1、 1 2016-2017 学年浙江省绍兴市柯桥区高三（下）期中数学试卷 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分 1设 f（ x） =log2x的定义域为是 A=1， 2， 4，值域为 B，则 A B=（ ） A 1 B 2 C 1， 2 D 1， 4 2复数 z满足（ 1+i） z=i+2，则 z的虚部为（ ） A B C D 3已知四边形 ABCD 为梯形， AB CD， l 为空间一直线，则 “l 垂直于两腰 AD， BC” 是 “l垂直于两底 AB， CD” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知曲线 的一条切线的斜率为
2、 ，则切点的横坐标为（ ） A 3 B 2 C 3或 2 D 5已知随机变量 的分布列为下表所示，若 ，则 D= （ ） 1 0 1 P a b A B C 1 D 6设集合 ，则 A表示的平面区域的面积 是（ ） A B C D 1 7已知函数 f（ x） =asinx+bcosx（ a 0）在 处取得最小值，则函数 是（ ） A偶函数且它的图象关于点（ ， 0）对称 B偶函数且它的图象关于点 对称 C奇函数且它的图象关于点（ ， 0）对称 D奇函数且它的图象关于点 对称 2 8已知 x， y R，（ ） A若 |x y2|+|x2+y| 1，则 B若 |x y2|+|x2 y| 1，则 C
3、若 |x+y2|+|x2 y| 1，则 D若 |x+y2|+|x2+y| 1，则 9 已知平面向量 满足 ， ， ， ，则最大值为（ ） A B C D 10已知异面直线 l1， l2，点 A是直线 l1上的一个定点，过 l1， l2分别引互相垂直的两个平面 ， ，设 l= ， P为点 A在 l的射影，当 ， 变化时，点 P的轨迹是（ ） A圆 B两条相交直线 C球面 D抛物线 二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分 11双曲线 的渐近线方程是 ，离心率是 12某四棱锥的三视图如图所示（单位： cm），则该几何体的体积是 cm3，侧面积是 cm2 13已知
4、正数数列 an的前 n 项和 Sn满足： Sn和 2 的等比中项等于 an和 2 的等差中项，则a1= ， Sn= 14若正数 a， b满足 3+log2a=1+log4b=log8（ a+b），则 a= ， b= 15现有排成一列的 5 个花盆，要将甲、乙两种花种在其中的 2个花盆里（每个花盆种一种花），若要求每相邻的 3个花盆里至少有一种花，则这样的不同的种法数是 （用数字作答） 16已知圆 O1和圆 O2都经过点 A（ 0， 1），若两圆与直线 4x 3y+5=0 及 y+1=0 均相切，则3 |O1O2|= 17已知函数 f（ x） =x2+mx+ +n（ m， n R）有零点，则 m
5、2+n2的取值范围是 三、解答题：本大题共 5小题，共 74分 18在 ABC中，角 A， B， C所 对的边分别为 a， b， c，且满足 bcosC+（ 2a+c） cosB=0 （ I）求角 B的值； （ II）若 b=1， ，求 ABC的面积 19如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD是矩形， AB 平面 BCE， BE CE， AB=BE=EC=2，G， F分别是线段 BE， DC的中点 （ I）求证： GF 平面 ADE； （ II）求 GF 与平面 ABE所成角的正切值 20已知函数 f（ x） =x+ （ ）当 0时，求证： f（ x） （ 1 ） x+ ，并指出等号
6、成立的条件； （ ）求证：对任意实数 ，总存在实数 x 3， 3，有 f（ x） 21已知椭圆 ，点 A（ 3， 0）， P是椭圆 C上的动点 （ I）若直线 AP与椭圆 C相切，求点 P的坐标； （ II）若 P在 y轴的右侧，以 AP为底边的等腰 ABP 的顶点 B在 y轴上，求四边形 OPAB面积的最小值 22已知正项数列 an满足： a1= ， an2=an 1an+an 1（ n 2）， Sn为数列 an的前 n项和 （ I）求证：对任意正整数 n，有 ； 4 （ II）设数列 的前 n项和为 Tn，求证：对任意 M （ 0， 6），总存在正整数 N，使得n N时， Tn M 5 2
7、016-2017 学年浙江省绍兴市柯桥区高三（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分 1设 f（ x） =log2x的定义域为是 A=1， 2， 4，值域为 B，则 A B=（ ） A 1 B 2 C 1， 2 D 1， 4 【考点】 4N：对数函数的图象与性质 【分析】 计算 f（ 1）， f（ 2）， f（ 4），得出 B，从而得出 A与 B的交集 【解答】 解： f（ 1） =0， f（ 2） =1， f（ 4） =2， B=0， 1， 2， A B=1， 2 故选 C 2复数 z满足（ 1+i） z=i+2，则 z的虚部为（ ）
8、A B C D 【考点】 A5：复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【解答】 解： （ 1+i） z=i+2， （ 1 i）（ 1+i） z=（ i+2）（ 1 i）， 2z=3 i， i 则 z的虚部为 ， 故选： C 3已知四边形 ABCD 为梯形， AB CD， l 为空间一直线，则 “l 垂直于两腰 AD， BC” 是 “l垂直于两底 AB， CD” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断 6 【分析】 四边形 ABCD 为梯形， AB CD， l 为空间
9、一直线，则 “l 垂直于两腰 AD， BC” ，又AD与 BC 相交 l 平面 ABCD?l垂直于两底 AB， CD，反之不成立即可判断出结论 【解答】 解：四边形 ABCD为 梯形， AB CD， l为空间一直线，则 “l 垂直于两腰 AD， BC” ，又 AD与 BC相交 l 平面 ABCD?l垂直于两底 AB， CD，反之不成立 “l 垂直于两腰 AD， BC” 是 “l 垂直于两底 AB， CD” 的充分不必要条件 故选： A 4已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ） A 3 B 2 C 3或 2 D 【考点】 6H： 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出导数
10、，设出切点，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标 【解答】 解：设切点为（ m， n），（ m 0）， 的导数为 y= x ， 可得切线的斜率为 m = ， 解方程可得， m=2 故选 B 5已知随机变量 的分布列为下表所示，若 ，则 D= （ ） 1 0 1 P a b A B C 1 D 【考点】 CG：离散型随机变量及其分布列 【分析】 由 的分布列的性质得到 +a+b=1， E（ ） = 求得 a、 b的值， 再利用离散型随机变量方差公式求得 D（ ）的值 【解答】 解：由 E（ ） = 1 +0 a+1 b= ，整理得 b= ， 7 由 +a+b=1， a=1 = ， D（ ） =
11、（ 1 ） 2 +（ 0 ） 2 +（ 1 ） 2 = 故选： B 6设集合 ，则 A表示的平面区域的面积是（ ） A B C D 1 【考点】 7B：二元一次不等式（组）与平面区域 【分析】 画 出不等式组表示的平面区域，求出三角形的顶点坐标，结合图形计算三角形的面积 【解答】 解：画出不等式组 所表示的平面区域如图所示， 联立 ， 得 A（ 0， 1）， 联立 ， 得 B（ ， ）， 联立 ， 8 得 C（ ， ）； 又直线 x y 1=0交 y轴于点 D（ 0， 1） 不等式组表示的平面区域面积为 S=S ABD+S ACD= 2 + 2 =1 故选： D 7已知函数 f（ x） =as
12、inx+bcosx（ a 0）在 处取得最小值，则函数 是（ ） A偶函数且它的图象关于点（ ， 0）对称 B偶函数且它的图象关于点 对称 C奇函数且它的图象关于点（ ， 0）对称 D奇函数且它的图象关于点 对 称 【考点】 GI：三角函数的化简求值 【分析】 由题意可得 （ a+b） = ，即有 b=a，故 f（ x） = asin（ x+ ）求得 f（ x） = asinx，再利用正弦函数的性质得出结论 【解答】 解：函数 f（ x） =asinx+bcosx= sin（ x+ ）（ a 0）的周期为 2 ， 在 处取得最小值， 故有 （ a+b） = ，即有 b=a， f（ x） = a
13、sin（ x+ ） 则 f（ x） = asin（ x） = asinx 则函数 y=f（ x）为奇函数，对称中心为（ k ， 0）， k Z， 故选： C 8已知 x， y R，（ ） A若 |x y2|+|x2+y| 1，则 B若 |x y2|+|x2 y| 1，则 9 C若 |x+y2|+|x2 y| 1，则 D若 |x+y2|+|x2+y| 1，则 【考点】 7B：二元一次不等式（组）与平面区域 【分析】 利用绝对值不等式的性质，得出（ x2 y） +（ y2 x） |x2 y|+|y2 x|=|x y2|+|x2 y| 1，即得 ，判断 B正确 【解答】 解：对于 A， |x y2|
14、+|x2+y| 1， 由 化简得 x2+x+y2 y 1，二者没有对应关系； 对于 B，由（ x2 y） +（ y2 x） |x2 y|+|y2 x|=|x y2|+|x2 y| 1， x2 x+y2 y 1，即 ，命题成立； 对于 C， |x+y2|+|x2 y| 1， 由 化简得 x2+x+y2+y 1，二者没有对应关系； 对 于 D， |x+y2|+|x2+y| 1， 化简 得 x2 x+y2+y 1，二者没有对应关系 故选： B 9 已知平面向量 满足 ， ， ， ，则最大值为（ ） A B C D 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【 分 析 】 设 ， = ， = ， 则 由
15、向 量 的 数 量 积 运 算 公 式 可 知最大值为 4S ，根据 A 点轨迹找出 A 到 BC的最大距离即可求出最大值 【解答】 解：设 ， = ， = ， 与 所成夹角为 ， 则 =|AB|2|AC|2 |AB|2|AC|2cos2= |AB|2|AC|2sin2= |AB|2|AC|2sin2 CAB， =4S2 ABC， 10 ， ， ， 的夹角为 60 ， 设 B（ 3， 0，）， C（ 1， ），则 |BC|= ， S OBC= = ，设 O到 BC的距离为 h， 则 =S OBC= ， h= ， | |=4， A点落在以 O为圆心，以 4为半径的圆上， A到 BC的距离最大值为 4+h=4+ S ABC的最大值为 （ 4+ ） =2 + ， 最大值为 4（ 2 + ） 2=（ 4 +3 ） 2 故选： D 10
