1、 1 江西省南昌市 2017届高三数学下学期期中联考试题 理 第卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 ? ?2 3 4 0M x x x? ? ? ?，集合 ? ?ln 0N x x?，则 MN? =（ ） A. ? ?14xx? B. ? ?1xx? C. ? ?14xx? ? ? D. ? ?1xx? 2. 若复数 z 满足 20 15z z i? ? ? ，则 z 为（ ） A.43i? B.43i? C.34i? D. 34i? 3. 在某次 测量 中得到的 A 样本数据如下 ： 42,43,46,52,
2、42,50,若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都减 5后所得数据，则 A 、 B 两样本的下列 数字特征对应相同的是 （ ） A 平均数 B 标准 差 C 众数 D 中位 数 4. 在 ABC? 中， 11tan , tan23AB?，则 tanC? （ ） A. 1? B. 1 C. 3 D. 2? 5. 如图，网格纸上每个小正方形的边长为 1， 粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在球 o的球面 上，则球 o 的表面积为（ ） A.50? B.25? C. 75? D.100? 6.已知不等式 2 62 s in c o s 6 c o s 04 4 4 2x x x
3、m? ? ? 对于 ,33? ? ?x恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A ? ,2? ? B 2,2? ?C 2,22?D ?2,? ? 7. 设 ,mn R? ，若直线 2mx ny?与圆 221xy?相切，则 mn? 的取值范围是（ ） A.? ?2,2? B. ? ? ? ?, 2 2,? ? ? ? C. 2 2,2 2? D.? ?, 2 2 2 2 ,? ? ? ? 8.我国古代名著九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举 .这个伟大创举与2 我国古老的算法 “辗转相除法”实质一样 .如下图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入6102, 2016ab
4、?时，输出的 a? （ ） A. 6 B. 9 C. 18 D. 54 9. 已知函数 1( ) 3 s i n ( ) , ( 0 , ) , ( , 0 )23f x x A? ? ? ? ? ? ?为 ()fx图像的对称中心，若该图像上相邻两条对称轴间的距离为 2 ，则 ()fx的单调递增区间是 ( ) A. 24(2 , 2 ),33k k k Z? ? ? B. 24( 2 , 2 ),33k k k Z? ? ? C. 24(4 , 4 ),33k k k Z? ? ? D. 24( 4 , 4 ),33k k k Z? ? ? 10. 如图 ， 点 E 为正方形 ABCD 边 C
5、D 上异于点 ,CD的动点，将 ADE? 沿 AE 翻折成 SAE? ，使得平面SAE? 平面 ABCE ，则下列说法中正确的有 ( ) 存在点 E 使得直线 SA? 平面 SBC ； 平面 SBC 内存在直线与 SA 平行 平面 ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行； 存在点 E 使得 SE BA? A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 等差数列 ?na 的公差为 d ，关于 x 的不等式 2 120dx a x?的解集为 ? ?0,9 ，则使数列 ?na 的前 n 项和 nS最大的正整数 n 的值是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 3 12. 已知函数 2( )
6、 lnf x a x bx?， ,ab R? .若不等式 ()f x x? 对所有的 ( ,0b? ， 2( , x ee? 都成立，则a 的取值范围是（ ） A , )e? B 2 , )2e ? C. 2 2 , )2e e D 2 , )e ? 第 II卷 本卷包括必考题和选考题两部分 .第 13 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 22 题 第 23 题为选考题，考生根据要求作答 二、 填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 13. 若向量 ,ab满足 2, 3ab?,且 (+b a b? ） 则 a 与 b 的夹角为 14. 6( )( 2 )x y x y z?
7、 ? ?的展开式中， 2 2 3xyz 项前的系数为 15. 已知数 列 ?na 的通项公式 5nan? ，其前 n 项和为 nS ，将数列 ?na 的前 4 项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列 ?nb 的前 3 项，记 ?nb 前 n 项和为 nT ，若存在 ?mN，使对任意 ?nN，总有nmST?恒成立，则实数 ? 的取值范围是 16. 下列命题正确的是 若函数 ()y f x? 满足 ( 1) ( 1)f x f x? ? ?，则函数 ()fx的图像关于直线 1x? 对称； 在线性回归分析中， 相关系数? ? ? ? ? ?12211niiinniiiix x y yrx
8、x y y?，且 r 越接近于 1，该组数据的线性相关程度越大； 在 ABC中， AB ? BC 0是 ABC 为钝角三角形的充要条件； 命题“ xR? ， ln 0xx?”的否定是“ 0xR?， 00ln 0xx?”； 由样本数据得到的回归方程 y bx a?必过样本点的 中心 ? ?yx, . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17. (本题满分 12分 )如图，在 ABC? 中， 2AB? ， 1cos 3B? ，点 D 在线段 BC 上 4 （ 1）若 2BD DC? ， ACD? 的面积为 423 ，求边 AC 的长； （ 2）若 23ADC ?，求三角形 AB
9、D 的面积 ABDS? . 18(本题满分 12 分 )如图，在四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，侧面11AADD? 底面 ABCD ， 11 2D A D D?，底面 ABCD 为直 角梯形，其中 /BC AD ， AB AD? ， 2 2 2AD AB BC? ? ?， O 为 AD 中 点 （ 1）求证： 1 /AO 平面 1ABC ； （ 2）求直线 1BC与平面 11CCDD 所成角的正弦值 . 19. (本题满分 12 分 )甲、乙两学校各派出 3 名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由 1 号队员进行第一局比赛， 负者被淘汰，胜者再与负方 2 号
10、队员进行第二局比赛，? ,直到一方队员全被淘汰为止，已知甲队的 1号与乙队的 1、 2、 3 号队员比赛获胜的概率分别为43、32、21，甲队的 2号与乙队的 1、 2、3号队员比赛获胜 的概率分别为32、21、31. （ 1）在所有的比赛过程中，甲队的 1号、 2号队员都只参加一局比赛的概率； （ 2）在所有的比赛过程中，将甲队 1号、 2号队员一共参加了的比赛的局数作为随机变量 ? ，求 ? 的分布列与期望 20. (本题满分 12分 ) 过原点 O 作斜率为 11( 0)kk? 的直线 l 交抛物线21:14yx? ? ? 于 ,AB 两点， （ 1）当 1 1k? 时，求 11OA O
11、B?的值； (2)已知 (0,3)M ，延长 AM 交抛物线 ? 于 C 点，延长 BM 交抛物线x B M D C y 5 ? 于 D 点。记直线 CD 的斜率为 2k ，问是否 存在实数 ? ，都有 21kk? 成立，如果存在，请求出 ? 的值 ；如果不存 在，请说明理由 . 21. (本题满分 12分 )已知函数 1( ) ( 1) lnxf x a e x a a? ? ? ?(0a? 且 1)a? ， e 为自然对数的底数。 (1)当 ae? 时，求函数 ()y f x? 在 区间 ? ?0,2x? 上的最大值 ； (2) 若函数 ()fx只有一个零点，求 a 的值。 请考生在 22
12、、 23题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分 ,做答时请写清题号 22. (本题满分 10 分 )已知直线 l 的参数方程为 1 233txyt? ?（ t 为参数）在以坐标原点为极点 ,x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中 ,曲线 C 的方程为 : 2sin 3 cos 0? ? ? （ 1）求曲线 C的直角坐标方程； （ 2）写出直线 l 与曲线 C交点的一个极坐标 ( 0,0 2 )? ? ? ? ? 23 (本题满分 10分 )设函数 ( ) 2 , 0f x x a x a a? ? ? ? ?. （ 1） 当 1,a? 时，求 ()fx的最小值； （ 2） （ 2）若关
13、于 x 的不等式 5()f x ax?在 ? ?1,2x? 上有解，求实数 a 的取值范围 . 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A B A A B C C C A B B 13. 【答 案】 56? 14.【答案】 120 15.【答案】 2? 16.【答案】 17. 解：（ 1） 2BD DC? ， 2ABD ADCSS? ， 3ABC ADCSS? ， 又 4 23ADCS? ?， 42ABCS? ? ，? 3分 1 s in2ABCS A B B C A B C? ?， 6BC? ， 在 ABC? 中，由余弦定理得 2 2 2 2 c o sA C A B
14、B C A B B C A B C? ? ? ? 42AC? .? 5分 （ 2）在三角形中， 1cos 3B? ， 22sin 3B? ? 6分 在 ABD? 中，由正弦定理得 sin sinAB ADADB B? ， 又 2AB? ， 3ADB ?， 22sin 3B? 869AD? ? 9分 2 2 3 2 2s i n s i n ( )3 3 6B A D B B A D B? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 6 3 1 2 2s in .2 2 7? ? ? ? ? ? ? ?ABDS A B A D B A D? 12 分 18. 解析：（ 1）如图，连接 CO 、 1A
15、O、 AC 、 1AB ， 则四边形 ABCO 为正方形，所以 11OC AB A B?， 所以四边形 11ABCO 为平行四边形，所以 11/AO BC ， 又 1AO? 平面 1ABC ， 1BC? 平面 1ABC ， 7 所以 1 /AO 平面 1ABC ? ? 6分 （ 2）因为 11DA DD? ， O 为 AD 中点，所以 1DO AD? ， 又侧面 11AADD? 底面 ABCD ， 所以 1DO? 底面 ABCD ， 以 O 为原点， OC 、 OD 、 1OD 所在直线分别 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的坐标系，则(1,0,0)C ， (0,1,0)D ， 1(
16、0,0,1)D ， (0, 1,0)A ? ， 1(0, 2,1)A ? 所以 (1, 1,0)DC ? ， 1 (0, 1,1)DD ?， 1 (0, 1, 1)DA? ? ?， 11 (1, 1,0)DC ? ， 设 m ( , , )x yz? 为平面 11CCDD 的一个法向量， 由 m DC? ， 1m DD? ，得 0,0,xyyz? ? ?令 1z? ，则 1y? ， 1x? ， (1,1,1)m? ， 由 (1)知 11/BC AO ,所以直线 1AO与平面 11CCDD 所成的角和直线 1BC与平面 11CCDD 所成的角 相等 .记 直线 1BC与平面 11CCDD 所成的
17、角为 ? , 且 1 (0, 2,1)OA ?, 111 1 5s in1553O A mO A m? ? ? ?, 所以 ,直线 1BC与平面 11CCDD 所成角的正弦值是 1515 .? 12分 19 解： (1) 3 2 1(1 )(1 ) ,4 3 1 2p ? ? ? ?（ 4分） (2) 设 iA )3,2,1( ?i 表示甲学校 1号队员参赛了 i 局， iB )3,2,1( ?i 表示甲学校 2 号队员参赛了 i局， ? 可 能的 取值 为 2,3,4; 1213141)()2( 11 ? BAPP ?；?（ 6分） 8 3 0 2 1 1 2 3 2 1 3 1 1 1 2
18、 1 1 1( 3 ) ( ) 4 3 2 4 3 2 4 3 2 2 4P P A B A B A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?；?（ 8分） 2411213241213143213243)()4( 312213 ? BABABAPP ?（ 10 分） ? 2 3 4 p 112 1124 1124 827)( ?E?（ 12 分） 20. 解： (1)21 14yxyx? ?消去 y 得 2 4 4 0xx? ? ? ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y， 则 1 2 1 24, 4x x x x? ? ? ?， 12,xx一正一负 122 2 21 2 1 21 1 1 11 1 1 1 1 1xxO A
