1、 1 百校联盟 2021 届普通高中教育教学质量监测考试 全国卷 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。 3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.本试卷满分 150 分，测试时间 120 分钟。 5.考试范圃：必修 15，选修 21，22，23。 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.若 z2i，则|z2z| A.3 B.2 C.10 D.26 2.若集合 Ax|ylog3(x23x1
2、8)，B5，2，2，5，7，则 AB A.2，2，5 B.5，7 C.5，2，7 D.5，5，7 3.我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图(1)为北京某宫殿建筑，图(2)为该宫殿某一 “柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为 1，则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为 A.9929 B.181829 C.1818218 D.189218 4.已知抛物线 C1：y26x 上的点 M 到焦点 F 的距离为 9 2 ，若点 N 在 C2：(x2)2y21 上， 则点 M 到点 N 距离的最小值为 A.261 B.431 C.331 D.2 2 5.根据散点图可知，变量 x，y 呈现非线性关系。为
3、了进行线性回归分析，设 u2lny，v(2x 3)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程 u 1 3 v2，则 A.变量 y 的估计值的最大值为 e B.变量 y 的估计值的最小值为 e C.变量 y 的估计值的最大值为 e2 D.变量 y 的估计值的最小值为 e2 6.函数 f(x)ln2xx3的图象在点( 1 2 ，f( 1 2 )处的切线方程为 A. 53 44 yx B. 5 2 4 yx C. 11 44 yx D. 1 4 yx 7.已知函数 f(x)3cos(x)(0)，若 f( 3 )3，f( 3 )0，则 的最小值为 A. 1 2 B. 3 4 C.2 D.3 8.(3x2)2
4、(x2)6的展开式中，x4的系数为 A.0 B.4320 C.480 D.3840 9.已知圆 C 过点(1，3)，(0，2)，(7，5)，直线 l：12x5y10 与圆 C 交于 M，N 两点， 则|MN| A.3 B.4 C.6 D.8 10.已知角 的顶点在原点， 始边与 x 轴的非负半轴重合， 终边过点(1， m)， 其中 m0； 若 tan2 12 5 ，则 cos(2m) A. 6 13 B.12 13 C. 6 13 D.12 13 11.已知三棱锥 SABC 中，SBC 为等腰直角三角形，BSCABC90 ，BAC2 BCA，D，E，F 分别为线段 AB，BC，AC 的中点，则
5、直线 SA，SB，AC，SD 中，与平 面 SEF 所成角为定值的有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 12.已知函数 f(x) x e x m(lnxx 2 x )恰有两个极值点，则实数 m 的取值范围为 A.(， 1 2 B.( 1 2 ，) C.( 1 2 ， 3 e )( 3 e ，) D.(， 1 2 ( 3 e ，) 第 II 卷 3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13.若实数 x，y 满足 x20 xy0 xy30 ，则 z2xy 的最大值为 。 14.已知|a|5，|b|3，若 a 在 b 方向上的投影为3，则|2a3b| 。 15.已知三棱锥
6、 SABC 中，SA平面 ABC，SAAB4，BC6，AC213，则三棱锥 SABC 外接球的表面积为 。 16.已知 O 为坐标原点。双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 F1，F2， 2 OAAF，以 A 为圆心的圆 A 与 y 轴相切，且与双曲线的一条渐近线交于点 O，P，记双 曲线 C 的左顶点为 M，若PMF2PF2M，则双曲线 C 的渐近线方程为 。 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b 5acosC c 5cosA。 (1)求 c；
7、 (2)若 b7，B 3 ，点 M 在线段 BC 上，AM5，求MAC 的余弦值。 18.(本小题满分 12 分) 已知数列an满足 a22a14，且 an1bn2an，数列bn是公差为1 的等差数列。 (1)证明ann是等比数列； (2)求使得 a1a2an2200 成立的最小正整数 n 的值。 19.(本小题满分 12 分) 已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，BB132，点 M 是线段 AA1上靠近 A 的 三等分点，点 N 在线段 B1C1上。 4 (1)求证：BMMN； (2)求二面角 CB1MC1的余弦值。 20.(本小题满分 12 分) 疫情过后， 为了增加超市的
8、购买力， 营销人员采取了相应的推广手段， 每位顾客消费达到 100 元以上可以获得相应的积分，每花费 100 积分可以参与超市的抽奖游戏，游戏规则如下：抽 奖箱中放有 2 张奖券，3 张白券，每次任取两张券，每个人有放回的抽取三次，即完成一轮 抽奖游戏；若摸出的结果是“2 张奖券”三次，则获得 10100 积分，若摸出的结果是“2 张 奖券”一次或两次，则获得 300 积分，若摸出“2 张奖券”的次数为零，则获得 0 积分；获 得的积分扣除花费的 100 积分，则为该顾客所得的最终积分；最终积分若达到一定的标准， 可以兑换电饭锅。洗衣机等生活用品。 (1)求一轮抽奖游戏中，甲摸出“2 张奖券”
9、的次数为零的概率； (2)记一轮抽奖游戏中，甲摸出“2 张奖券”的次数为 X，求 X 的分布列以及数学期望； (3)试用概率与统计的相关知识，从数学期望的角度进行分析，多次参与抽奖游戏后，甲的最 终积分情况。 21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，且过点( 3 2 ， 2 2 )。 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若过点 D( 1 3 ，0)且斜率不为 0 的直线与椭圆 C 交于 P，Q 两点，点 A(1，0)，求证：AP AQ。 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)mx2lnx。 5 (1)若 m4，求函数 f(x)的单调递增区间； (2)设 x1，x2是 f(x)1 的两个不相等的正实数解，求证：f(x1)f(x2)3ln4x1x2。 6 7 8 9
