1、北京市房山区 2018 届高三数学上学期期末考试试卷 理本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分 （选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合 1,02M?， ?21?xN，则集合 NM?等于（A） ?,- （B） ,- （C） ,1- （D） 1,02?（2）在复平面内，复数 3i12?在复平面中对应的点在（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（3）若变量 yx,满足约
2、束条件024yx?，则 yxz?的最大值为（A） 6 （B） 7 （C） 8 （D） 9（4）某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的 p为 12，则输出的 sn,的值分别为 （A） 18,3?sn （B） 9（C） ,s （D） 184?n（5） “ ,ab?+R”是“ ab?2”成立的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（6）下列函数是奇函数且在区间 (1,+)?上单调递增的是（A）3()fx?（B） ()fx?（C）f?（D）1lnf?（7）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是 （A
3、） 120 （B） 60 （C） 24 （D） 20（8）函数 ()yfx?的图象如图所示，在区间 ?,ab上可找到 (2)n?个不同的数12,nx?， 使得 12()()nfxfx? ，则 的取值的集合为（A） ?,3 （B） ?3,4（C） 24 （D） 5第二部分 （非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）已知平面向量 ?2,1?a， ?yb,?，且 ba/，则 ?y （10）在 ABC中，三个内角 CBA， 所对的边分别是 c， 若Oya b x14,sin63bBA?，则 a （11）中国古代钱币（如图 ）承继了礼器玉琮的观念，它全方位承
4、载和涵盖了中华文明历史进程中的文化信息，表现为圆形方孔如图 2，圆形钱币的半径为 cm2,正方形边长为cm1，在圆形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是图 1 图 2（12）等差数列 ?na的首项为 ，公差不为 0，且 63,a成等比数列，则 ?6S_.（13）能够说明“若甲班人数为 m，平均分为 ；乙班人数为 nm?（ ） ，平均分为 b，则甲乙两班的数学平均分为 2b?”是假命题的一组正整数 ,b的值依次为_（14）将正整数 1分解成两个正整数的乘积有 12 6 34?， ， 三种，其中 34?是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称 43为 的最佳分解.当 pq（ ?且 * pq?
5、N， ）是正整数 n的最佳分解时，我们定义函数 ?fnqp?，例如 ?12f?.则 ?81f? ，数列 ?f3（ *N?）的前 10项和为 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15） （本小题 1分）已知函数 2()sin3sicofxx?（）求 的最小正周期；（）求函数 ()fx在区间 上的值域（16） （本小题 13分）某市举行“中学生诗词大赛” ，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于分的具有复赛资格，某校有名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间 (30,15内，其频率分布直方图如图（）求获得复赛资格的人数；（）从初赛得分在区间 (10
6、5， 的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取 7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间 3， 与 (105， 各抽取多少人?（）从（）抽取的 7人中，选出 人参加全市座谈交流，设 表示得分在区间(1305，中参加全市座谈交流的人数，求 X的分布列及数学期望 ?XE.（17） （本小题 14分）如图几何体 ADM-BCN 中， ABCD是正方形， NM/， CNDA?,，?MDCo20， ?30?N， 42?M.（）求证： AB平 面/；（）求证： D平 面?； （）求二面角 ?的余弦值.（18） （本小题 14分）已知直线 l过点 ),0(P，圆 C: 0862?xy,直线 l与圆 C交于 BA
7、,两点.（ ?） 求直线 的方程；（ ）求直线 l的斜率 k的取值范围；（）是否存在过点 ），（ 46Q且垂直平分弦 AB的直线 1l?若存在，求直线 1l斜率 k的值，若yA BBCCDNM不存在，请说明理由（19） （本小题 13分）已知函数 2()lnfxmx?（）当 m时，求曲线 ()yf在点 1,()f处的切线方程；（ ?）当 0?时，设 ?gx,求 g在区间 ,2上的最大值（20） （本小题 13分）对于各项均为整数的数列 na，如果满足 ma?（ 1,23? ）为完全平方数，则称数列 na具有“ M性质” ；不论数列 n是否具有“ M性质” ，如果存在与 na不是同一数列的 b，
8、且 n同时满足下面两个条件： 123,nb? 是 123,? 的一个排列；数列 具有“ 性质” ，则称数列 na具有“变换 性质”.（）设数列 na的前 项和 2()3nS?，证明数列 na具有“ 性质” ； （）试判断数列 1,245和数列 1,? 是否具有“变换 M性质” ，具有此性质的数列请写出相应的数列 nb，不具此性质的说明理由；（）对于有限项数列 :,3,A? ，某人已经验证当 21,nm?（ 5?）时，数列 A具有“变换 M性质” ，试证明：当 221,()m?时，数列 A也具有“变换 性质”.房山区 2017-2018 学年度第一学期期末考试试卷答案高三年级数学学科（理）一、选
9、择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 （A） （A） （C） （D） （A） （C） （B） （C）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9） 4- （10） 38 （11） ?41- （12） 24- （13） ba, 是不相等的正整数即可（14） 0， 51?三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(15)解：（） ?xxfcosin3si2?1-23sincox?xin32cos-1? 2-i21cos6i-si?x?21-in?）
10、（ x7 分（）由（）得 因为 ，所以 ， 所以 ，因此 130sin2-6x?（ ）所以 ()fx的值域为 13 分（16）解：（1）由题意知 之间的频率为:获得参赛资格的人数为 5 分（）结果是 5，2.（） X的可能取值为 0，1，2，则3527(0)CP?215374()X12537()CP?故 的分布列为：X0 1 2P2747?6.E?13 分（17）解：（）在正方形 ABCD中， /；又 ?MN则?CD， N则?；/AB?5 分（） 四边形 是正方形?ADM， ?CD?， C， MNCD平 面?N平 面?A?MDCo120， ?30?9N?MDN?A?， AMDA平 面， ?面1
11、0 分（）法 1：以点 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 xyz?，如图所示；由（） 3,32?CNN； )0,2()0()(),0(MA?),(,?D设面 N的法向量 )(zyxn?，?AnM? ?zyxzy23032令 ,?xz则， ),(?n?43162|,cos ?DNn由图可知二面角 AM?为锐角?二面角 的余弦值为 14 分法 2：以点 C 为坐标原点，建立空间直角坐标系 xyzD?，如图所示；由（） 3,3?CNDN； )0,(),4()0()(),0(MA3,1?AM设面 AMN的法向量 ),(zyxn?，?Nn? ?zyxzyx03令 3,1?yz则， )1,0(n?ADM
12、 Nzx432|,cos ?DNn由图可知二面角 AM?为锐角二面角 的余弦值为 . 14 分（18） （ ?）设圆 ?13:2?yxC,圆心为 ?03，C，故直线 P的方程为 ，即 ?x 5 分（ ?）法 1：直线 l的方程为 1?ky，则由 ?0862xyk得 ?0962)?xx（由 ?132?k得 34-?k故 043-?k 10 分法 2：直线 l的方程为 1?kxy，即 0y-?，圆心为 ?03，C，圆的半径为 1 则圆心到直线的距离 132?kd因为直线与有交于 BA,两点，故 132?k，故 04-?（）假设存在直线 1l垂直平分于弦 ,此时直线 1l过 ），（ 6Q， ?3，C
13、，则34601?k，故 AB的斜率 43?k，由（ ?）可知，不满足条件所以，不存在存在直线 1l垂直于弦 。 14 分（19）解：(I)当 ?m时， 2()lnfxx? 所以 ()ln2fx?.所以 1，切点为 (1,).(1)3f?所以曲线 )(xfy在点 )1(,f处的切线方程为 13()yx?即 32yx? 6 分（ ?）因为 1g()mx?， ?,2x?,令 0mx?,则当 m?时, 0?,g()0, ()为减函数所以 ()的最大值为 1=当 -12时, 2m?时x?， -1,2m（ -）()g?+ 0 -x 极大 所以 的最大值为 1()ln()gm?当 1-02?时, 2?时， 0x恒成立， ()gx为增函数所以 ()gx的最大值为 ()l?13分（20）解：（）当 2n?时， 1nnaS? 222()()13n?，又 10a?，所以 2n?*N. 所以 2i?（ 1,i? ）是完全平方数，数列 na具有“M 性质”.4 分（）数列 ,345具有“变换 M 性质” ， 数列 nb为 ,. 数列 1,2? 不具有“变换 M 性质”. 因为 ， 4都只有与 5的和才能构成完全平方数，所以数列 ,3,1? 不具有“变换 M 性质”. 8 分（）设 2nmj?， 2j?，注意到 ()()4mj?，令 41hj，
