx? ? 得12x? ，所以函数 ()fx的单调递增区间为 (0,1) ， ( 2, )? ，单调递减区间为 (1, 2) （ 2）由 2 2 3 2 32 1 1 2 2 3 1 2( ) ( ) l n ( 1 ) l n 1xf x f x x x x xxxx x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 令 ( ) lng x x x? ， 233 1 2( ) 1hx x xx? ? ? ?，因为 1( ) 1gx x? ? （ 14x ），所以 ( ) 0gx? ? ，所以 ()gx在 1,4 上为增函数，所以
12、( ) (1) 1g x g ? （ 1x? 时取“”）， 而 2 43 2 6() xxhx x? ? ? ? ，由2( ) 3 2 6 0u x x x? ? ? ? ?， 得： 19 13x ? ，所以 19 11 3x ? 时， ( ) 0ux? ， 19 1 43 x? ? 时，1.A C B D O O A C M OM P C O A CP A M OM O M B D P A M B DP A M B D?（ ） 连 接 交 于 点 ， 则 为 中 点 。 连 接为 中 点 ， 为 中 点 ； ；又 平 面 ， 平 面 ； 平 面22222,103121 1 3 1 3232
13、3 6 2 2P B D M P B D C M B D C P B D CP B D M B D CAD H PH PH ADPA D AB C D ADPH AB C DPH C H C PC PHD C H C H DV V V VV PH S? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 取 中 点 ， 连 接 ， 则 ；平 面 平 面 为 交 线 ；平 面在 直 角 三 角 形 中 ，又- 7 - ( ) 0ux? ，所以 ()hx在 19 1(1, )3? 为增函数，在 19 1( , 4)3? 为减函数，而 (1) 1h ? ， 7(4) 3
14、2h ? ，所以 7() 32hx? （ 4x? 时取“”）， 所以 2 5 3( ) ( ) (1 ) ( 4 ) 3 2 4f x f x g h? ? ? ? ?，即： 3( ) ( ) 4f x f x? 22 【 试 题 解 析 】 解 (1) 由 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 )4cos(22 ? ? 可得，2 2 c o s 2 s i n? ? ? ? ?，因此曲线 C 的直角坐标方程为 22 22x y x y? ? ? 点 P 的直角 坐标为 (1,0) ，直线 l 的倾斜角为 135? ，所以直线 l 的参数方程为21,2 (2 ,2xttyt? ? ?为参数 )
15、. (5分 ) (2) 将21,2 (2 ,2xttyt? ? ?为参数 ) 代入 22 22x y x y? ? ? ，有 2 2 1 0tt? ? ? ， 设 A ， B 对应参数分别为 12,tt，有 1 2 1 22 , 1t t t t? ? ? ?，根据直线参数方程 t 的几何意义有， 22 | PBPA ? = 2 2 21 2 1 2 1 2( ) 2 4t t t t t t? ? ? ? ?. (10分 ) 23.【试题解析】 (1) ( ) | 1 | | 2 | | 1 2 | 3f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?，所以 3t? . (5分 ) (2)由 (1)知 3,T? 所以 22 3 ( 0 , 0 )a b a b? ? ? ? 因为 222a b ab? ，所以 32ab? ，又因为 1 1 2ab ab?，所以 2611 2abab? （当且仅当 ab? 时取“ ? ”） .
