1、 - 1 - 上海市杨浦区 2018届高三数学上学期期末质量调研试题 一 . 填空题（本大题共 12题， 1-6每题 4分， 7-12每题 5分，共 54 分） 1. 计算 1lim(1 )n n? ?的结果是 2. 已知集合 1,2, Am? ， 3,4B? ，若 3AB? ，则实数 m? 3. 已知 3cos5?，则 sin( )2? 4. 若行列式 124012x? ? ，则 x? 5. 已知一个关于 x 、 y 的二元一次方程组的增广矩阵是 1 1 20 1 2?，则 xy? 6. 在 62()x x? 的二项展开式中，常数项的值为 7. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 1
2、， 2， 3， 4， 5， 6个点的正方 体玩具）， 先后抛掷 2次，则出现向上的点数之和为 4的概率是 8. 数列 na 的前 n 项和为 nS ，若点 (, )nnS （ *nN? ）在函数 2log ( 1)yx?的反函数的图像上，则 na? 9. 在 ABC? 中，若 sinA 、 sinB 、 sinC 成等比数列，则角 B 的最大值为 10. 抛物线 2 8yx? 的焦点与双曲线 2 22 1x ya ?的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近 线的夹角为 11. 已知函数 3( ) c o s (s in 3 c o s ) 2f x x x x? ? ?， xR? ，设 0a? ，
3、若函数 ( ) ( )g x f x ? 为奇函数，则 ? 的值为 12. 已知点 C 、 D 是椭圆 2 2 14x y?上的两个动点，且点 (0,2)M ，若 MD MC? ，则实 数 ? 的取值范围为 二 . 选择题（本大题共 4题，每题 5分，共 20 分） 13. 在复平面内，复数 2 iz i? 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 - 2 - 14. 给出下列函数： 2logyx? ； 2yx? ； |2xy? ； arcsinyx? . 其中图像关于 y 轴对称的函数的序号是（ ） A. B. C. D. 15. “ 0t? ”是“
4、函数 2()f x x tx t? ? ?在 ( , )? 内存在零点”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 16. 设 A 、 B 、 C 、 D 是半径为 1的球面上的四个不同点，且满足 0AB AC?， 0AC AD?，0AD AB?，用 1S 、 2S 、 3S 分别表示 ABC? 、 ACD? 、 ABD? 的面积，则 1 2 3S S S?的最大值是（ ） A. 12 B. 2 C. 4 D. 8 三 . 解答题（本大题共 5题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 如图所示，用总长为定值 l 的篱笆围成长
5、方形 的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开 . （ 1）设场地面积为 y ，垂直于墙的边长为 x ，试用解析 式将 y 表示成 x 的函数，并确定这个函数的定义域； （ 2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？ 18. 如图，已知圆锥的侧面积为 15? ，底面半径 OA和 OB 互相垂直，且 3OA? ， P 是母线 BS的中点 . （ 1）求圆锥的体积； （ 2）求异面直线 SO 与 PA 所成角的大小 . （结果用反三角函数值表示） - 3 - 19. 已知函数 1( ) ln1 xfx x? ?的定义域为集合 A ，集合 ( , 1)B a a?，且 BA? . （ 1
6、）求实数 a 的取值范围； （ 2）求证：函数 ()fx是奇函数但 不是偶函数 . 20. 设直线 l 与抛物线 2:4yx?相交于不同两点 A 、 B ， O 为坐标原点 . （ 1）求抛物线 ? 的焦点到准线的距离； （ 2）若直线 l 又与圆 22: ( 5) 16C x y? ? ?相切于点 M ，且 M 为线段 AB 的中点，求直线 l 的方程； （ 3）若 0OA OB?，点 Q 在线段 AB 上，满足 OQ AB? ，求点 Q 的轨迹方程 . 21. 若数列 A ： 1a ， 2a ， ?， na （ 3n? ）中 *iaN? （ 1 in? ）且对任意的 21kn? ? ? ，
7、112k k ka a a?恒成立，则称数列 A 为“ U? 数列” . （ 1）若数列 1， x ， y ， 7为“ U? 数列”，写出所有可能的 x 、 y ； （ 2）若“ U? 数列” A ： 1a ， 2a ， ?， na 中， 1 1a? ， 2017na ? ，求 n 的最大值； （ 3）设 0n 为给定的 偶数，对所有可能的“ U? 数列” A ： 1a ， 2a ， ?，0na，记012m ax , , , nM a a a? ?，其中 12max , , , sx x x? 表示 1x ， 2x ， ?， sx 这 s个数中最大的数，求 M 的最小值 . - 4 - 参考答
8、案 一 . 填空题 1. 3 2. 35?3. 2 4. 6 5. 160? 6. 112 7. 1 8. 12nna ? 9. 3? 10. 3? 11. *()26k kN? ? ? ?12. 1,33二 . 选择题 13. C 14. B 15. A 16. B 三 . 解答题 17 （本题满分 14分， 第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分 ） 解：（ 1）设平行于墙的边长为 a ， 则篱笆总长 3l x a?， 即 3a l x? ， ?2 分 所以场地面积 ( 3 )y x l x?， (0, )3lx? （定义域 2分） ?6 分 （ 2） 222( 3 ) 3 3 ( )
9、6 1 2lly x l x x lx x? ? ? ? ? ? ? ? ?， (0, )3lx? ?8 分 所以当且仅当 6lx? 时， 2max 12ly ?12 分 综上，当场地垂直于墙的边长 x 为 6l 时，最大面积为 212l ?14 分 18（本题满分 14分，第 1小题满分 7分，第 2小题满分 7分） 解 1： （ 1）由题意， 15OA SB? ? ? 得 5BS? ， ?2 分 - 5 - 故 2 2 2 25 3 4S O S B O B? ? ? ? ? ?4 分 从而体积 2211 3 4 1 233V O A S O? ? ? ? ? ? ? ? ?. ?7 分
10、（ 2）如图，取 OB 中点 H ，联结 PH AH、 . 由 P 是 SB 的中点知 PH SO ，则 APH? （或其补角）就是异面直线 SO 与 PA 所成角 . ?10 分 由 SO? 平面 OAB ? PH? 平面 OAB ? PH AH? . 在 OAH? 中 ，由 OA OB? 得 22 352A H O A O H? ? ?； ?11 分 在 Rt APH? 中， 90AHP ?， 1 22PH SB?， 352AH? ?12 分 则 35ta n 4AHAPH PH? ? ?， 所以异面直线 SO 与 PA 所成角的大小 35arctan 4 ?14 分 (其他方法参考给分
11、) 19（本题满分 14分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分） 解：（ 1）令 1 01 xx? ? ，解得 11x? ? ? ，所以 ( 1,1)A? ， ?3 分 因为 BA? ，所以 111aa? ?，解得 10a? ? ? ，即实数 a 的取值范围是 1,0? ?6 分 （ 2） 函数 ()fx的定义域 ( 1,1)A? ，定义域关于原点对称 ?8 分 1 ( )( ) ln 1 ( )xfx x? ? 11 1 1l n l n l n ( )1 1 1x x x fxx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 分 而 1( ) ln32f ? ， 11( )
12、 ln23f ? ，所以 11( ) ( )22ff? ?13 分 所以 函数 ()fx是奇函数但不是偶函数 . ?14 分 20（本题满分 16分，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 5分，第 3小题满分 7分） 解：（ 1） 抛物线 ? 的焦点到准线的距离为 2 ?4 分 （ 2）设直线 :l x my b? 当 0m? 时， 1x? 和 9x? 符合题意 ?5 分 - 6 - 当 0m? 时， 11( , )Ax y 、 22( , )Bx y 的坐标满足方程组2 4x my byx? ?， 所以 2 4 4 0y my b? ? ?的两根为 1y 、 2y 。 216( ) 0mb?
13、 ? ? ?， 124y y m? ，所以 21 2 1 2 42x x m y b m y b m b? ? ? ? ? ? ?， 所以线段 AB 的中点 2(2 ,2 )M m b m? ?7 分 因为 1AB CMkk? ? ， 1ABk m?， 所以2225CM mkmmb? ? ?，得 232bm? 所以 221 6 ( ) 1 6 ( 3 ) 0m b m? ? ? ? ? ?，得 203m? 因为 22| 5 |4 2 11 brmm? ? ? ? ，所以 2 3m? （舍去） 综上所述，直线 l 的方程为： 1x? ， 9x? ?9 分 （ 3）设直线 :AB x my b?，
14、 11( , )Ax y 、 22( , )Bx y 的坐标满足方程组 2 4x my byx? ? ， 所以 2 4 4 0y my b? ? ?的两根为 1y 、 2y 216( ) 0mb? ? ? ?， 124y y m? ， 12 4yy b? 所以 22 2121 2 1 2 1 2 4044yyO A O B x x y y y y b b? ? ? ? ? ? ? ? ?，得 0b? 或 4b? ?12 分 0b? 时，直线 AB 过原点，所以 (0,0)Q ； ?13 分 4b? 时，直线 AB 过定点 (4,0)P 设 ( , )Qxy ，因为 ABOQ? ， 所以 22(
15、 , ) ( 4 , ) 4 0O Q P Q x y x y x x y? ? ? ? ? ? ? ?（ 0x? ）， ?15 分 综上， 点 Q 的轨迹方程为 2240x x y? ? ? ?16 分 21（本题满分 18分，第 1小题满分 3分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 9分） 解：（ 1） x=1 时， 121 7 2y y? ?，所以 y=2或 3； x=2时， 142 7 2y y? ?，所以 y=4； 3x? 时， 1272yxxy? ?无整数解 所以所有可能的 x， y为 12xy? ?， 13xy?或 24xy? ? 3 分 - 7 - （ 2） n 的最大值为
16、65 ，理由如下 ? 4 分 一方面，注意到： 1 1 1 12k k k k k k ka a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? 对任意的 11in? ? ? ，令 1i i ib a a?，则 ib?Z 且 1kkbb? （ 21kn? ? ? ），故 1 1kkbb?对任意的 21kn? ? ? 恒成立 （ ） 当 1 1a? ， 2017na ? 时，注意到 1 2 1 1 1 0b a a? ? ? ? ?，得 1 1 2 2 1 1 1( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1i i i i i ib b b b b b b b i? ? ? ? ? ? ? ?
17、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?个（ 21in? ? ? ） 即 1ibi? ，此时 1 1 1 2 2 11 2 1( ) ( ) ( )10 1 2 ( 2 ) ( 1 )( 2 )2n n n n nna a a a a a a ab b b n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 即 1 ( 1)( 2 ) 2 0 1 7 12 nn? ? ? ?，解得： 62 65n? ? ? ，故 65n? ? 7 分 另一方面，为使（ *）取到等号，所以取 1ibi? （ 1 64i? ），则对任意的 2 64k? ， 1kkbb? ，故数列 na 为 “ U? 数列 ” ， 此时由（ ）式得6 5 1 6 3 6 40 1 2 6 3 2 0 1 62aa ? ? ? ? ?
