1、 1 衡阳县一中 2017届高三 11月月考（期中） 数学试卷（文科） 时量： 120分钟 分值： 150分 一、 选择题： (本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) (1) 已知集合 | 2 4 , | 3 5 A x x B x x x? ? ? ? ? 或，则 AB? ( ) （ A） |2或 （ C） |2或 (2) 设 i 为虚数单位，则 复数 (1+i)2=（ ） (A) 0 (B) 2 (C) 2i (D) 2+2i (3) 设 0?x ， Ry? ，则 “ yx? ” 是 “ |yx? ” 的（ ） （ A） 充要条件 （ B
2、）充分而不必要条件 （ C）必要而不充分条件 （ D）既不充分也不必要条件 (4) 函数 = sin( )y A x? 的部分图像如图所示，则（ ） （ A） 2sin(2 )6yx?（ B） 2sin(2 )3yx?（ C） 2sin(2 + )6yx?（ D） 2sin(2 + )3yx?(5) 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （ A） y=lnx （ B） 2 1yx? （ C） y=sinx （ D） y=cosx (6) 在平面直角坐标系xy?中，四边形CD?是平行四边形，? ?1, 2? ?，?D 2,1?，则DC? ? ?（ ） （ A） 2 （ B）3（ C） 4
3、（ D）5(7) 秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法 .如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n，x的值分别为 3， 2，则输出 v的值为 ( ) （ A） 9 （ B） 18 （ C） 20 （ D） 35 (8) 若直线 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?过点 (1,1) ，则 ab? 的最小值等于（ ） （ A） 2 （ B） 3 （ C） 4 （ D） 5 (9) 已知等比数列 na 满足1 14a?, ? ?3 5 441a a a?,则 2a?
4、 （ ） （ A） 2 (B) 1 (C) 21 (D) 81 (10) 若变量 x， y满足 2,2 3 9,0,xyxyx?则 x2+y2的最大值是 （ ） 2 （ A） 4 （ B） 9 （ C） 10 （ D） 12 (11) 定义一种运算 “*” ：对于 自然数 n满足以下运算性质：（ i） 1*1=1，（ ii）（ n+1） *1=n*1+1，则 n*1等于 ( ) (A) n (B) n+1 (C) n -1 (D) 2n (12) 设直线 l1， l2分别是函数 f(x)= ln , 0 1,ln , 1,xxxx? ? ? ?图象上点 P1， P2处的切线， l1与 l2垂直
5、相交于点 P， 且 l1， l2分别与 y轴相交于点 A， B，则 PAB的面积的取值范围是 （ ） （ A） (0,1) （ B） (0,2) （ C） (0,+) （ D） (1,+) 二、填空题： (本大题共 4小题，每小题 5分 ) （ 13） 已知数列 na 中， 11?a ， 211 ? ?nn aa（ 2?n ），则数列 na 的前 9项和等于 27 。 （ 14） 在 ABC 中， 4a? ， 5b? ， 6c? ，则 sin2sinAC?1 （ 15）已知函数 ( ) ( 0 , 1)xf x a b a a? ? ? ? 的定义域和值域都是 ? ?1,0? ，则 ab? 3
6、2? . （ 16）已知定义在 R上的奇函数 f(x)，设其导函数为 f( x)，当 x( ， 0时，恒有 x f ( x)F(2x 1)的实数 x的取 值范围是 ( 1,2) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 案 C C C A D DB B C C C A A 3 三、解答题： (共 6小题， 共 70分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .) （ 17） （ 本小题满分 10 分 ) 设向量 3sin 2 , sin4ax ? ?， 3co s , co s 24bx?， ?fx? ab? 。 （ 1）求 ?fx的最小正周期； （ 2）求 ?fx在区
7、间 ? ?0,? 上的单调递减区间 . （ 18）（ 本小题 满分 12分 ） 已知等差数列?na满足10aa?，432? （ ）求 的通项公式； （ ）设等比数列nb满足23ba?，37，问：6b与数列?na的第几项相等？ 解：（）设等差数列?a的公差为 d. 因为2，所以2d?. 又因为10，所以12 10ad，故1 4. 所以4 2( 1) 2 2na n n? ? ? ? ?( 1, , )n?. （）设等比数列?nb的公比为q. 因为8?，16，所以2?，1b.所以616 4 2 128b ? ?. 由128 2 2n?，得63n. 所以6b与数列?na的第 63项相等 . 4 （
8、19）（本小题满分 12 分） 如图，在 ABC中， B 3， BC 2，点 D 在边 AB上， AD DC， DE AC， E为垂足 (1)若 BCD的面积为 33 ，求 CD的长； (2)若 DE 62 ，求角 A的大小 解 ： (1)由已知得 S BCD 12BC BDsin B 33 ， 又 BC 2， sin B 32 ，得 BD 23. 在 BCD中，由余弦定理得 CD BC2 BD2 2BC BDcos B 22 23 2 22 23 12 2 73 . 所以 CD 的长为 2 73 . (2)(方法一 )因为 CD AD DEsin A 62sin A，在 BCD中，由正弦定理
9、得 BCsin BDC CDsin B， 又 BDC 2A，得 2sin 2A 62sin Asin 60 ，解得 cos A 22 ，所以 A 4即为所求 (方法二 )在 ABC中， 由正弦定理得 2sin A ACsin B，又由已知得， E为 AC的中点，所以 AC 2AE， 所以 AEsin A sin B 32 ，又 DEAE tan A sin Acos A， 所以 AEsin A DEcos A 62 cos A，得 cos A 22 ，所以 A 4即为所求 （ 20） （本小题满分 12分） 已知函数 xaxxf ln1)( ? ()a?R () 讨论函数 )(xf 在定义域内
10、的 极值点的个数； () 若函数 )(xf 在 1?x 处取得极值，对 x? ),0( ? ， 2)( ?bxxf 恒成立，求实数 b 的取值范围； 解 ： ()xaxxaxf 11)( ?，当 0?a 时， 0)( ?xf 在 ),0( ? 上恒成立，函数 )(xf 在 ),0( ? 单调递减， )(xf在 ),0( ? 上没有极值点； 当 0?a 时， 0)( ?xf 得ax 10 ?， 0)( ?xf 得ax 1?， )(xf 在 ? a1,0上递减，在 ? ?,1a上递增， 即 )(xf 在ax 1?处有极小值 当 0?a 时 )(xf 在 ),0( ? 上没有极值点， 当 0?a 时
11、， )(xf 在 ),0( ? 上有一个极值点 () 函数 )(xf 在 1?x 处取得极值， 1?a ， bx xxbxxf ? ln112)(， 5 令xxxxg ln11)( ?， 212() nxgx x?可得 )(xg 在 ? ?2,0e 上递减，在 ? ?,2e 上递增， 22m in 11)()( eegxg ?，即211b e? （ 21） （本小题满分 12 分） 已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a? ， ? ?1 21nna S n N ? ? ? ?. (1)求数列 ?na 的通项公式 ; (2)求数列 21nna?的前 n 项和 nT . (1)因为
12、 ? ?1 21nna S n N ? ? ? ?,所以 ? ?12 1 2nna S n? ? ?,两式相减得 1 3nnaa? ? ? ?2n? .由 1 21nnaS? ?得 212 1 3aa? ? ? ,所以 213aa? .因此数列 ?na 是首项为 1 ,公比为 3 的等比数列 , 13nna ? ; (2) 因为0 2 13 5 2 1 2 13 3 3 3n nnT ? ? ? ? ?, 所以211 3 5 2 1 2 13 3 3 3n nnT ? ? ? ? ?, 两 式 相 减 得212 1 1 1 2 1323 3 3 3 3n nn nT ? ? ? ? ? ? ?244 3nn?,所以126 3n nnT ?. 6 （ 22） （本小题满分 12 分） 已知函数 2( 1)( ) ln 2xf x x ? () 求函数 ?fx的单调递增区间； （ ）证明：当 1x? 时， ? ? 1f x x?； （ ）确定实数 k 的所有可能取值，使得存在 0 1x? ，当 0(1, )xx? 时，恒有 ? ? ? ?1f x k x?
