1、 1 北京市海淀区 2017 届高三数学下学期期中试题 理 第 卷（共 40 分） 一、 选择题：本大题共 8 个小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 ? ?| ( 1) 0A x x x? ? ?，集合 ? ?|0B x x?，则 AB? （ ） A ? ?|1xx? B ? ?|1xx? C ? ?|0xx? D ? ?|0xx? 2.已知复数 ()z i a bi?（ a ， bR? ），则“ z 为纯虚数”的充分必要条件为（ ） A 220ab? B 0ab? C 0a? ， 0b? D 0a? ， 0b? 3.
2、执行如图所示的程序框图，输出的 x 值为（ ） A 0 B 3 C 6 D 8 4.设 a ， bR? ，若 ab? ，则（ ） A 11ab? B 22ab? C lg lgab? D sin sinab? 5.已知 10a xdx?， 1 20b x dx?， 10c xdx?，则 a ， b ， c 的大小关系是（ ） A abc? B a c b? C bac? D c a b? 2 6.已知曲线 C ：2222xty a t? ? ?（ t 为参数）， ( 1,0)A? ， (1,0)B ，若曲线 C 上存在点 P 满足0AP BP?，则实数 a 的取值范围为（ ） A 22,22?
3、B ? ?1,1? C 2, 2? D ? ?2,2? 7.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（ ） A 12 B 40 C 60 D 80 8.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目： 项目：折叠状态下（如图 1），检查四条桌腿长相等； 项目：打开过程中（如图 2），检查 O M O N O M O N? ? ?； 项目：打开过程中（如 图 2），检查 O K O L O K O L? ? ?； 项目：打开后（如图 3），检查 1 2 3 4 9 0? ? ? ? ? ? ? ? ?； 项目：打开后（如图 3），检查 AB A B C D C D? ?
4、? 在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（ ） A B C D 第 卷（共 110 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 9.若等比数列 ?na 满足 2 4 5aa a? ， 4 8a? ，则公比 q? ，前 n 项和 nS? 10.已知 1( 2,0)F? ， 2(2,0)F ，满足 12| | | | 2PF PF?的动点 P 的轨迹方程为 3 11.在 ABC? 中， cosc a B? A? ；若 1sin 3C? ，则 cos( )B? 12.若非零向量 a ， b 满足 ( ) 0a a b? ? ? ， 2| | |
5、 |ab? ，则向量 a ， b 夹角的大小为 13.已知函数 21 , 0,()cos , 0.xxfx xx? ? ? ?若关于 x 的方程 ( ) 0f x a?在 (0, )? 内有唯一实根，则实数a 的最小值是 14.已知实数 u ， v ， x ， y 满足 221uv?， 1 0,2 2 0,2,xyxyx? ? ? ? ?则 z ux vy?的最大值是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 15.已知 3? 是函数 2( ) 2 c o s sin 2 1f x x a x? ? ?的一个零点 （）求实数 a 的值； （
6、）求 ()fx的单调递增区间 . 16.据报道，巴基斯坦由中方投资运 营的瓜达尔港目前已通航 .这是一个可以停靠 8 10 万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约 340 亿美元，公路投资约 59 亿美元，铁路投资约 38 亿美元，高架铁路投资约 16 亿美元，瓜达尔港投资约 6.6 亿美元，光纤通讯投资约为 0.4 亿美元 有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和表格记录了 2015 年天津、上海两港口的月吞 吐量（单位：百万吨）： 1 月 2 月
7、3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 天津 24 22 26 23 24 26 27 25 28 24 25 26 上海 32 27 33 31 30 31 32 33 30 32 30 30 4 （）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点； （）从表中 12 个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过 55 百万吨的概率； （）将（）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过 55 百万吨的概率，设 X 为瓜达尔未来 12 个月的月货物吞吐量超过 55 百万吨的个数，写出 X 的数学期望（不需要计算过程） 17.如图，由直三
8、棱柱 1 1 1ABC ABC? 和四棱锥 11D BBCC? 构成的几何体中， 90BAC? ? ? ，1AB? ， 1 2BC BB?， 1 5C D CD?，平面 1CCD? 平面 11ACCA （）求证： 1AC DC? ； （）若 M 为 1DC 的中点，求证： /AM 平面 1DBB ； （）在线段 BC 上是否存在点 P ，使直线 DP 与平面 1BBD 所成的角为 3? ？若存在，求 BPBC 的值，若不存在，说明理由 18.已知函数 2( ) 2 4 ( 1 ) ln ( 1 )f x x a x a x? ? ? ? ?，其中实数 3a? （）判断 1x? 是否为函数 ()
9、fx的极值点，并说明理由； 5 （）若 ( ) 0fx? 在区间 ? ?0,1 上恒成立，求 a 的取值范围 19.已知椭圆 G ： 2 2 12x y?，与 x 轴不重合的直线 l 经过左焦点 1F ，且与椭圆 G 相交于 A ， B 两点，弦 AB 的中点为 M ，直线 OM 与椭圆 G 相交于 C ， D 两点 （）若直线 l 的斜率为 1，求直线 OM 的斜率； （）是否存在直线 l ，使得 2| | | | | |AM CM DM?成立？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 20.已知含有 n 个元素的正整数集 ? ?12, , , nA a a a? （ 12 na
10、a a? ? ? ， 3n? ）具有性质 P ：对任意不大于 ()SA（其中 12() nS A a a a? ? ? ?）的正整数 k ，存在数集 A 的一个子集，使得该子集所有元素的和等于 k （）写出 1a ， 2a 的值； （）证明：“ 1a ， 2a ，?， na 成等差数列”的充要条件是“ ( 1)() 2nnSA ? ”； （）若 ( ) 2017SA? ，求当 n 取最小值时 na 的最大值 海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）答案 一、选择题 6 1-5:ADBBC 6-8:CDB 二、填空题 9.2， 21n? 10. 22 13yx ? 11.90， 13? 12.
11、120 13. 12? 14.22 三、解答题 15.解：（）由题意可知 ( ) 03f ? ? ， 即 2 2( ) 2 c o s s in 1 03 3 3fa? ? ? ? ? ?， 即 213( ) 2 ( ) 1 03 2 2fa? ? ? ? ?，解得 3a? （）由（）可得 2( ) 2 c o s 3 s in 2 1f x x x? ? ?cos 2 3 sin 2 2xx? ? ? 52 sin(2 ) 26x ? ? ?， 函数 sinyx? 的递增区间为 2 , 222kk?， kZ? 由 52 2 22 6 2k x k? ? ? ? ? ? ?， kZ? ， 得
12、236k x k? ? ? ?， kZ? ， 所以， ()fx的单调递增区间为 2 ,36kk?， kZ? 16.解：（）本次协议的投资重点为能源， 因为能源投 资为 340 亿，占总投资 460 亿的 50%以上，所占比重大 （）设事件 A ：从 12 个月中任选一个月，该月超过 55 百万吨 根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56,49,58,54,54,57,59,58,58,56,54,56， 其中超过 55 百万吨的月份有 8 个， 所以， 82() 12 3PA? （） X 的数学期望 8EX? 17.（）证明：在直三棱柱 1 1 1ABC ABC?
13、 中， 1CC? 平面 ABC ， 故 1AC CC? ， 由平面 1CCD? 平面 11ACCA ，且平面 1CCD 平面 1 1 1ACC A CC? ， 所以 AC? 平面 1CCD ， 7 又 1CD? 平面 1CCD ， 所以 1AC DC? （）证明：在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 1AA? 平面 ABC ， 所以 1AA AB? ， 1AA AC? ， 又 90BAC? ? ? ， 所以，如图建立空间直角坐标系 A xyz? ， 依据已知条件可得 (0,0,0)A ， (0, 3,0)C ， 1(2, 3,0)C ， (0,0,1)B ， 1(2,0,1)B ， (
14、1, 3,2)D ， 所以 1 (2,0,0)BB ? ， (1, 3,1)BD? ， 设平面 1DBB 的法向量为 ( , , )n x y z? ， 由 1 0,0,n BBn BD? ?即 2 0,3 0,xx y z? ? ?令 1y? ，则 3z? ， 0x? ，于是 (0,1, 3)n?， 因为 M 为 1DC 中点，所以 3( , 3,1)2M ，所以 3( , 3,1)2AM ? ， 由 3( , 3 ,1 ) (0 ,1 , 3 ) 02A M n? ? ? ? ?，可得 AM n? ， 所以 AM 与平面 1DBB 所成角为 0， 即 /AM 平面 1DBB （）解：由（）
15、可知平面 1BBD 的法向量为 (0,1, 3)n? 设 BP BC? ， ? ?0,1? ， 8 则 (0, 3 ,1 )P ? ， ( 1, 3 3 , 1 )DP ? ? ? ? ? 若直线 DP 与平面 1DBB 成角为 3? ，则 2| | | 2 3 | 3| c o s , | 2| | | | 2 4 4 5n D Pn D P n D P ? ? ? ? ? ?， 解得 ? ?5 0,14? ， 故不存在这样的点 18.解：（）由 2( ) 2 4 ( 1 ) ln ( 1 )f x x a x a x? ? ? ? ?可得函数 ()fx定义域为 ( 1, )? ? 4 (
16、1)( ) 2 2 1af x x a x ? ? ? ?22 (1 ) ( 2 )1x a x ax? ? ? ? ?， 令 2( ) (1 ) ( 2 )g x x a x a? ? ? ? ?，经验证 (1) 0g ? ， 因为 3a? ，所以 ( ) 0gx? 的判别式 2 2 2(1 ) 4 ( 2 ) 6 9 ( 3 ) 0a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 由二次函数性质可得， 1 是函数 ()gx的异号零点， 所以 1是 ()fx的异号零点， 所以 1x? 是函数 ()fx的极值点 （）已知 (0) 0f ? ， 因为 ? ?2 ( 1) ( 2 )
17、( ) 1x x afx x? ? ? ?， 又因为 3a? ，所以 21a?， 所以当 2a? 时，在区间 ? ?0,1 上 ( ) 0fx? ，所以函数 ()fx单调递减，所以有 ( ) 0fx? 恒成立； 当 23a?时，在区间 ? ?0, 2a? 上 ( ) 0fx? ，所以函数 ()fx单调递增， 所以 ( 2) (0) 0f a f? ? ?，所以不等式不能恒成立； 所以 2a? 时，有 ( ) 0fx? 在区间 ? ?0,1 恒成立 19.解：（）由已知可知 1( 1,0)F? ，又直线 l 的斜率为 1，所以直线 l 的方程为 1yx?， 设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ， 9 由 221,1,2yxx y? ?解得 110,1,xy? ?224,31.3xy? ? ?所以 AB 中点 21( , )33M? ， 于是直线 OM 的斜率为1132 23? （）假设存在直线 l ，使得 2| | | | | |AM CM DM?成立 当直线 l 的斜率不存在时， AB 的中点 ( 1,0)M? ， 所以 2|2AM? ， | | | |
