1、 - 1 - 2017 2018学年第二学期期末高二联考 数学理科试题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分 150分 ,考试时间 120分钟 第卷（选择题 共 60分） 一、选择题：本大题共 12小题， 每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 ? ?| 1 0A x x? ， ? ?0 1 2B? ， ， ，则 AB? A ?0 B ?1 C ? ?12， D ? ?0 1 2， ， 2.复数 121 iz i? ? 的实部为 A 12? B 12 C 32 D 32? 3. 52 12xx?的展开式中 4x 的系数为 A 10 B 20
2、C 40 D 80 4.九章算术中，将底面是直角三角形的 直三棱柱称之为“堑堵”，已知 某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 A 2 B 4 C 4 4 2? D 6 4 2? 5 若实 数 xy， 满足 条件 12 3 0xxyyx? ? ?， 则 1yz x? ? 的 最小值为 A. 13 B. 12 C. 34 D. 1 6.在等比数列 ?na 中， 1 4a? ，公比为 q ，前 n 项和为 nS ，若数列 ? ?2nS? 也是等比数列，则 q 等于 A 2 B 2? C 3 D 3? 7直线 30xy? ? ? 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在
3、圆 ? ?2 212xy? ? ? 上，则 ABP?面积的取值范围是 A ? ?26， B ? ?39， C 2 4 2?， D 2 3 2?， - 2 - 8 函数 ? ?2( ) sin ln 1f x x x? ? ?的部分图象可能是 A B C D 9.抛物线 2 4yx? 的 焦点 为 F ， 点 (5,3)A ， P 为 抛物线 上 一点 ， 且 P 不 在直线 AF 上 ， 则 PAF?周 长的最小值为 A. 6 B. 8 C. 11 D.13 10 正四棱锥的顶点都在同一球面 上，若该棱锥的高 和 底面边长 均为 2 ，则该球的 体积为 A. 92? B. 5? C. 112?
4、 D. 814? 11在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D? 中， 1AB BC?， 1 2AA? ，则异面直线 1AD 与 1DB 所成角的余弦值为 A 3010B 56C 15D 2412已知 ()fx是定义域为 ( , )? 的奇函数，满足 (2 ) ( )f x f x?若 (1) 4f ? ，则(1) ( 2 ) (3 ) ( 2 0 1 8 )f f f f? ? ? ? ? A 50? B 0 C 2 D 4 第卷 (非选择题 共 90分 ) 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13曲线 1ln( 1)2yx?在点 (0,0) 处的切线方程为 _ 14
5、 已知向量 ? ?=2,1a ， ? ?=1, 2?b ， ? ?= 1,?c 若 ? ?2c a+ b ，则 ? _ 15 学校艺术节对同一类的 DCBA , 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说： “ 是 C 或 D 作品获得 一等奖 ” 乙说： “ B 作品获得一等奖 ” 丙说： “ DA, 两项作品未获得一等 奖 ” 丁说： “ 是 C 作品获得一等奖 ” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 _ - 3 - OBCABDECFA16如图 在 ABC 中， AC BC? ，2C?， 点 O 是 ABC 外
6、一点 ， 4OA? , 2OB? 则 平面四边形 OACB 面积的最大值是 _ 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12分） 记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，已知 1 7a? ， 4 16S? （） 求 na 的通项公式； （） 求 nS ，并求 nS 的最小值 18（本小题满分 12分）在如图所示的六面体中，面 ABCD 是边长为 2 的正方形，面 ABEF是直角梯形， 90FAB?， /AF BE ， 24BE AF?. （）求证： AC /平面 DEF ； （）若二面角 E AB D?为 60 ，求直线 CE 和
7、平面 DEF 所成角的正弦值 . - 4 - 19. (本小题满分 12 分 )为迎接 8 月 8 日的“全民健身日”，某大学学生会从全体男生中随机抽取 16名男生参加 1500米中长跑测试，经测试得到每个男生的跑步所用时间的茎叶图（小数点前一位数字为茎，小数点的后一位数字为叶），如图，若跑步时间不高于 5.6 秒，则称为“好体能” . 0 1 1 2 31 2 5 6 7 7 8 8 8 9 965男生 1500 米测试结果（） 写出这组数据的众数和中位数； （）要从这 16人中随机选取 3 人，求至少有 2 人是“好体能”的概率； （）以这 16人的样本数据来估计整个学校男生的总体数据，若
8、从该校男生（人数众多）任取 3 人，记 X 表示抽到“好体能”学生的人数，求 X 的分布列及数学期望 . （ 20）（本小题满 分 12分） 设椭圆 22 1( 0)xy abab? ? ? ? 的右顶点为 A，上顶点为 B.已知椭圆的离心率为 53 ， | | 13AB? . （ I）求椭圆的方程； （ II）设直线 : ( 0)l y kx k?与椭圆交于 ,PQ两点， l 与直线 AB 交于点 M，且点 P， M均在第四象限 .若 BPM 的面积是 BPQ 面积的 2倍，求 k的值 . - 5 - 21已知函数 ? ? lnf x x? （） 求函数 ( ) ( 1) 2g x f x
9、x? ? ? ?的最大值 ； （）已知 0 ab?，求证 ? ? ? ?222 ( )a b af b f a ab? ? 22 （本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与 参数方程 已知直线 l ：222212xtyt? ? ?（ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 .圆 O 的极坐标方程为 2 2 cos4?. （） 求圆心 的极坐标； （）设点 M 的直角坐标为 (2,1) ，直线 l 与圆 O 的交点为 ,AB,求 MA MB? 的值 . 23.（本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 已知关于 x 的不等式 .lo g112 2 axx ? （）
10、 当 8?a 时，求不等式解集； （） 若不等式有解 ，求 a 的范围 . - 6 - GOBDECFA2017 2018 学年第二学期期末高二联考 数学理科答案 选择题 CADDB CBBCA AD 填空题 131 3 1 4 1 5 1 6 5 4 224y x B?、 、 、 、17（ I） 设 na 的公差为 d，由题意得14 6 16ad? ? ? 3分 由 1 7a? 得 d=2 所以 na 的通 项 公式为29nan? ? 6分 （ II） 由（ 1） 得228 ( 4 ) 1 6nS n n n? ? ? ? ? ? 9分 所以当 n=4时， nS 取得最小值，最小值为?16
11、? 12分 18证明： （ I） 连接 ,ACBD 相交于点 O ，取 DE 的中点为 G ,连接 ,FGOG . ABCD 是正方形， O? 是 BD 的 中 点 ，1/ , 2O G B E O G B E?, 又因为 1/ , 2AF BE AF BE?,所以 /OG AF 且 OG AF? ， 所 以 四 边 形 AOGF 是 平 行 四 边形， ? ? 3分 /AC FG? ，又因为 FG? 平面 DEF ,AC? 平面 DEF /AC? 平面 DEF ? 5 分 （ II） ABCD 是正方形， ABEF 是直角 梯形， 90FAB?， ,DA AB FA AB? ? ? AD A
12、F A? , AB?平面 AFD ,同理可得 AB? 平面 EBC . 又 AB? 平面 ABCD ，所以平面 AFD ? 平面 ABCD , - 7 - 又因为二面角 E AB D?为 60 ， 所以 60FAD EBC? ? ? ?, 24BE AF?, 2BC? ,由余弦定理得 23EC? , 所以 EC BC? ,又因为 AB? 平面 EBC ， EC AB?,所以 EC? 平面 ABCD ， ? 7分 以 C 为坐标原点， CB 为 x 轴、 CD 为 y 轴、 CE 为 z 轴建立空间直角坐标系 . 则 ( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 0
13、 , 2 3 ) , (1 , 2 , 3 )C D E F,? ? 8分 所以 ( 0 , 0 , 2 3 ) , ( 1 , 0 , 3 ) , ( 1 , 2 , 3 )C E D F E F? ? ? ?, 设平面DEF 的一个法向量为 ( , , )n x y z? ， 则 00n DFn EF? ?即 302 3 0xzx y z? ? ? ?令 3z? ，则 33xy? ?， 所以 ( 3,3, 3)n? ?11 分 设直线 CE 和平面 DEF 所成角为 ? ， 则 67s in c o s ,72 3 2 1C E n? ? ? ? ? ? ?1 2分 19 解： （ I ）
14、 这 组 数 据 的 众 数 和 中 位 数 分 别 是,5.8 5.8 ； ? 3分 （ II） 设求至少有 2 人是“好体能”的事件为 A,则事件 A包含得基本事件个数为 ; 2 1 34 12 4C C C? 总 的 基 本 事 件 个 数 为 316C ，2 1 34 1 2 4316 19(A ) 140C C CP C? 7分 （ ） X 的可能取值为 0,1,2,3, 由 于 该 校 男 生 人 数 众 多 ， 故 X 近 似 服 从 二 项 分 布13,4B? ? 9分 33 27(x 0) ( )4 64p ? ? ? ，123 1 3 2 7(x 1) ( )4 4 6 4
15、pC? ? ? ?, 223 1 3 9(x 2 ) ( )4 4 6 4pC? ? ? ?, 311(x 3) ( )4 64p ? ? ? BACDFExyz- 8 - X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 2764 2764 964 164 故 X 的 数 学 期 望13( ) 3 44EX ? ? ? ? 12分 20（ I）解：设椭圆的焦距为 2c，由已知得 22 59ca ?，又由 2 2 2a b c?，可得 2 3.ab? 由 22| | 13AB a b? ? ?,从而 3, 2ab?. 所以，椭圆的方程为22194xy?. ? 5分 （ II）解：设点 P的坐标为 11(
16、 , )xy ，点 M的坐标为 22( , )xy ，由题意， 210xx?， 点 Q 的坐标为 11( , ).xy? 由 BPM 的面 积是 BPQ 面积的 2倍，可得 | |=2| |PM PQ ， 从而 2 1 1 12 ( )x x x x? ? ? ?，即215xx? .? 6 分 易知直线 AB 的方程为 2 3 6xy?，由方程组 2 3 6,xyy kx? ?消去 y，可得2 632x k? ?. 由方程组 221,94,xyy kx? ?消去 y ，可得1 2694x k? ?. ? 9分 由 215xx? ， 可得 29 4 5(3 2)kk? ? ?， 两边平方，整理得 218 25 8 0kk? ? ?，解得 89k? ，或 12k? . 当 89k? 时， 2 90x ? ? ，不合题意，舍去； - 9 - 当 12k? 时， 2 12x? ，1 125x?，符合题意 . 所以， k 的值为12? . ? ? 12分 21解： （ I） 因为 ( ) ( 1 ) 2 ln ( 1 ) 2g x f x x x x? ?
