1、 1 陕西省黄陵中学 2017 届高三数学上学期期末考试试题 理（普通班） 第卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 ? ?3 2,A x x n n N? ? ? ?， ? ?6,8,10,12,14B ? ，则集合 AB? 中的元素个数为（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 2复数 (2 )(1 2 )z i i? ? ? 在复平 面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下列说法错误的是（ ） A.命题“若 0a? ，则 0
2、ab? ”的否命题是：“若 0a? ，则 0ab? ” B.如果命题“ p? ”与命题“ pq? ”都是真命题 ，则命题 q 一定是真命题 C.若命题： 0xR?， 20010xx? ? ? ，则 p? ： xR? ， 2 10xx? ? ? D.“ 1sin 2? ”是“ 6? ”的充分不必要条件 4.已知函数 2 10()cos 0xxfx xx? ? ? ?，则下列结论正确的是（ ） A. ()fx是偶函数 B. ()fx的值域为 1, )? ? C. ()fx是周期函数 D. ()fx是增函数 5.张丘建算经是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第 2天开
3、始，每天比前一天多织相同量的布 ），第一天织 5 尺布，现一月（按 30 天计）共织 390 尺布”，则从第 2 天起每天比前一天多织（ ）尺布 . A 错误 !未找到引用源。 B.158 C.3116 D.2916 6. 已知数列 ? ? ?,nnab满足 1n n nb a a ?，则 “ 数列?na为等差数列” 是“ 数列?n为 等差数列 ” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D即不充分也不必要条件 2 7. 执行如图所示的程序框图，则输出的 a?（ ） A 1 B 1? C. 4? D52?8.在? ?10x展开式中， 二项式系数的最大值为 a，含7x项的
4、 系数为b，则ba?（ ） A8021B2180C.2180?D80219. 设实数,xy满足约束条件2 5 0403 10 0xyxyxy? ? ? ? ? ? ?，则22z x y?的最小值为 （ ） A10B C.8D510. 现有一半球 形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为 （ ） A63?B66?C. 328?D4?11. 已知O为坐标原点， F是双曲线? ?22: 1 0 , 0xy abab? ? ? ? ?的左焦点，,AB分别为 ?的左、右顶点， P为 ?上一点，且PF x?轴， 过点 A 的直线l与线段 PF交于点 M，与y轴交
5、于点 E，直线 BM与y轴交于点N，若2O ON?，则 ?的离心率为 （ ） A3B 2 C.32D4312. 已知函数 ? ? ? ? 2ln xxf x e e x? ? ?， 则使得? ? ?23f x f x?成立的x的取值范围是 （ ） 3 A? ?1,3?B? ? ? ?, 3 3,? ? ?C.3D?1 ,第卷（共 90 分） 二、填空 题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 向量(3,4)在向量(1, 2)-上的 投影 为 . 14.函数221( ) 22f x xx= + +的最小值为 . 15已知等差数列na满足：11101a ?，且它的前 项和nS
6、有最大值，则当nS取到最小正值时，n? 16 已 知 数 列n的 通 项 公 式 为na n p? ?，数列b的 通 项 公 式 为43nnb ?，设n n nnn n na a bc b a b? ? ?，在数列nc中，4()n c n N?,则实数p的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. （本小题满分 12 分）在ABC?中 ,角 A、 B、C所对的边分别为a、b、c.已知2c os c os si n c os 2 c osa A B b A c A b B? ? ?. （ 1）求 B； （ 2）若7 ,
7、2 3ABCb a S ?，求 . 18. （本小题满分 12 分） 已知函数? ? ? ? ? ?2 c os c os 3 si nf x x x x a a R? ? ? ?. （ 1）求?fx的最小正周期； （ 2）当0,2x ?时，?的最小值为 2，求a的值 . 19. （本小题满分 12 分） 在四棱锥P ABCD?中，底面ABCD是边长为 2的菱形， 60 ,C PB PC PD? ? ? ?. （ 1） 证明： PA?平面ABCD； 4 （ 2）若 2PA?， 求二面角 A PD B? 的余弦值 20. （本小题满分 12 分） 已知抛物线? ?: 2 0C py p ?，圆2
8、2:1O x y?. （ 1） 若抛物线C的焦点 F在圆上，且 A为 和圆 的一个交点，求AF； （ 2） 若直线l与抛物线 和圆O分别相切于点,MN，求 的最小值及相应p的值 21. （本小题满分 12 分）（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) ln 3f x a x ax? ? ? ( 0)a? (1)讨论 ()fx的单调性； (2)若 ( ) ( 1) 4 0f x a x e? ? ? ? ?对任意 2 , x e? 恒成立，求实数 a 的取值范围（ e 为自然常数）； (3)求证：2 2 2 21 1 1 1l n ( 1 ) l n ( 1 ) l n ( 1 ) . . .
9、 l n ( 1 ) 1234 n? ? ? ? ? ? ? ? ?*( 2, )n n N?22. （本小题满分 10 分）（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系 与参数方程 已知1C在直角坐标系下的参数方程为55 ()25 15xttyt= =-为 参 数，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，有曲线2C:? sin4cos2 ?. （） 将1的方程化为普通方程，并求出 的直角坐标方程； （）求曲线 和2两交点之间的距离 . 理科数学参考答案 一、 选择题： 1-5DDADBD 6-10ACDBA 11-12AD 二、填空题： 5 13. 5-14. 32215
10、 19 16(4,7)三、解答题： （ 17）解： （）由正弦定理得： 2sinBcosB sinAcosAcosB sinBsin 2A sinCcosA sinAcos(A B) sinCcosA sinAcosC sinCcosA sin(A C) sinB， sinB 0， cosB 1 2 ， B 23 ? 6 分 （ ） 由 b2 a2 c2 2accosB， b 7a， cosB 1 2 得 c2 ac 6a2 0，解得 c 2a， ? 10 分 由 S ABC 1 2 acsinB 32 a2 2 3，得 a 2 ? 12 分 （ 18） （本小题满分 12 分） 解 ： （
11、I）函数2( ) 2 c os 2 3 si n c os c os 2 1 3 si n 2f x x x x a x x a? ? ? ? ? ? ?2 si n( 2 ) 16xa? ? ? ?， ? 4 分 （ 19）解 ： （） 证明 ：连接 AC， 则 ABC 和 ACD 都是正三角形 取 BC 中点 E，连接 AE， PE， 因为 E 为 BC 的中点 ， 所以在 ABC 中 ， BC AE， 6 因为 PB PC， 所以 BC PE， 又因为 PE AE E， 所以 BC 平面 PAE，又 PA?平面 PAE， 所以 BC PA 同理 CD PA， 又因为 BC CD C， 所
12、以 PA 平面 ABCD ? 6 （ ）如图，以 A 为原点，建立空间直角坐标系 A-xyz， 则 B( 3， 1， 0)， D(0， 2， 0)， P(0， 0， 2)， PD (0， 2， 2)， BD ( 3， 3， 0)， 设平面 PBD 的法向量为 m (x， y， z)， 则 cos?m， n? m n|m| |n| 155 ， 所以二面角 A-PD-B 的余弦值是 155 ? 12 分 （ 20） 解 ： （） 由题意得 F(1， 0)， 从而有 C： x2 4y 解方程组 ?x2 4y，x2 y2 1，得 yA 5 2， 所以 |AF| 5 1 ? 5 分 （）设 M(x0，
13、y0)，则切线 l： y x0p(x x0) y0， 7 整理得 x0x py py0 0 ? 6 分 由 |ON| 1 得 |py0| x20 p2 2py0 p2， 所以 p 2y0y20 1且 y20 1 0， ? 8 分 所以 |MN|2 |OM|2 1 x20 y20 1 2py0 y20 1 4y20y20 1 y20 1 44y20 1 (y20 1) 8，当且仅当 y0 3时 等号 成立， 所以 |MN|的最小值为 2 2，此时 p 3 ? 12 分 （ 21） 解：（ 1）函数的定义域为 ， (1 )() axfx x? , 2 分 当 0a? 时， ()fx的单调增区间为
14、(0,1 ，单调减区间为 1, )? ； 3 分 当 0a? 时， ()fx的单调增区间为 1, )? ，单调减区间为 (0,1 ； 4 分 （ 2）令 ( ) ln 3 ( 1 ) 4 ln 1F x a x a x a x e a x x e? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 则 () axFx x? ，令 ( ) 0axFx x?，则 xa? 5 分 （ a）若 ae?,即 ae? 则 ()Fx在 2, ee 是 增函数 , 22m a x( ) ( ) 2 1 0F x F e a e e? ? ? ? ? ? 2 12eea ? 无解 . 6 分 （ b）若 2ae? 即
15、2ae? ， 则 ()Fx在 2, ee 是减函数 , m ax( ) ( ) 1 0F x F e a? ? ? ? 1a? 所以 2ae? 7 分 （ c）若 2e a e? ? ,即 2e a e? ? ? ， ()Fx在 , ea? 是减函数 , 在 2 , ae? 是增函数 , 22( ) 2 1 0F e a e e? ? ? ? ?可得 2 12eea ? ( ) 1 0F e a? ? ? 可得 1a? 所以 22 12eeea ? ? ? 综上所述 2 12eea ? 8 分 （ 3）令 1a? （或 1a? ） 此时 ( ) ln 3f x x x? ? ? ?，所以 (1
16、) 2f ? ， 由（ 1）知 ( ) ln 3f x x x? ? ? ?在 1, )? 上单调递增，当 (1, )x? ? 时， ( ) (1)f x f? 即ln 1 0xx? ? ? ? ， ln 1xx?对一切 (1, )x? ? 成立， 9 分 8 *2,n n N?，则有221 1 1 1 1ln ( 1 ) ( 1 ) 1n n n n n n? ? ? ? ?， 10 分 所以 2 2 2 21 1 1 1l n ( 1 ) l n ( 1 ) l n ( 1 ) . l n ( 1 )234 n? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )
17、 .( )2 2 3 3 4 1nn? ? ? ? ? ? ? ?111n? ? ? 12 分 22.解：（ 1）消参后得C为1 0yx- + =. 由2 cos 4 si nr q q=-得2 2 cos 4 si n .r r q r q22 2 4 .x y x y = -2C的直角坐标方程为22( 1) ( 2) 5.xy- + + =.? 5 分 （ 2） 圆心(1, 2)-到直线的距离2 2 1 3 .55d - - +=223 8 52 ( 5 ) ( ) .55AB = - =? ? 10 分 23.解： (1)由| 2 | 6x a a? ? ?得| 2 | 6 , 6 2 6x a a a x a a? ? ? ? ? ? ? ?， 即3 3 , 3 2 , 1a x a a? ? ? ? ? ? ? 5分 （ 2） 由 (
