1、 1 江苏省丹阳市 2017届高三数学下学期期中试题 第卷 一、 填空题 (本大题共 14小题，每小题 5分，计 70分，请将答案填入答题区 ) 1.已知全集 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7U ? ，集合 2,4,5A? ， 1,3,5,7B? ， 则 ()UC A B? 2复数1i 2)1i(z 2? ?的实部为 3一个盒子里装有标号为 1， 2， 3， 4， 5的 5张标签，随机地抽取了 3张标签，则取出的 3张标签的标号的平均数是 3的概率为 4执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第 3个数是 5.在一个容量为 5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为 10，但墨水
2、污损了两个数据，其中一个数据的十位数字 1未被污损，即 9， 10， 11， 1 ，那么这组数据的方差 2s 可能的最大值是 6.已知 )1,1(b),1n,m(a ? (m 、 n 为正数 )，若 ba? ，则 n2m1? 的最小值 是 _ 7.若等差数列 na 的公差为 2 ，且 5a 是 2a 与 6a 的等比中项，则该数列的前 n 项和 nS 取最小值时，n 的值等于 8.设 a R，函数xx eae)x(f ?是偶函数，若曲线 )x(fy? )的一条切线的斜率是 32，则切点的横坐标为 _ 9已知一个圆锥底面 的面 积为 2? ，侧面积为 4? ，则该圆锥的体积为 10已知双曲线 1
3、byax 2222 ?（ a 0， b 0）的左、右 顶 点分别为 A、 B两点，点 C（ 0， b2 ），若线段 AC 的垂直平分线过点 B，则双曲线的离心率为 11在 ABC 中， A=30 ， AB=3， 32AC? ，且 0BD2AD ? ，则 CD.AC = 12. 已知 点 (2,3)A ，点 (6, 3)B ? ，点 P 在直线 3 4 3 0xy? ? ? 上，若满足等式 20AP BP ? ? ?的点 P 有两个，则实数 ? 的取值范围是 13.已知动点 ),( yxP 满足：?1)1)(1(04222 yyxxxyx，则 xyx 622 ? 的最小值2 为 . 14、已知函
4、数 xxaxf ?)( ，且对于任意 )1,0(?x 都有 1)1()( ? xfxf 恒成立。则实数 a 的取值范围是 解答题 (本 大题共 6小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 15 （本小题满分 14分） 已知函数 3xc o sxs i n3xc o s.xs i n32)x(f 22 ? （ 1）当 2,0x ? 时，求 )x(f 的值域； （ 2）若 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且满足 )CAc o s (22As i n )CA2s i n (,3ab ? ，求 )B(f 的值 16 （本小题满分 14分） 如 图，在四棱
5、锥 P-ABCD中， 底面 ABCD是 矩形 ，点 E、 F分 别是棱 PC和 PD的中点 . （ 1） 求证： EF 平面 PAB； （ 2） 若 AP=AD，且平面 PAD? 平面 ABCD，证明 ： 平面 PAD? 平面 PCD. 17（本小题满分 14分） 设椭圆 1a8 yax:E2222 ? （ 0a? ）的焦点在 x 轴上 . （ 1）若椭圆 E 的离心率 a52e? ，求椭圆 E 的方程； （ 2）设 F1， F2分别是椭圆 E 的左、右焦点， P为直线 x+y=22与椭圆 E的一个公共点 ; 3 直线 F2P交 y轴于点 Q，连结 F1P. 问当 a变化时， PF1 与 QF
6、1 的夹角是否为定值，若是定值， 求出该定值；若不是定值，说明理由 . 18 （本小题满分 16分） （ 2）如果要求六根支条的长度均不小于 2 cm，每个菱形的面积为 130 cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？ 19 （本小题满分 16分） 已知数列 na 的各项都为正数 ， 且对任意 *nN? ， 都有 2 12n n na a a k?(k 为常数 ). （ 1）若 0k? ， 且 1 1a? ， 2 4 68 , ,aaa? 成等差数列 ， 求 数列 na 的前 n 项和 nS ； （ 2）若 221()k a a?， 求证 ： 1 2 3,a a
7、 a 成等差数列 ； yx2 6 c m3 0 c m图 1 图 2 4 （ 3）已知 1aa? ， 2ab? ( ,ab为常数 ),是否存在常 数 ? ， 使得 21n n na a a? 对任意 *nN? 都成立 ？ 若存在 .求出 ? ； 若不存在 ， 说明理由 . 20 （本小题满分 16分） 已知函数 1()f x x x? ， （ 1）函数 3( ) ( )6x xF x f e k x? ? ?，其中 k 为实数 ， 求 (0)F 的值； 对 (0,1)x? ，有 ( ) 0Fx? ，求 k 的最大值； （ 2）若 2 2 ln() xxgx a? （ a 为正实数），试求函数
8、()fx与 ()gx在其公共点处是否存在公切线，若存在，求出符合条件的 a 的个数，若不存在，请说明理由 江苏省丹阳高级中学 20132014 学年度第二学期期中考试 高三数学附加题（ 第卷） 21 B 选修 4 2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分） 若点 (2,2)A 在矩阵 cos sinsin cosM ? ?对应变换的作用下得到的点为 ( 1 3 , 1 3 )B ? ? ? ?，求矩阵M 的逆矩阵 . C 选修 4 4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10分） 在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 4cos? .
9、 5 （ 1）求出圆 C 的直角坐标方程； （ 2）已知圆 C 与 x 轴相交于 A ， B 两点，若直线 l ： m2x2y ? 上存在点 P 使得 90APB?，求实数 m 的最大值 . 22（本小题满分 10分） 如图，在 直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，已知 AB AC? ， 2AB? ， 4AC? ， 1 3AA? .D 是 线段 BC的中点 . （ 1）求 直线 1DB 与平面 11ACD 所成角的正弦值 ； （ 2） 求二面 角 1 1 1B AD C?的大小的 余 弦值 . 23（本小题满分 10分） 某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对 1 5号五扇大门，依次按
10、响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前的奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可 以询问亲友团成员以获得正确答案 1 5号门对应的家庭梦想基金依次为 3000元、 6000元、 8000元、 12000 元、 24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额，如第三扇大门打开，选手可获基金总金额为 8000元）；设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为 pi（ i=1，2，
11、? ， 5），且 pi= （ i=1， 2， ? ， 5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为 ，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为 ； （ 1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得 12000元家庭梦想基金的概率； （ 2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为 X（元），求 X的分布列和数学期望 A B C D A1 B1 C1 第 22题图 6 参考答案 1.1,3,7 2. 0 3. 15 4. 30. 5.32.8 6.3 2 2 7.6 8.ln2 9.263? 10. 11. 6 12.( ,2)? 13. 409? 14.
12、41?a 或 1?a 15. 解：（ 1） f（ x） =2 sinxcosx 3sin2x cos2x+3 = sin2x 3 +3= sin2x+cos2x+1=2sin（ 2x+ ） +1， x 0， ， 2x+ ， ， sin（ 2x+ ） ， 1， f（ x） =2sin（ 2x+ ） +1 0， 3； （ 2） =2+2cos（ A+C）， sin（ 2A+C） =2sinA+2sinAcos（ A+C）， sinAcos（ A+C） +cosAsin（ A+C） =2sinA+2sinAcos（ A+C）， sinAcos（ A+C） +cosAsin（ A+C） =2sinA，
13、 即 sinC=2sinA， 由正弦定理可得 c=2a， 又由 = 可得 b= a， 由余弦定理可得 cosA= = = ， 7 A=30 ， 由正弦定理可得 sinC=2sinA=1， C=90 ， 由 三角形的内角和可得 B=60 ， f（ B） =f（ 60 ） =2 16. （ 1） 证明：因为点 E、 F分 别是棱 PC和 PD的中点，所以 EF CD，又在 矩形 ABCD中 ， AB CD，所以 EF AB ， -3分 又 AB? 面 PAB， EF? 面 PAB， 所以 EF 平面 PAB. -6分 证明 ： 在 矩形 ABCD中 ， AD CD， 又平面 PAD? 平面 ABC
14、D， 平面 PAD 平面 ABCD=AD， CD? 面 ABCD，所以 CD? 平面 PAD， -10分 又 AF? 面 PAD， 所以 CD? AF. 因为 PA=AD且 F是 PD的中点 ， 所以 AF? PD， 由 及 PD? 面 PCD， CD? 面 PCD， PD CD=D， 所以 AF? 平面 PCD. -14分 17. 解：（ 1）由题知 2 2 2 2(8 ) 2 8c a a a? ? ? ? ?，由 22 8 25aeaa ?得 a4 - 25a2+100=0，故 a2=5 或 20（舍），故椭圆 E的方程为 22153xy?； -6分 （ 2）设 P(x0， y0)， F
15、1(-c， 0)， F2(c， 0)，则 c2=2a2-8， 联立2 2 2 2 2 222(8 ) (8 )xya x a y a a? ? ? ? ? ?得 8x2 -4 22a x+a4=0， 即 22(2 2 ) 0xa? ，故 204xa?， 20 222 4ya?， -10分 直线 PF2的方程为00 ()yy x cxc? ，令 x=0，则 00cyy xc? ? ，即点 Q的坐标为 00(0, )cyxc? ， 故01 1 0 00( , ) , ( , )cyF Q c F P x c yxc? ? ?uuur uuur， （ 9分） 故4 2 2 22 2 2 20 0 0
16、1 1 00 0 012 ( 2 8 ) ( 2 2 ) ( ) 84( ) 0c a a ac y c x c yF Q F P c x c x c x c x c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?u u ur u u urg -13分 故 1FQuur 与 1FPuur 的 夹 角 为 定 值 2? . -14分 8 18. 解（ 1）由题意，水平方向每根 支条长为 30 2 152 xmx? ? ?cm， 竖 直 方 向 每 根 支 条 长 为 26 1322yyn ? ? ?cm ， -2分 菱 形 的 边 长 为2222( ) ( )2 2 2xyxy ?cm -4分 从而，所需木料的长度之和 L 222( 1 5 ) 4( 1 3 ) 822xyyx ? ? ? ? ? ?= = 228 2 4 2 ( )x y x y? ? ? ?cm -6分 （ 2）由题意， 1 132xy?，即 260yx?，又由 15 2,13 2,2xy?可得 130 1311 x -8分
