1、 - 1 - 2017-2018 学年度上学期高三年级期中检测 数学（理）试题 第 I卷 一、 选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知复数 2z 1 i= - ，则下列命题中正确的个数为 2?z iz ?1 z 的虚部为 i z 在复平面上对应点在第一象限 A 1 B 2 C 3 D 4 2 下列函数为偶函数且在 (0， ) 上为增函数的是 A 20( ) ( co s )xf x tdt= B 223()f x x x=+C 21() 2f x x x=+ D ( ) ( )xxf x x e e-=- 3 已
2、知集合 2lg2xA x y x? ? ?，集合 ? ?21B y y x? ? ? ，则集合 x x A B稳 且 x A B锨为 A ? ? ? ?2,1 2,? ? B ? ? ? ?2,1 2,? ? C ? ? ? ?, 2 1, 2? ? D ? ? ? ?, 2 1, 2? ? 4 下列说法正确的是 A “ ,x y R“?， 若 0xy+? ，则 1x 且 1y? ” 是真命题 B 在同一坐标系中，函数 (1 )y f x?与 (1 )y f x?的图象关于 y 轴对称 C 命题 “ xR$? ，使得 2 2 3 0xx+ + ” D aR ， “ 1 1a ” 的充分不必要条
3、件 5 如图，在 ABCV 中， 13AN NC=uuur uuur ， P 是 BN 上的一点， 若 29AP m AB AC=+uuur uuur uuur，则实数 m 的值为 A 19 B 13 C 1 D 3 6 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “ 今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈（ 1匹 =40 尺，一丈 =10尺），问日益几何？ ”第 5 题图 - 2 - 其意思为： “ 有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织 5 尺， 一月织了 七 匹三丈，问每天增加多少尺布
4、？ ” 若这一个月有 31天，记该女子一个月中的第 n 天所织布的尺数为 na ，则1 3 2 9 3 12 4 2 8 3 0a a a aa a a a? ? ? ? ? ? ?的值为 A 2930 B 1615 C 13 D 15 7 若 13t a n , ( , )t a n 2 4 2? ? ?，则 sin(2 )4? 的值为 A 210? B 25 C 210 D 25? 8 某食品的保鲜时间 y （单位：小时）与储存温度 x （单位： C? ）满足函数关系 bkxey ?（ ?718.2?e 为自然对数的底数， ,kb为常数），若该食品在 0C? 的保鲜时间是 192小时，在
5、22 C? 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 C? 的保鲜时间是 ( )小时 A 22 B 23 C 24 D 33 9 已知函数 ( ) s i n ( ) ( 0 , )2f x x ? ? ? ? ? ? ?的部分图像如所示，为了得到 ()y f x= 的图像需将 cos2yx= 的图像 A向右平移 3? 个单位长度 B向左平移 3? 个单位长度 C向右平移 6? 个单位长度 D向左平移 6? 个单位长度 10 已知定义在 R 上的偶函数 )(xf ，满足 )()4( xfxf ? ，且 2,0?x 时，( ) s i n 2 s i nf x x x? ，则方程 0lg)(
6、? xxf 在区间 0,10 上根的个数是 A 18 B 19 C 10 D 9 11 在 ABCV 和 AEFV 中， B 是 EF 的中点， 1 6 3 3A B E F B C C A= = = =， ，若2AB AE AC AF?uuur uuur uuur uuur，则 EFur 与 BCuur 的夹角的余弦值为 A 12 B 23 C 34 D 13- 第 9 题图 - 3 - 12 设函数 ( ) ( )xxf x e x ae=-（其中 e 为自然对数的底数）恰有两个极值点12,xx 12()xx 第 II卷 二、填空题（每题 5分，共 20 分，将答案填在答题纸上） 13 函
7、数 2lg( 2 3)y x x? ? ? ?的单调递增区间是 _ 14 已知向量 (6, 2)a?， (1, )bm? ，且 ab? ，则 2ab? 15 已知数列 na 的通项公式为 2 1910 4na n n= - + -，当 1 2 3 2 3 4a a a a a a+ 345aaa+ 12n n na a a+L 取得最大值时， n 的值为 _ 16 若函数 ? ?y f x? 满足 bxafxaf 2)()( ? （其中 220ab+?），则称函数 )(xfy?为 “ 中心对称函数 ” ，称点 ),( ba 为函数 ()fx的 “ 中心点 ” 现有如下命题： 函数 ( ) si
8、n 1f x x?是 “ 中心对称函数 ” ； 若 “ 中心对称函数 ” ? ?y f x? 在 R 上的 “ 中心点 ” 为 ? ? ?,a f a ，则函数? ? ? ? ? ?F x f x a f a? ? ?是 R 上的奇函数； 函数 ? ? 323 6 2f x x x x? ? ? ?是 “ 中心对称函数 ” ，且它的 “ 中心点 ” 一定为 ? ?1,2 ； 函数 xxxf cos2)( ? 是 “ 中心对称函数 ” ，且它的 “ 中心点 ” 一定为 ( , )2? 其中正确的命题是 _ _（写出所有正确命题的序号） 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明
9、、证明过程或演算步骤） 17（本小题满分 10分） 已知向量 ( , co s( )a sinx x?， (2 cos , 2 cos )b x x=r ，函数 ( ) 1f x a b=?rr （ ）求 ()fx的对称中心； （ ）求函数 ()fx在区间 0, 2? 上的最大值和最小值，并求出相应 x 的值 - 4 - 18（本小题满分 12分 ) 已知函数 ()fx 4log (4 1)x ? kx (kR? ) （ ）当 12k=- 时，若方程 ()fx m 0有解，求实数 m 的取值范围； （ ）试讨论 ()fx的奇偶性 19 (本小题满分 12分 ) 已知数列 na ， nb ， n
10、S 为数列 na 的前 n 项和，且满足 214ab? ， 22nnSa?，21 ( 1)nnnb n b n n? ? ? ? ?（ *nN? ） （ ） 求数列 na 的通项公式； （ ）试问 nbn 能否为等差数列，请说明理由； （ III）若数列 nc 的通项公式为,24nnnnnab nc abn? ?为 奇 数， 为 偶 数，令 nT 为 nc 的前 n 项的和，求 2nT 20（本小题满分 12分 ) 已知函数 ? ? -xf x e ax? （ aR? ， e 为自然对数的底数） （ ） 讨论函数 ?fx的单调性； （ ） 若 1a? ，函数 ? ? ? ? ? ? 2xg x
11、 x m f x e x x? ? ? ? ?在 ? ?2,? 上为增函数，求 实数m 的取值范围 21 (本小题满分 12分 ) - 5 - 如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地 ABO ，其中 3,OA km= 3 3 ,OB km= 90AOB? o 物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖 OMN ，其中 ,MN都在 边 AB 上（ ,MN不与 ,AB重合， M 在 ,AN之间），且 30MON? o （ ）若 M 在距离 A 点 2km 处，求点 ,MN之间的距离； （ ） 为节省投入资金，三角形人工湖 OMN 的面积要尽可能小试确定 M 的位置，使OMNV 的面积最小，并求出最小面
12、积 22（本小题满分 12分） 已知数列 ?na 满足 1n na t? ? ( , , 3 , )n t N t t n t? ? ?， 为 常 数 （ ） 设1 121 1 1 1nni inS a a a a= = + + + L， *nN ，证明： ( 1) ln( 1)nS t n + +； （ ）证明： 1nanae? （ e 为自然对数底数）； （ ）设1 2 31 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( )n t t t t tn k nkT a a a a a? ? ? ?， *nN ， 试比较与 nT 与 1的大小关系，并说明理由 第 21 题图 - 6 - 1 C 2 D
13、 3 D 4 B 5 A 6 B 7 C 8 C 9 A 10 B 11 B 12 C 第 II卷 二、填空题 ： 每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上 13 ( 3, 1- 或 ( 3, 1)- 14 45 15 9n= 16 三、解答题 ： 本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 解：（ I）因为 ( ) 1f x a b=?rr = 2 s i n c o s c o s ( ) 2 c o s 1x x x x? ? ? ? 22 s in c o s 2 c o s 1x x x? ? ?=sin 2 cos2xx? = 2 sin(2 )
14、4x p- ?4 分 所以 ()fx的对称中心为 ( , 0)( )28k kZ? ?5 分 （ II）由（ I）得， ()fx=sin 2 cos2xx? = 2 sin(2 )4x ? ， ?7 分 因为 0,2x ?，所以 32,4 4 4x ? ? ? ?， 所以当 2 42x ?时，即 8x ? 时， ()fx的最大值是 2 ； 第 6 题图 - 7 - 当 2 44x ? ? 时，即 0x? 时， ()fx的最小值是 1? ?10 分 18（本小题满分 12分 ) 解：（ ）由 m ()fx 4log (4 1)x ? 12x ， m 4 41log 2xx?4 1log (2 )
15、2x x? 1222xx+?， m 12 ?6 分 （ ）依题意得定义域为 R ,关于原点对称 ()fx= 4log (4 1)x ? kx ， ()fx-= 4log (4 1)x? ? kx ， 令 ( ) ( )f x f x=-，得4 41logxx? ? 2kx? ，即 4log4x 2kx? ， 2x kx=- 对一切 kR? 恒成立 12k=- 时 ( ) ( )f x f x=-，此时函数 ()fx是偶函数 ?9 分 044 1(0 ) l o g ( 4 1 ) 0 l o g 2 2fk? ? ? ? ? ?， 函数 ()fx不是奇函数 ， 综上，当 12k=- 时，函数
16、()fx是偶函数；当 12k? 时，函数 ()fx是非奇非偶函数 ?12 分 19、 (本小题满分 12分 ) 解：（ ）当 1n? 时， 1 1 12 2 2S a a? ? ? ?， 当 2n? 时，由1122nnSa?， 得 ： 122n n na a a ? ，则 12nnaa? ， 综上， na 是公比为 2，首项为 2的等比数列， 2nna? ； ? ? 3分 （ ） nbn 是等差数列，理由如下 ： 214ab? ， 1 1b? ， 21 ( 1)nnnb n b n n? ? ? ? ?， 1 11nnbb? ? 综上， nbn 是公差为 1，首项为 1的等差数列， 且 211nnb n b nn ? ? ? ? ?； ?7 分 （ ）令 2 1 2n n np c c? 2 2 1 2 2 2 2 1( 2 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 4 1 ) 2 ( 4 1 ) 424nn nnnn nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 1 2 121 2 3 123 4 7 4 1 1 4 ( 4 1 ) 44 3 4 7 4 1 1 4 ( 4 5 )
