1、 1 2016-2017 学年度第一学期高三期末自主检测 数学 (文科 ) 注意事项： 1本试题满分 150分，考试时间为 120 分钟 2使用答题纸时，必须使用 0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效 3答卷前将密封线内的项目填写清楚 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求 1已知集合 ? ?2log 1A x x?， B=? ?2 , 0xyx?，则 AB? = A ? ?12xx? B ? ?12xx? C ? ?12xx? D ? 2设 0 . 23
2、 23 , l o g 3 , l o g c o s 4a b c? ? ? ?，则 ,abc关系正确的是 A bac B abc C bca D cba 3已知是 ,mn两条不同直线， ,? 是三个不同平面，下列命题中正确的是 A若 / / , / /mn?，则 /mn B若 ,? ? ? ?，则 /? C若 / / , / /mm?，则 /? D若 ,mn?，则 /mn 4已知函数 ? ? ? ?s i n 04f x x ? ? ?的最小正周期为 ? ，则该函数的图象 A关于直线 8x ? 对称 B关于点 ,04?对称 C关于直线 4x ? 对称 D关于点 ,08?对称 5已知 x，
3、y满足约束条件 40400xyxyy? ? ? ? ?，则 z=3x+2y的最大值为 A,6 B 8 C 10 D 12 2 6.已知 ,ab为平面向量，若 ab? 与 a 的夹角为 3? ， ab? 与 b 的夹角为 4? ，则 ab?= A 33 B 64 C 53 D 63 7已知正实数 x， y满足 211xy?，若 222x y m m? ? ? 恒成立，则实数 m的取值范围是 A ? ?2,4? B ? ?4,2? C ? ? ? ?, 2 4,? ? ? D ? ? ? ?, 4 2,? ? ? ? 8已知函数 ? ? lnf x x x? ，则 ?fx的图象大致为 9若曲线 C
4、l： 2220x y x? ? ? 与曲线 C2： ? ? ?10x y m x m? ? ? ?有四个不同的交点，则实数 m的取值范围是 A. 33,33?B. 33, 0 0 ,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?C 33,33?.D. 33,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?10已知函数 ? ?22 , 0 ,2 , 0 .x mxfxx m x x? ? ? ? ?,若函数 ? ?y f x m?恰有 3个零点，则实数 m的取值范围是 A 1,2?B ? ?,1? C 1,12?D ? ?1,? 二、 填空题：本大题共有 5个小题，每小题 5分
5、，共 25分 11在等比数列 ?na 中，若 2 1a? ，则其前 3 项和 S3的取值范围是 3 12若某个几何体的三视图如右上图所示，则这个几何体的体积是 4 13函数 ? ? ? ?2 s in 0 ,22f x x ? ? ? ? ? ? ? ? ?的部分图象如右图 所示，将 ?fx的图象向左平移 6? 个单位后的解析式为 14已知双曲线 C： ? ?22 1 0 , 0xy abab? ? ? ?的 右顶点为 A， O为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于两点 P， Q，若 PAQ=60，且 3OQ OP?uuur uuur ，则双曲线的离心率为 15 若 定
6、义 在 R 上 的 函 数 f(x) 对 任 意 两 个 不 等 的 实 数 12,xx 都有? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 1 2 2 1x f x x f x x f x x f x? ? ?，则称函数 f(x)为“ Z函数”给出下列四个函数： y= x3+1， y=2x， ln , 00, 0xxy x? ? ?， 224 , 0,0x x xyx x x? ? ? ? ?， 其中“ Z函数”对应的序号为 三、解答题：本大题共 6个小题，共 75分 16 (本小题满分 12分 ) 已知 ABC的内角 A， B， C的对边分别是 a， b， c，且 tan tan 2tanA
7、 B cBb? ? (1)求角 A的大小； (2)若 23a? ，求 ABC面积的最大值 17 (本小题满分 12分 ) 已知等差数列 ?na 的首项 121,aa? 为整数，且 ? ?3 6,8a? . (1)求数列 ?na 的通项公式； (2)设212 2 nnn aba ? ? ?， 12nnS b b b? ? ?，问是否存在最小的正整数 n，使得108nS ? 恒成立 ?若存在，求出 n的值；若不存在，说明理由 5 18 (本小题满分 12分 ) 如图，已知四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是 直角梯形 ， ADC=90， AB/CD， AD=DC=12 AB= 2 ，平面 PB
8、C平面 ABCD (1)求证： AC PB； (2)在侧棱 PA 上是否存在一点 M，使得 DM/平面 PCB?若存在，试给出证明；若不存在，说明理由 19 (本 小题满分 12分 ) 随着旅游业的发展，玉石工艺品的展览与销售逐渐成为旅游产业文化的重要一环某 工艺品厂的日产量最多不超过 15 件，每日产品废品率 p 与日产量 x(件 )之间近似地满 足关系式 ? ?22 , 1 91220 , 1 0 1 5480xxP x Nxx? ? ? ?， (日产品废品率 = 100%?日 废 品 量日 产 量) 已知每生产一件正品可赢利 2千元，而生产一件废品亏损 1千元 (1)将该厂日利润 y(千
9、元 )表示为日产量 x(件 )的函数； (2)当该厂的日产量为多少件时，日利润最大 ?最大日利润是多少 ? 20 (本小题满分 13分 ) 已知函数 ? ? ? ?2 ,mxf x m n Rxn?在 x=1处取得极值 2 (1)求 ?fx的解析式； (2)设函数 ? ? ln ag x x x?，若对任意的 ? ?1 1,1x? ，总存在 ? ?2 1,xe? ，使得? ? ? ?2172g x f x?成立，求实数 a的取值范围 6 21 (本小题满分 14分 ) 已知点 P是椭圆 C上任意一点，点 P到直线 1:2lx? 的距离为 1d ， 到点 F( 1， 0)的距离为 2d ，且 2
10、122dd ? ，直线 l椭圆 C交于不同的两点 A，B（ A， B都在 x轴上）， OFA+ OFB=180 . (1)求椭圆 C的方程； (2)当 A为椭圆与 y轴正半轴的交点时，求直线 l方程； (3)对于动直线 l，是否存在一个定点，无论 OFA如何变化，直线 l总经过此定点 ?若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由 7 高三数学（文科）参考答案及评分标准 一、选择题 C B D A D D B A A D 说明：第 9题 曲线 2C 的方程应为 ： 1( )( ) 02x y m x m? ? ? ?. 二、填空题 11.( , 1 3, )? ? ?U 12. 12 13.
11、2sin2yx? 14. 72 15. 三、解答题 16.解 : （ 1）因为 tan tan 2tanA B cBb? ?,由同角三角函数基本关系和正弦定理得， sin sin2 sinc o s c o ssin sinc o sABCABB BB?, ? 1分 整理得： sin( ) 2 sincosAB CA? ? , ? ? 3分 又 A B C? ? ? ,所以 sin( ) sinA B C? ， 所以 1cos 2A? . ? 5分 又 ? ?0,A ? ，所以 3A ? . ? 6分 （ 2）由余弦定理得： 221 2 2 c o s 3b c bc ? ? ? ， 即： 2
12、2 12b c bc? ? ? ， ? 8分 所 以 221 2 2b c b c b c b c b c? ? ? ? ? ?，当且仅当 23bc? 时取等号， ? 10分 所以 1 1 3s in 1 2 3 32 3 2 2ABCS b c ? ? ? ? ? ?， 8 即 ABC? 面积的最大值为 33. ? 12分 17.解：（ 1）设等差数列 ?na 的公差为 d ，由 1 1a? ， 2a 为整数，可知 d 为整数， 又 ? ?3 1 2 6,8ad? ? ? 知， 3d? . ? 2分 所以 32nan?. ? 4分 （ 2）由（ 1）知，2112328nnnn ab a n?
13、 ? ? ? ? ? ?， ? 5分 于是111 ( )3 1 1883 ( 1 2 3 ) ( 1 ) 1 ( ) .1 2 7 818nnnS n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?L? 9分 要使 3 1 1( 1 ) 1 ( ) 1 0 82 7 8 nnS n n ? ? ? ? ?恒成立， 只需 3 ( 1) 1082 nn? ， ? 10分 解得 8n? 或 9n? （舍）， ? 11分 所以存在最小的正整数 8n? 使得 108nS ? 恒成立 .? 12分 18.（ 1）证明：取 AB 的中点 E ，连结 CE ， /AB CD ， 12DC AB? ， /DC A
14、E ， DC AE? ， 四边形 AECD 是平行四边形 9 又 90ADC? ? ? ，四边形 AECD 是正方形， CE AB? CAB? 为等腰三角形， 且 2 , 2 2C A C B AB? ? ?， 2 2 2AC CB AB?， AC CB? ， ? ? 3分 平面 PBC? 平面 ABCD ，平面 PBC 平面 ABCD BC? ， AC CB? ， AC? 平面 ABCD AC? 平面 PBC 又 PB? 平面 PBC ， AC PB? ? 6分 （ 2）当 M 为侧棱 PA 的中点时， /DM 平面 PCB . ? 7分 证明：取 PB 的中点 N ，连接 , , .DM
15、MN CN 在 PAB? 中， MN 为中位线， /MN AB? ， 1 2.2MN AB? 由已知 /AB CD ，所以 /MN CD . 又 2MN CD?， ? 四边形 MNCD 为平行四边形 . ? /DM CN . ? 10分 又 DM? 平面 PCB ， CN? 平面 PCB ， ? /DM 平面 PCB . ? 12分 19.解：（ 1）由题意可知，当 19x?时， 21 8 22 (1 ) 12xxy x p p x x? ? ? ? ?，? 2分 当 10 15x? 时，2152 (1 ) 8 1 6 0xxy x p p x? ? ? ? ?， ? ? 4分 所以 该厂日利
16、润231 8 2 ,1 91215 ,1 0 1 58 1 6 0xx xxyxx x? ? ? ? ? ? ? ?. ? 510 分 （ 2）当 19x?时，令 222 4 8 2 1 6 0(1 2 )xxy x? ?， 解得 6x? （ 18x? 舍去）， ? ? 6分 当 16x?时， 0y? ，函数单调递增， 当 69x?时， 0y? ，函数单调递减， 而 6x? 时， max 6y ? ， ? 8分 当 10 15x? 时，令 215 3 08 160xy? ? ?，解得 10x? ， ? 9分 当 10 15x? 时， 0y? ，函数单调递减 ， 所以当 10x? 时，max 252y ?， ? ? 11 分 由于 2562? ，所以当该厂的日产量为 10 件时，日利润最大，为 252 千元 . ? 12分 20.解：（ 1） 2 2 22 2 2 2( ) 2( ) ( ) ( )m x n m x m x m nfx x n x n? ? ? ? 1分 因为 ()fx 在 1x? 处取到极值 为 2， 所以 (1) 0f ? , (1) 2f ? ， 2 0(1 )mn mn? ? ，21mn?解得 4m? ， 1n? ，
