1、 1 2016学年第一学期温州十校联合体高三期末考试 数学学科 试题 考生须知： 1本卷共 4页满分 150分，考试时间 120分钟； 2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4考试结束后，只需上交答题纸。 一、 选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分 。 1.已知集合 2| xyxP ? ， )1ln (| ? xyxQ ，则 ?QP? （ ） A | 1 2xx? ? ? B | 1 2xx? ? ? C | 1 2xx? ? ? D | 1 2xx? ? ? 2.若复数 iz ?12
2、，其中 i 为虚数单位，则 z = （ ） A 1?i B 1+i C ?1+i D ?1?i 3. “一条直线 l 与平面 ? 内无数条直线异面”是“这条直线与平面 ? 平行”的 （ ） A充分不必要条件 B必 要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 4. 二项式 61()xx?的展开式中常数项为 （ ） A 15? B 15 C 20? D 20 5.若向量 ( s i n 2 , c o s ) , (1 , c o s )ab? ? ?,且 21tan ? ，则 ab? 的值是 （ ） A 58 B 56 C 54 D 2 6.点 P为直线 34yx? 上任一点， 12( 5
3、, 0), (5, 0)FF? ，则下列结论正确的是 （ ） A 12| | | | 8PF PF? B 12| | | | 8PF PF? C 12| | | | 8PF PF? D以上都有可能 7.设函数 2lo g ( ), 0()2 , 0x xxfx x ? ? ?，若关于 x的方程 2 ( ) ( ) 0f x af x?恰有三个不同的实数根，则实数 a的取值范围是 （ ） 2 A 0, )? B (0, )? C (1, )? D 1, )? 8.已知数列 na 的首项 1 1a? ，前 n项和为 nS ，且满足 122nnaS? ?，则满足 21001 111000 10nnS
4、S?的n的最大值是 （ ） A 8 B 9 C 10 D 11 9.在 OMN? 中，点 A在 OM上，点 B在 ON 上，且 /AB MN ， 2OA OM? ，若 OP xOA yOB?，则终点 P落在四边形 ABNM内（含边界）时， 21yxx? 的取值范围是 （ ） A 1 ,22 B 1 ,33 C 3 ,32 D 4 ,43 10.点 P为棱长是 2的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的内切球 O球面上的动点，点 M为 11BC 的中点，若满足 DP BM? ，则动点 P的轨迹的长度为 （ ） A 55? B 255? C 455? D 855? 二、填空题 :本大
5、题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分。 11.某几何体的三视图是如图所示的直角三角形、半圆和等腰三角形， 各边的长度如图所示，则此几何体的体积是 _，表面积是 _. 12.袋中有 3个大小、质量相同的小球，每个小球 上分别写有数字 2,1,0 ， 随机摸出一个将其上的数字记为 1a ，然后放回袋中，再次随机摸出 一个 ，将其上的数字记为 2a ，依次下去，第 n次随机摸出一个，将 其上的数字记为 na 记 nn aaa ?21? ，则（ 1）随机变量 2? 的期望 是 _；（ 2）当 12? nn? 时的概率是 _。 13. 设 )(xf 是定义在 R 上 的 最 小
6、正 周 期为 76? 的 函 数 ， 且 在 5 , )63? 上5sin , , 0 )6()c o s , 0 , 3xxfxx a x? ? ? ?，则 a? _ , 16()3f ?_. 第 11 题 3 14.若 OAB? 的垂心 (1,0)H 恰好为抛物线 2 2y px? 的焦点， O为坐标原点，点 A、 B在此抛物线上，则此抛物线的方程是 _， OAB? 面积是 _。 15.对于任意实数 )0( ?aa 和 b，不等式 |)2|1(| ? xxababa 恒成立，则实数 x的取值范围是 _。 16.设有序集合对 ( , )AB 满足： 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
7、 , 7 , 8 ,A B A B ?，记 ,CardA CardB 分别表示集合 ,AB的元 素个数，则符合条件 ,CardA A CardB B?的集合的对数是 _. 17.已知 A是射线 0( 0)x y x? ? ? 上的动点， B是 x轴正半轴的动点，若直线 AB与圆 221xy? 相切，则 |AB 的最小值是 _. 三、 解 答题 : 本大题共 5小题，共 74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. （本题满分 14 分） 已知 ABC? 三内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，且c o s 3 c s i n 0a C A b c? ? ? ?， （
8、1）求角 A的值； （ 2）求函数 ( ) c o s 2 4 s in s inf x x A x?在区间 23 , 74?的值域。 19. (本题满分 15分 )如图四边形 PABC中， 90PAC ABC? ? ? ?， 2 3 , 4PA AB AC? ? ?，现把 PAC? 沿 AC 折起，使 PA 与平面 ABC 成 60 ，设此时 P 在平面 ABC 上的投影为 O 点（ O 与 B在 AC的同侧）， （ 1）求证： /OB 平面 PAC； （ 2）求二面角 P BC A大小的正切值。 4 20. (本题满分 15分 )定义在 D上的函数 ()fx，如果满足：对任意 xD? ，存
9、在常数 0M? ，都有| ( )|f x M? ，则称 ()fx是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数 ()fx的上界。已知函数321( ) 13f x x ax x? ? ? ?， （ 1）当 5 , 1, 33aD? ? ? ?时，求函数 ()fx在 D上的上界的最小值； （ 2）记函数 /( ) ( )g x f x? ，若函 数 1( ) 2 xyg? 在区间 D 0, )? ? 上是以 3 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围。 21. (本题满分 15分 )椭圆 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的离心率为 13 ，左焦点 F到直线 l ： 9x? 的距离为 10
10、，圆 G： 22( 1) 1xy?， （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若 P 是椭圆上任意一点， EF 为圆 N： 22( 1) 4xy?的任一直径，求 PEPF? 的取值范围； （ 3）是否存在以椭圆上点 M 为圆心的圆 M，使得圆 M 上任意一点 N作圆 G的切线，切点为 T，都满足 |2|NFNT ?？若存在，求出圆 M的方程；若不存在，请说明理由。 5 22. (本题满分 15分 )已知数列 na 满足 211 11, 8nna a a m? ? ?， (1)若数列 na 是常数列，求 m的值； （ 2）当 1m? 时，求证： 1nnaa? ； （ 3）求最大的正数 m ，使得 4na
11、? 对一切整数 n 恒成立，并证明你的结论。 6 2016学年第一学期温州十校联合体高三期末考试 数学参考答案 一、 选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分 。 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B A C D B D C 5.解： A。 2sin 2 co sab ? ? ? 22 2 2 21212 s in c o s c o s 2 ta n 1 821s in c o s ta n 1 5( ) 12? ? ? ? ? ? ? ? ?. 6.若 12| | | | 8PF PF?，则点 P 的轨迹是以 12( 5, 0), (5, 0)F
12、F? 为焦点的双曲线，其 方程为22116 9xy?。因为直线 34yx? 是它的渐近线，整条直线在双曲线的外面，因此有12| | | | 8PF PF?。 7.作出函数 ()y f x? 的图象 .因为由方程 2 ( ) ( ) 0f x af x?,得 ( ) 0fx? 或 ()f x a? .显然( ) 0fx? 有一个实数根 1x? ,因此只要 ()f x a? 有两个根 (不是 1x? ),利用图象可得 , 实数 a的取值范围是 1, )? . 8.当 1n? 时， 1122aS?，得2 12a?。当 2n? 时，有 122nnaS?，两式相减得1 12nnaa? ?。再考虑到211
13、2aa?，所以数列 na 是等比数列，故有 12 2 ( )2 nnS ? ? ?。因此原不等式化为212 2 ( )1 0 0 1 1 1211 0 0 0 1 02 2 ( )2nn?，化简得 1 1 1()1000 2 10n?，得 4,5,6,7,8,9n ? ，所以 n的最大值为 9. 9.利用向量知识可知，点 ( , )Qxy 落 在平面直角坐标系中两直线 1, 2x y x y? ? ? ?及 x轴、 y轴围成的四边形（含边界）内。又 因为 21 1111y x y kxx? ? ? ? ? ?，其中 11yk x? ? 表示 点 ( 1, 1)R? 与点 Q连线的斜率。由图形可
14、知 1 33 k? ，所以 42431yxx? 。 7 10.直线 DP在过点 D且与 BM 垂直的平面内。又点 P在内接球的球面上，故点 P的轨迹是正方体的内切球与过 D且与 BM垂直的平面相交得到的小圆。可求得点 O到此平面的距离为 55 ，截得小圆的半径为 255 ，所以以点 P的轨迹的长度为 455? 。 二、填空题 :本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分。 11. 16? 、 24 (8 4 13)? 12. 2 1E? 、 3nn13. 1? 、 23? 14. xy 42? 、 510 15. 2521 ?x 16. 44对 17. 2 2 2? 分析
15、： 11.解： 16? ， 24 (8 4 13)? 。易知此几何体是半个圆锥。 12.解： 2 1E? ， 3nn。可以求得随机变量 2?的分布列如表所示，期望为 1。当 12 ? nn? 时的概率是 3nn13.解： 1? ； 23? 。由于 )(xf 的周期为 76? ，则 5( ) ( )36ff? ，即 5cos sin( )36a? ? ?，解得 1a? 。 此时 1 6 2 2 3( ) ( ) s in ( )3 3 3 2ff? ? ? ? ? ? ? ? ?。 14.解： 2 4 ,10 5yx? 。因为焦点为 (1,0)H ，所以 抛物线的方程是 2 4yx? 。设22(
16、 , 2 ), ( , 2 )A a a B b b，由抛物线的对称性可知， ba? 。又因为 AH OB? ，得 2211abab? ? ，解得 5a? （不妨取正值），从而可得。 15.解： 2521 ?x 。原不等式可化为 | | | | ( | 1 | | 2 |)|a b a b xxa? ? ? ? ? ? ?恒成立，因此只要? 0 1 2 4 p 95 91 92 91 8 求 | | | |a b a by a? ? ?的最小值。因为 | | | | | ( ) ( ) | 2 | |a b a b a b a b a? ? ? ? ? ? ? ?，所以 2y? ，且 当 (
17、)( ) 0a b a b? ? ?时取到最小值为 2. 因此有 2|2|1| ? xx ，解得 2521 ?x 16.解： 44 对。由条件可得 ,CardA B CardB A?。当 0, 8Card CardB?时，显然不成立；当 1, 7CardA CardB?时，则 7 ,1AB?，所以 7 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 AB? ，符合条件的集合对有 1 对；当 2 , 6CardA CardB?时，则 6 ,2AB?，所以 A 中的另一个元素从剩下 6 个数中选一个，故符合条件的集合对有 16 6C? 对；当 3, 5CardA CardB?时，则 5 ,3AB?，所以 A中的另两个元素从剩下 6 个数中选 2 个，故符合条件的集合对有 26 15C? 对；当4 , 4CardA CardB?
