1、 1 成都经开区实验高级中学 2014级高三上期期末模拟考试试卷 数 学（理工类） 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。满分 150分，考试时间 120 分钟。 第卷 (选择题，共 60分 ) 注意事项 ： 1 必须使用 2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑 . 2 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 A=y|y=x2， B=x|y=lg（ 1 x） ，则 A B= A 0， 1 B
2、 0， 1） C（， 1） D（， 1 2.将函数 cos(2 )yx?的图像沿 x 轴向右平移 6? 个单位后，得到的图像关于原点对称，则 ? 的一个可能取值为 A. 3? B.6? C.3? D.56? 3. 已知 ba, 是平面 ? 内的两条不同直线，直线 l 在平面 ? 外，则 blal ? , 是 ?l 的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知函数 )(xf 是 R 上的奇函数，且满足 )()2( xfxf ? ，当 1,0?x 时， xxf ?)( ，则方程182)( ? xxxf 在 ),0( ? 解的个数是 A 3 B
3、4 C 5 D.6 5.设函数 , A 3 B 6 C 9 D 12 6. 已知命题 :p 对于 xR? 恒有 2 2 2xx?成立；命题 :q 奇函数 ()fx的图像必过原点，则下列结论正确的是 A pq? 为真 B ? ?pq?为真 C ? ?q? 为假 D ? ?pq? 为真 2 7.在 ? ABC中 2 2 2s in s in s in s in s inA B C B C? ? ?则 A的取值范围是 A（ 0， 6? B 6? ， ? ） C（ 0， 3? D 3? ， ? ） 8.命题“ *, ( )n N f n N? ? ? 且 ()f n n? ”的否定形式是 A. *,
4、( )n N f n N? ? ?且 ()f n n? B. *, ( )n N f n N? ? ?或 ()f n n? C. *00, ( )n N f n N? ? ?且 00()f n n? D. *00, ( )n N f n N? ? ?或 00()f n n? 9.从某中学甲、乙两个班中各随机抽取 10 名同学，测量他们的身高 (单位： cm)后获得身高数据的茎叶图如图 1，在这 20 人中，记身高在 150,160)， 160,170)， 170,180)， 180,190的人数依次为 A1，A2， A3， A4，图 2是统计样本中身高在一定 范围内的人数的程序框图，则下列说法
5、中正确的是 10.在 46 )1()1( yx ? 的展开式中，记 nmyx 项的系数为 ),( nmf ，则? )3,0(2,1()1,2()0,3( ffff ） （ ） A.45 B.60 C.120 D. 210 11.已知函数 222 , 0()2 , 0x x xfxx x x? ? ? ? ? ?，若关于 x 的不等式 2 ( ) ( ) 0f x af x?恰有 1个整数解，则实数 a 的最大值是 (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 8 图 1 3 12如图所示，正方体 ABCD A B C D的棱长为 1， E， F分别是棱 AA， CC的中点，过直线E， F的平面分
6、别与棱 BB、 DD交于 M， N，设 BM=x， x 0，1，给出以下四个命题： 平面 MENF平面 BDD B； 当且仅当 x= 时，四边形 MENF的面积最小； 四边形 MENF周长 L=f（ x）， x 0， 1是单调函数； 四棱锥 C MENF的体积 V=h（ x）为常函数；以上命题中假命题的序号为 A B C D 二、填空题（每小题 4分，共 20 分） 13. 计算定积分 1 21 ( sin )x x dx? ?_ 14.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计 2 000户， 其中农民家庭 1 800户，工人家庭 100户 .现要从中抽取容量为 40的样本调查家庭收入情况，则在整
7、个抽样过程中，可以用到的抽样方法的是_.(填序号 ) 简单随机抽样；系统抽样；分层抽样 . 15.在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a,b,c,设 S 为 ABC的面积，满足 2 2 23 ()4S a b c? ? ?则角 C的大小为 16 设函数 ()fx的定义域为 D，如果存在正实数 k ，使对任意 xD? ，都有 x k D? ，且( ) ( )f x k f x? 恒成立，则称函数 ()fx为 D上的“ k 型增函数”已知 ()fx是定义在 R上的奇函数，且当 0x? 时， ( ) | | 2f x x a a? ? ?，若 ()fx为 R 上的“ 2011型增函数”，
8、则实数 a 的取值范围是 三、解答题（共 6小题，共 70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17.（本题满分 12分） 已知 0?a 且 1?a ，函数 )1(log)( ? xxf a ， xxga ? 1 1log)(，记 )()(2)( xgxfxF ? （ 1）求函数 )(xF 的定义域 D 及其零点； （ 2）若关于 x 的方程 0)( ?mxF 在区间 )1,0 内仅有一解，求实数 m 的取值范围 . 4 18.（本小题满分 12分） 如图，三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，点 1A 在平面 ABC内的射影 D在 AC上， 090ACB?，11, 2BC AC CC
9、? ? ?. （ I）证明： 11AC AB? ； （ II）设直线 1AA 与平面 11BCCB 的距离为 3 ，求二面角 1A AB C?的大小 . DB 1CC 1A 1AB19.（本小题满分 12 分）某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T， T只与道路通畅状况有关，对其容量为 100的样本进行统计 ，结果如下： T（分钟） 25 30 35 40 频数（次） 20 30 40 10 （）求 T的分布列与数学期望 ET； （）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率 20. （本
10、小题满分 12 分） 已知数列 ?na 满足1 1 2n na a? ? ?，其中 1 0a? . 5 (1)求证 11na?是等差数列，并求数列 ?na 的通项公式； (2)设 1n n nT a a ? ? ? 21na? .若 nT p n?对任意的 nN? 恒成立，求 p 的最小值 21.（本题满分 12分） 设函数 ( ) (1 ) ln ( 1)f x ax x bx? ? ? ?, 其中 , a 和 b 是实数 , 曲线 ()y f x? 恒与 x 轴相切于坐标原点 . (1) 求常数 b 的值； (2)当 1?a 时，讨论函数 )(xf 的单调性； （ 3）当 01x?时关于
11、x 的不 等式 ( ) 0fx? 恒成立 , 求实数 a 的取值范围 . 请考生在第 22、 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分 10分。 22.（本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点 O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 已知点 M的极 坐标为2 2,4?，曲线 C的参数方程为1 2cos2sinx y ? ?（ ?为参数） （ 1）直线 l过 且与曲线 C相切，求直线 l的极坐标方程； （ 2）点 N与点 M关于y轴对称，求曲线 C上的点到点 N的距离的取值范围 23.（本题满分 10分）选修
12、 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x) |2x a| a. (1)当 a 2时，求不等式 f(x) 6的解集； (2)设函数 g(x) |2x 1|.当 x R 时， f(x) g(x) 3，求 a的取值范围 . 6 成都经开区实验高级中学 2014级高三上期期末模拟考试试卷 数学 （理工类）参考答案 1 5 BDBBC 6 10 DCDCC 11 12 CC 13. 23 14、 15. 060 16、20116a?17.解：（ 1） )()(2)( xgxfxF ? xxaa ? 1 1lo g)1(lo g2（ 0?a 且 1?a ） ? ? ? 01 01xx，解得 11 ? x ，
13、所以函数 )(xF 的定义域为 )1,1(? 2分 令 )(xF 0? ，则 01 1lo g)1(lo g2 ? xxaa?（ *）方程变为 )1(lo g)1(lo g 2 xx aa ? ， xx ? 1)1( 2 ，即 032 ? xx 解得 01?x ， 32 ?x ? 4分 经检验 3?x 是（ *）的增根，所以方程（ *）的解为 0?x ，所以函数 )(xF 的零点为 0 5 分 （ 2） xxmaa ? 1 1lo g)1(lo g2（ 10 ?x ） ?m )41 41(lo g1 12lo g 2 ? ? xxxxxaa， 41 41 ? xxa m 8分 设 1,0(1
14、? tx ，则函数 tty 4? 在区间 1,0( 上是减函数， 当 1?t 时，此时 1?x ， 5min?y ，所以 1?ma 。 10分 若 1?a ，则 0?m ，方程有 1解；若 10 ?a ，则 0?m ，方程有 1解 12分 18.解：解法一：（ I） 1AD 平面 ABC ， 1AD 平面 11AACC ，故平面 11AACC 平面 ABC 又 BC AC ， BC平面 11AACC 连结 1AC ，侧面 11AACC 为菱形，故 11AC AC ，由三垂线定理得 11AC AB ；（ II） BC 平面 11,AACC BC 平面 11BCCB ，故平面 11AACC 平面
15、11BCCB 作 11,AE CC E 为垂足，则 1AE 平面 11BCCB 又直线 1AA 平面 11BCCB ，因而 1AE为直线 1AA 与平面 11BCCB 的距离，1 3AE= 1AC 为 1ACC 的角平分线，故 113AD AE=作 ,DF AB F 为垂 足，连结 1AF ，由三垂线定理得 1AF AB ，故 1AFD 为二面角 1A AB C?的平面角由 2211 1AD AA A D= - =得 D 为 AC的中点， 1115 , t a n 1 5 ,25 ADA C B CD F A F DA B D F= ? ? =二面角 1A AB C?的大小为 arctan 1
16、5 7 B 1C 1DC BAA 1EFzyxB 1C 1DC BAA 1解法二：以 C 为坐标原点，射线 CA 为 x 轴的正半轴，以 CB 长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz- 由题设知 1AD与 z 轴平行， z 轴在平面 11AACC 内 （ I）设 ( )1 ,0,A a c ，由题设有 ( ) ( )2 , 2 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 ,a A B 则( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 12 , 1 , 0 , 2 , 0 , 0 , 2 , 0 , , 4 , 0 , , , 1 , .A B A C A A a c A C A C
17、 A A a c B A a c= - = - = - = + = - = -由 1 2AA= 得 ( )2 222ac- + = ，即 2240a a c- + = （）于是221 1 1 14 0 ,A C B A a a c A C A B? - + = （ II）设平面 11BCCB 的法向量 ( ), , ,m x y z= 则 1,m CB m BB即10 , 0m CB m BB? ( )0 ,1, 0 ,CB = ( )11 2 , 0 , ,BB AA a c= = - 故 0y= ，且 ( )20a x cz- + = 令 xc= ，则 ( )2 , , 0 , 2z a m c a= - = -，点 A到平面 11BCCB 的距离为( ) 22 2c o s , 2C
