1、 1 2016-2017 学年浙江省宁波市高三（下）期中数学试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1在复平面内，复数 z的对应点为（ 1， 1），则 z2=（ ） A B 2i C D .2+2i 2命题 p： x R且满足 sin2x=1命题 q： x R且满足 tanx=1则 p是 q的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知实数 x， y满足不等式组 ，则 2x y的取值范围是（ ） A 1， 3 B 3， 1 C 1， 6 D 6， 1 4如图是某四棱锥的三视
2、图，则该几何体的表面积等于（ ） A 34+6 B 44+12 C 34+6 D 32+6 5已知函数 f（ x）是定义在 R上的偶函数，且在区间 0， + ）单调递减，若实数 a满足 f（ log3a） +f（ ） 2f（ 1），则 a的取值范围是（ ） A（ 0， 3 B（ 0， C ， 3 D 1， 3 6过双曲线 的左焦点 F 作圆 x2+y2=a2的两条切线，切点分别为 A、B，双曲线左顶点为 M，若 AMB=120 ，则该双曲线的离心率为（ ） A B C 3 D 2 7在 ABC中， BC=7， AC=6， cosC= 若动点 P满足 =（ 1 ） + ，（ R），则点 P的轨迹
3、与直线 BC， AC 所围成的封闭区域的面积为（ ） A 5 B 10 C 2 D 4 2 8已知 f（ x） = ，且 g（ x） =f（ x） + 有三个零点，则实数 a的取值范围为（ ） A（ ， + ） B 1， + ） C（ 0， ） D（ 0， 1 9已知数列 a 满足 a= ， an+1 1=an2 an （ n N*），则 m= + + + 的整数部分是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10已知函数 f（ x） =x+ +a， x a， + ），其中 a 0， b R，记 m（ a， b）为 f（ x）的最小值，则当 m（ a， b） =2时， b的取值范围为（ ） A
4、b B b C b D b 二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分 11已知全集为 R，集合 A=y|y=3x， x 1， B=x|x2 6x+8 0，则 A B= ， A ?RB= 12已知数列 an的前 n项和 Sn=n2+2n 1（ n N*），则 a1= ；数列 an的通项公式为an 13已知抛物线 C： y2=2px（ p 0）的焦点 F（ 1， 0），则 p= ； M是抛物线上的动点，A（ 6， 4），则 |MA|+|MF|的最小值为 14若 sin（ +x） +cos（ +x） = ，则 sin2x= ， = 15已知直线 2x+my 8=0
5、与圆 C：（ x m） 2+y2=4 相交于 A、 B两点，且 ABC为等腰直角三角形，则 m= 16若正数 a， b， c满足 + = +1，则 的最小值是 17如图，矩形 ABCD中， AB=1， BC= ，将 ABD 沿对角线 BD 向上翻折，若翻折过程中 AC长度在 ， 内变化，则点 A所形成的运动轨迹的长度为 3 三、解答题：（第 18题） 18已知函数 f（ x） =sin（ x + ）（ x R， 0）的图象如图， P 是图象的最高点， Q是图象的最低点且 |PQ|= （ ）求函数 y=f（ x）的解析式； （ ）将函数 y=f（ x）图象向右平移 1 个单位后得到函数 y=g（
6、 x）的图象，当 x 0， 2时，求函数 h（ x） =f（ x） ?g（ x）的最大值 19三棱锥 A BCD中， E是 BC的中点， AB=AD， BD DC （ I）求证： AE BD； （ II）若 DB=2DC= AB=2，且二面角 A BD C为 60 ，求 AD与面 BCD所成角的正弦值 20已知函数 f（ x） = +lnx（ a 0） （ 1）判断函数 f（ x）在（ 0， e上的单调性（ e为自然对数的底）； （ 2）记 f （ x）为 f（ x）的导函数，若函数 g（ x） =x3 x2+x2f （ x）在区间（ ， 3）上存在极值，求实数 a 的取值范围 21已知椭圆
7、上任一点 P，由点 P向 x轴作垂线段 PQ，垂足为 Q，点 M在 PQ 上，且 ，点 M的轨迹为 C （ 1）求曲线 C的方程； （ 2）过点 D（ 0， 2）作直线 l与曲线 C交于 A、 B两点，设 N是过点 且平行于x轴的直线上一动点，满足 （ O为原点），问是否存在这样的直线 l，使得四边形4 OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由 22已知数列 an满足 a1=3， an+1=an2+2an， n N*，设 bn=log2（ an+1） （ I）求 an的通项公式； （ II）求证： 1+ + + + n（ n 2）； （ III）若 =bn，求证： 2 3 5
8、2016-2017学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高三（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1在复平面内，复数 z的对应点为（ 1， 1），则 z2=（ ） A B 2i C D .2+2i 【考点】 A5：复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的几何意义、运算法则即可得出 【解答】 解：在复平面内，复数 z的对应点为（ 1， 1）， z=1+i z2=（ 1+i） 2=2i， 故选： B 2命题 p： x R且满足 sin2x=1命题 q： x R且满足 tanx=1则 p是
9、 q的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充 分也不必要条件 【考点】 2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断 【解答】 解：由 sin2x=1得 2x= +2k ， k Z， 即 x= ， k Z， 由 tanx=1，得 x= ， k Z， p是 q的充要条件 故选： C 3已知实数 x， y满足不等式组 ，则 2x y的取值范围是（ ） A 1， 3 B 3， 1 C 1， 6 D 6， 1 【考点】 7C：简单线性规划 6 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，设 z=2x y，利用目标函数的几
10、何意义，利用数形结合确定 z的取值范围 【解答】 解：设 z=2x y，则 y=2x z， 作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图： 平移直线 y=2x z，由图象可知当直线 y=2x z经过点 B（ 0， 1）时，直线 y=2x z 的截距最大， 此时 z最小，最小值 z=0 1= 1 当直线 y=2x z经过点 C（ 3， 0）时，直线 y=2x z的截距最小，此时 z最大 z的最大值为 z=2 3=6， 即 1 z 6即 1， 6 故选： C 4如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（ ） A 34+6 B 44+12 C 34+6 D 32+6 【考点】 L!：由三视图求面积
11、、体积 【分析】 一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是 6， 2，底面上的高与底面交于底7 面一条边的中点，四棱锥的高是 4，根据勾股定理做出三角形的高，写出所有的面积表示式，得到结果 【解答】 解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥， 矩形的长和宽分别是 6， 2 底面上的高与底面交于底面一条边的中点， 四棱锥的高是 4， 四棱锥的表面积是 2 6+2 +6 + =34+6 ， 故选 A 5已知函数 f（ x）是定义在 R上的偶函数，且在区间 0， + ）单调递减，若实数 a满足 f（ log3a） +f（ ） 2f（ 1），则 a的取值范围是（ ） A（ 0， 3 B（ 0， C
12、 ， 3 D 1， 3 【考点】 3N：奇偶性与单调性的综合 【分析】 由于函数 f（ x）是定义在 R上的偶函数，则 f（ x） =f（ x），即有 f（ x） =f（ |x|），f（ log3a） +f（ log3a） 2f（ 1），即为 f（ |log3a|） f（ 1），再由 f（ x）在区间 0， + ）上单调递减，得到 |log3a| 1，即有 1 log3a 1，解出即可 【解答】 解：由于函数 f（ x）是定义在 R上的偶函数， 则 f（ x） =f（ x），即有 f（ x） =f（ |x|） ， 由实数 a满足 f（ log3a） +f（ ） 2f（ 1）， 则有 f（ lo
13、g3a） +f（ log3a） 2f（ 1）， 即 2f（ log3a） 2f（ 1）即 f（ log3a） f（ 1）， 即有 f（ |log3a|） f（ 1）， 由于 f（ x）在区间 0， + ）上单调递减， 则 |log3a| 1，即有 1 log3a 1， 解得 a 3 故选 C 8 6过双曲线 的左焦点 F 作圆 x2+y2=a2的两条切线，切点分别为 A、B，双曲线左顶点为 M，若 AMB=120 ，则该双曲线的离心率为（ ） A B C 3 D 2 【考点】 KC：双曲线的简单性质 【分析】 依题意，作出图形，易求该双曲线的离心率 e= = =2，从而得到答案 【解答】 解：
14、依题 意，作图如下： OA FA， AMO=60 ， OM=OA， AMO为等边三角形， OA=OM=a， 在直角三角形 OAF中， OF=c， 该双曲线的离心率 e= = = =2， 故选： D 7在 ABC中， BC=7， AC=6， cosC= 若动点 P满足 =（ 1 ） + ，（ R），则点 P的轨迹与直线 BC， AC 所围成的封闭区域的面积为（ ） A 5 B 10 C 2 D 4 【考点】 98：向量的加法及其 几何意义； HP：正弦定理 【分析】 根据向量加法的几何意义得出 P点轨迹，利用正弦定理解出 AB，得出 ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积 【解答】 解：设 =
15、 ， 9 =（ 1 ） + =（ 1 ） + B， D， P三点共线 P点轨迹为直线 BC 在 ABC中， BC=7， AC=6， cosC= ， sinC= S ABC= 7 6 =15， S BCD= S ABC=5 故选： A 8已知 f（ x） = ，且 g（ x） =f（ x） + 有三个零点，则实数 a的取值范围为（ ） A（ ， + ） B 1， + ） C（ 0， ） D（ 0， 1 【考点】 52：函数零点的判定定理 【分析】 根 据图象得出 g（ x）在（ ， 0）上的零点个数，得出 g（ x）在 0， + ）上的零点个数，利用二次函数的性质得出 a的范围 【解答】 解：令 g（ x） =0得 f（ x） = ， 作出 f（ x） =ln（ 1 x）与 y= 的函数图象， 10 由图象可知 f（ x）与 y= 在（ ， 0）上只有 1个交点， g（ x） =0 在（
